立体几何空间向量与立体几何ppt课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
2．空间角的计算 (1)两条异面直线所成角的求法 设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝||aa|·|bb||(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)． (2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n， 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则 有 sin φ＝|cos θ|＝||ee|·|nn||.
可取 n＝(1， 3，0)． 设二面角 E－CF－C1 的大小为 θ，于是由 θ 为锐角可得 cos θ＝||mm|·|nn||＝ 3×6 2＝ 22，所以 θ＝45°. 即所求二面角 E－CF－C1 的大小为 45°.
4
考点整合
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)．平面 α、β 的法向量分别为 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4， c4)(以下相同)． (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4. (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
1
(2)解 在△CEF 中，由(1)可得 EF＝CF＝ 6， CE＝2 3， 于是有 EF2＋CF2＝CE2，所以 CF⊥EF. 又由(1)知 CF⊥C1E，且 EF∩C1E＝E， 所以 CF⊥平面 C1EF. 又 C1F⊂平面 C1EF，故 CF⊥C1F. 于是∠EFC1 即为二面角 E－CF－C1 的平面角． 由(1)知△C1EF 是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，即所求 二面角 E－CF－C1 的大小为 45°.
6
(3)二面角的求法 ①利用向量求二面角的大小，可以不作 出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所 求二面角的平面角． ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可 以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图所示，二面角 α－l－β，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向 量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角 α－l－β 的大小为 θ 或 π－θ.
§3 空间向量与立体几何 真题热身
(2011·湖北)如图，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的
底面边长为 2，侧棱长为 3 2，点 E 在侧棱 AA1 上，点 F 在侧棱 BB1 上，且 AE＝2 2，BF＝ 2.
(1)求证：CF⊥C1E； (2)求二面角 E－CF－C1 的大小．
方法一 (1)证明 由已知可得
7源自文库
分类突破
一、利用向量证明平行与垂直 例 1 如图所示，已知直三棱柱 ABC—A1B1C1
中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝ 90°，且 AB＝AA1，D、E、F 分别为 B1A、 C1C、BC 的中点． 求证：(1)DE∥平面 ABC； (2)B1F⊥平面 AEF.
8
证明 如图建立空间直角坐标系 A—xyz， 令 AB＝AA1＝4， 则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)， B(4,0,0)，B1(4,0,4)． (1)取 AB 中点为 N，连结 CN， 则 N(2,0,0)， C(0,4,0)，D(2,0,2)，
11
变式训练 1 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EF∥ AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC ＝90°，BF＝FC，H 为 BC 的中点． (1)求证：FH∥平面 EDB； (2)求证：AC⊥平面 EDB.
(2)解 C→E＝(0，－2,2 2)，设平面 CEF 的一个法向量为 m＝(x，
y，z)，
由 m⊥C→E，m⊥C→F，得mm··CC→ →EF＝ ＝00， ，
即－2y＋2 2z＝0， 3x－y＋ 2z＝0，
解得yx＝＝0.2z，
3
可取 m＝(0， 2，1)．
设侧面 BC1 的一个法向量为 n，由 n⊥C→B，n⊥C→C1， 及C→B＝( 3，－1,0)，C→C1＝(0,0,3 2)，
CC1＝3 2，CE＝C1F＝ 22＋(2 2)2＝2 3， EF2＝AB2＋(AE－BF)2，EF＝C1E＝ 22＋( 2)2＝ 6， 于是有 EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC21，
所以 C1E⊥EF，C1E⊥CE.
又 EF∩CE＝E，所以 C1E⊥平面 CEF.
又 CF⊂平面 CEF，故 CF⊥C1E.
∴D→E＝(－2,4,0)，N→C＝(－2,4,0)， ∴D→E＝N→C，
∴DE∥NC，又∵NC⊂平面 ABC， DE⊄平面 ABC.故 DE∥平面 ABC.
9
(2)B→1F＝(－2,2，－4)， E→F＝(2，－2，－2)，A→F＝(2,2,0)． B→1F·E→F＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B→1F·A→F＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B→1F⊥E→F，B→1F⊥A→F，即 B1F⊥EF，B1F⊥AF，
又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面 AEF.
10
归纳拓展 (1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直 线与平面内的直线的方向向量平行．可用传统法也可用向量法， 用向量法更为普遍． (2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量 共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方 向向量垂直证明． (3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向 量垂直来证明．
2
方法二 建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知可得，A(0,0,0)，B( 3，1,0)，
C(0,2,0),C1(0,2,3 2),E(0,0,2 2),F( 3,1, 2)．
(1)证明 C→1E＝(0，－2，－ 2)， C→F＝( 3，－1， 2)，C→1E·C→F＝0＋2－2＝0.
