复变函数第二章第三节

1. 根式函数 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为： n n w z 为幂函数z=wn 的反函数. , 根式函数 w z (1) 根式函数的多值性. z 0 w n 0 0
z 0 wk n z n | z |e k arg z z的主辐角
对于复平面上某一固定 点z来说，其幅角Argz的具体数值无法确定。
但若z沿某一条不包含原点的 闭合曲线C1环绕一周回到原来的位 置， z的幅角不变，因而二次 根式的值也保持不变。
(2) 分出根式函数的单值解析分支.
z 0 wk
k 2k
n
n

n
z
k
n re
i
2 k
2
2 i Ln( z z 1), Arcsin z iLn( iz 1 z ) i 1 iz 2 Arctanz Ln . 2 1 iz

由于以上各式中 z 2 1是二值函数，对数函数 是多值函数，所以 Arc sinz和Arc cos z都是多值函数。
上岸
下岸
二、对数函数 w 1. 定义 满足方程 e z ( z 0) 的函数 w f ( z )称为对数函数, 记为w Lnz .
e r , v 2k (k Z ) u ln r (实对数), v 2k (k Z ) Argz w Ln z ln r i ( 2k ) (k Z ) 即Ln z ln | z | iArgz ln | z | i (arg z 2k ) (k Z )

i
2 k
n
k 0,1, n 1
下面以二次根式函数为 例，简单介绍多值函数 的特点。
设z re i (0 2 ), w z r e iArgz / 2 ,
若z沿某一条闭合曲线C环绕原点一周回到原来 的位置，z值虽然不 变，但其幅角却变为 2，从而w将由 r e i / 2连续变为 r e i ( 2 ) / 2 .
4. 一般指数函数w a e
它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。 当a e , Lne取主值时，便得到通常的单值的 指数函数w e z .
四、反三角函数和反双曲函数 1. 反三角函数的定义
设 z cosw, 称 w 为 z 的反余弦函数, 记作 w Arccos z.
第三节 初等多值函数
定义2.8(单叶函数）
设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的
两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的.
并且称区域D为f(z)的单叶性区域.
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换. f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
和其它各分支处处连续 , 处处可导, 且 1 1 (ln z ) , (Lnz ) . z z
从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将对数函数 w=Lnz分成如下无穷多个单值解析分支：
1 wk在定义域上解析,且 wk Lnz k z
4. 分出w=Lnz的单值解析分支
例2 解方程 e z 1 3i 0. 解 因为 e z 1 3i , 所以 z Ln(1 3i ) ln 2 i 2k ln 1 3i i 2k 3 3 ( k 0, 1, 2,) 3. 对数函数的性质 z1 (1) Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 , ( 2) Ln Lnz1 Lnz2 , z2 ( 3) 在除去负实轴 (包括原点)的复平面内 , 主值支
a e p
b
p [ln a i ( arg a 2 k )] q
e
p p ln a i ( arg a 2 k ) q q
e
q
ln a
p p cos q (arga 2kπ) i sin q (arga 2kπ)
b
a b具有q 个值, 即取 k 0,1,, (q 1)时相应的值.
5. w Ln z的支点和支割线
三、乘幂 a b 与幂函数
, b 为任意一个 1. 乘幂: 设 a 为不等于零的一个复数 复数, 乘幂 a b 定义为 e bLna , 即 a b e bLna . 注：由于 Lna ln a i (arga 2k ) 是多值的, 因而
一般情况下，a b 也是多值的.
wk (Lnz )k lnr i(argz 2k ), k 0,1,2,,
w Lnz以 z 0与z 为支点，连接 0与 的任一 （广义）简单曲线可作为其支割线. 例1 设 w Lnz 定义在沿负实轴割破的平面上，且 w(1) 3（是下岸相应点的函数值）求 i w(i) 的值. 解： wk (Lnz)k ln z i(arg z 2k ) ( arg z ) 求值： 3i ln | 1 | i(arg(1) 2k ) k 1 5 w(i ) ln | i | i (arg( i ) 2 ) i ( 2 ) i 2 2
(1) 当 b 为整数时,
b bLna
2. 一般幂函数w z b e bLnz
a 具有单一的值 .
b
a e e b ln a b (ln a iarg a ) 2 kbi e , e
b[ln a i ( arg a 2 k )]
p ( 2) 当 b ( p与q为互质的整数, q 0)时, q
则从e
m ln z1 n
e
m （ln| z1 | i 1 ) n m ln z1 n
相应地连续变动到
e e ，即回到了它从z1出发的值. 这时，称原点和无穷远 点是w z m / n的n-1阶支点， 也称n-1阶代数支点。 当 b 为无理数或复数时，原 点和无穷远点是 w z b的无穷阶支点，此时函 数是无穷多值的。
e 1 i 其中 k 0,1,2,. 故 (1 i ) 的辐角的主值为 ln2. 2 z zLna
1 2 k 2 k i ln 2 4 2 e 4
1 1 cos ln 2 i sin ln 2 2 2
w
i 2.计算公式： 令z re , w u iv
u iv
re
i
ln z ln z i arg z .
其余各值为 Lnz ln z 2ki ( k 1,2,), 对于每一个固定的k , 上式确定一个单值函数 ,
称为 Lnz 的一个分支. Lnz w 说明：w=Lnz是指数函数e =z的反函数， e z Lnz一般不能写成lnz, . 例1 求 Ln2, Ln( 1) 以及与它们相应的主值 解 因为 Ln2 ln 2 2ki , 所以 Ln2 的主值就是 ln2. 因为 Ln( 1) ln 1 iArg( 1) ( 2k 1)i ( k为整数) 所以 Ln(1) 的主值就是i . 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函 数是实变数对数函数的拓广.
2. 反双曲函数的定义 反双曲正弦 Arsinh z Ln( z z 2 1), 反双曲余弦 Arcosh z Ln( z z 2 1), 1 1 z 反双曲正切 Artanhz Ln . 2 1 z 例1 求函数值 Arc tan( 2 3i ). 解 i 3i i 1 i ( 2 3i ) Arc tan( 2 3i ) Ln Ln 2 5 2 1 i ( 2 3i ) i 2 1 ln i arctan 2k 2 5 3 i 2 1 1 1 ln k arctan . 4 5 2 2 3 其中 k 0, 1, 2, .
当 b 不是整数时，任取连接 原点和无穷远点的 一条简单连续曲线作为 割线K 1 , 得到一个区域D1 , 在 D1内可以把w z b分解成解析分支。
m （ln z1 i 2 n ) n
. 例1 求 (1 i )i 的辐角的主值 1 i ln 2 i 2 ki i [ ln 1 i iArg (1 i )] i iLn(1 i ) 4 2 e e ( 1 i ) e 解
wk (n z )k n r ( z )e
wk在其定义域上解析,且 wk
n
n
i
arg( z ) 2 k n
,
n
k 0,1,, n 1
(3) w z 的支点及支割线 定义1设w=f(z)为多值函数， a 为一定点，作小圆周 C : z a r ，若变点z沿 C 转一周，回到出发点时，
n
n re
i k
=
w0 re
22
2( n 1)
i0
arg z 2k k 0,1, n 1 n
w1 re
n
2
i1
n
w2
n
2k i2 wk re
n
re
ik

w n 1
re
i n1
从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该 直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边 界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化 为单值函数来研究。
常用方法： 从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根 式函数: w n z 分成如下的n个单值函数：
3. 幂函数的解析性
(3) 当 b 为无理数或复数时 ,函数w z 是无穷多值的。
除去 b为整数外, 它是一个多值函数，它 的各个分支在除去
原点和负实轴的复平面内是解析的, ( z b ) bz b1 .
当 b 为有理数m / n(既约分数， n 1), 当一点z从z1出发按逆时针或顺时针连续变动 n周时, Argz从 1连续变动到 1 2n，而w z m / n

z

k
1 n
z
z
k
n w z, z 0 函数值发生了变化，则称 a 为f(z)的支点，如 就是其一个支点，这时绕 C : z r 转一周也可支点.
定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分 支的割线，称为多值函数的支割线. n w z 可以以负实轴为支割线. 如 注 a) 支割线可以有两岸. b) 单值解析分支可连续延拓到岸上. c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变. n w z ，当以负实轴为支割线时，当 z x 0 d) 对 时取正值的那个分支称为主值支.
e iw e iw 由 z cos w , 得 e 2iw 2ze iw 1 0, 2 iw 2 方程的根为e z z 1, 两端取对数得 Arc cos z iLn( z z 2 1). 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:
由于 Argz 为多值函数, 所以对数函数 w f ( z ) 也是多值函数, 并且每两值相差 2πi的整数倍. 如果将 Lnz ln z iArgz 中 Argz 取主值 arg z , 那末 Lnz 为一单值函数， 记为 ln z， 称为 Lnz 的主值.
w Lnz e z e u