所以 CF⊥C1E.
2．空间角的计算 (1)两条异面直线所成角的求法 设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝||aa|·|bb||(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)． (2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n， 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则 有 sin φ＝|cos θ|＝||ee|·|nn||.
可取 n＝(1， 3，0)． 设二面角 E－CF－C1 的大小为 θ，于是由 θ 为锐角可得 cos θ＝||mm|·|nn||＝ 3×6 2＝ 22，所以 θ＝45°. 即所求二面角 E－CF－C1 的大小为 45°.
4
考点整合
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)．平面 α、β 的法向量分别为 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4， c4)(以下相同)． (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4. (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
1
(2)解 在△CEF 中，由(1)可得 EF＝CF＝ 6， CE＝2 3， 于是有 EF2＋CF2＝CE2，所以 CF⊥EF. 又由(1)知 CF⊥C1E，且 EF∩C1E＝E， 所以 CF⊥平面 C1EF. 又 C1F⊂平面 C1EF，故 CF⊥C1F. 于是∠EFC1 即为二面角 E－CF－C1 的平面角． 由(1)知△C1EF 是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，即所求 二面角 E－CF－C1 的大小为 45°.
6
(3)二面角的求法 ①利用向量求二面角的大小，可以不作 出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所 求二面角的平面角． ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可 以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图所示，二面角 α－l－β，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向 量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角 α－l－β 的大小为 θ 或 π－θ.
§3 空间向量与立体几何 真题热身
(2011·湖北)如图，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的
底面边长为 2，侧棱长为 3 2，点 E 在侧棱 AA1 上，点 F 在侧棱 BB1 上，且 AE＝2 2，BF＝ 2.
(1)求证：CF⊥C1E； (2)求二面角 E－CF－C1 的大小．
方法一 (1)证明 由已知可得
7源自文库
分类突破
一、利用向量证明平行与垂直 例 1 如图所示，已知直三棱柱 ABC—A1B1C1
中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝ 90°，且 AB＝AA1，D、E、F 分别为 B1A、 C1C、BC 的中点． 求证：(1)DE∥平面 ABC； (2)B1F⊥平面 AEF.
8
证明 如图建立空间直角坐标系 A—xyz， 令 AB＝AA1＝4， 则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)， B(4,0,0)，B1(4,0,4)． (1)取 AB 中点为 N，连结 CN， 则 N(2,0,0)， C(0,4,0)，D(2,0,2)，
11
变式训练 1 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EF∥ AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC ＝90°，BF＝FC，H 为 BC 的中点． (1)求证：FH∥平面 EDB； (2)求证：AC⊥平面 EDB.
(2)解 C→E＝(0，－2,2 2)，设平面 CEF 的一个法向量为 m＝(x，
y，z)，
由 m⊥C→E，m⊥C→F，得mm··CC→ →EF＝ ＝00， ，
即－2y＋2 2z＝0， 3x－y＋ 2z＝0，
解得yx＝＝0.2z，
3
可取 m＝(0， 2，1)．
设侧面 BC1 的一个法向量为 n，由 n⊥C→B，n⊥C→C1， 及C→B＝( 3，－1,0)，C→C1＝(0,0,3 2)，
CC1＝3 2，CE＝C1F＝ 22＋(2 2)2＝2 3， EF2＝AB2＋(AE－BF)2，EF＝C1E＝ 22＋( 2)2＝ 6， 于是有 EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC21，
所以 C1E⊥EF，C1E⊥CE.
又 EF∩CE＝E，所以 C1E⊥平面 CEF.
又 CF⊂平面 CEF，故 CF⊥C1E.
∴D→E＝(－2,4,0)，N→C＝(－2,4,0)， ∴D→E＝N→C，
∴DE∥NC，又∵NC⊂平面 ABC， DE⊄平面 ABC.故 DE∥平面 ABC.
9
(2)B→1F＝(－2,2，－4)， E→F＝(2，－2，－2)，A→F＝(2,2,0)． B→1F·E→F＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B→1F·A→F＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B→1F⊥E→F，B→1F⊥A→F，即 B1F⊥EF，B1F⊥AF，
又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面 AEF.
10
归纳拓展 (1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直 线与平面内的直线的方向向量平行．可用传统法也可用向量法， 用向量法更为普遍． (2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量 共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方 向向量垂直证明． (3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向 量垂直来证明．
2
方法二 建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知可得，A(0,0,0)，B( 3，1,0)，
C(0,2,0),C1(0,2,3 2),E(0,0,2 2),F( 3,1, 2)．
(1)证明 C→1E＝(0，－2，－ 2)， C→F＝( 3，－1， 2)，C→1E·C→F＝0＋2－2＝0.
所以 CF⊥C1E.