初三数学专题复习小测验(含答案)

P O A

C

B

初三数学专题小测验

1．（3分）如图：若弦BC 经过圆O 的半径OA 的中点P 且PB=3， PC=4,则圆O 的直径为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

2．（3分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a b c ，，对应的密文

12439a b c +++，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为（ ）

Ａ．4，5，6 Ｂ．2，6，7 Ｃ．6，7，2 Ｄ．7，2，6

3．（3分）已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，以此类推，则第2008个三角形的周长为（ ）

A 、

2006

2

1 B 、

2007

2

1 C 、

2008

2

1 D 、

2009

2

1

4. （3分）将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成

a b

c d

，定义a b

c d

ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若

1111x x x x +--+ 6=，则x =__________． 5. （3分）抽取某校学生一个容量为150的样本，测得学生身高后，得到身高频数分布直方图如右，已知该校有学生1500人，则可以估计出该校身高位于160cm 至165cm 之间的学生大约有 人。

6．（3分）三角形纸片ABC 中，55A ∠=?，

75B ∠=?，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC ?内（如图），则12∠+∠的度数为

_______________。

7．（3分）在数学中，为了简便，记

()1

1231n

k k n n ==+++

+-+∑． 1!1=； 2!21=?；3!321=??；

；

()()!12321n n n n =?-?-?

???．则!

2007!

200820081

20071

+

-∑∑==k k k k = . 8.（本题满分6分）用换元法解方程：

06)1

(5)1(

2=+---x x x x (cm)

50454035302520151050

9.（本题满分6分）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)

1232

n n n ++++

+=

． 图1 图2 图3 图4

如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；

（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．

10.(本小题满分8分)如图，ABC △内接于⊙○，点D 在半径OB 的延长线上，30BCD A ∠=∠=°． （1）试判断直线CD 与⊙○的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙○的半径长为1，求由弧BC 、线段CD 和BD 所围成的 阴影部分面积（结果保留π和根号）

11.（本小题8分）电线杆上有一盏路灯O ，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路一侧的一直线上，AB 、CD 、EF 是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m ，已知AB 、CD 在灯光下的影长分别为BM = 1. 6 m ，DN = 0. 6m.

（1）请画出路灯O 的位置和标杆EF 在路灯灯光下的影子。 （2）求标杆EF 的影长。 解： A

O

C B

D

E

C

A

12.（9分）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称_________，________；

（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）(00)O ，，(30)A ，，(04)B ，，请你画出以格点为顶点，OA OB ，为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；

（3）如图（2），将ABC △绕顶点B 按顺时针方向旋转60DBE △，连结AD DC ，，30DCB =∠．

求证：2

2

2

DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形．

13. （本小题10分）如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：

同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止． （1）请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率．

（2）你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平，请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． A 60

（2）

（1）

甲

乙

14. （本小题10分）同学们：你去过黄山吗？在黄山的上山路上，有一些断断续续的台阶，如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图， 图8中的数字表示每一

级台阶的高度(单位:cm).并且数d,e,e,c,c,d 的方差p,数据

b,d,g,f,a,h 的方差q ，(10cm ＜a ＜b ＜c ＜d ＜e ＜f ＜g ＜h ＜20cm,且 p ＜q ），请你用所学过的有关统计知识（平均数、中

位数、方差和极差）回答下列问题： （1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？ （2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ （3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.

15．（本题满分10分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{

}3,2,1、{}19,8,7,2-，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素。如果一个集合满足：当实数a 是集合的元素时，

实数a -8也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合。

(1)请你判断集合{

}2,1，{}7,4,1是不是好的集合？ (2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子。

16.(本小题满分12分)

如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．

(1)设P(x ，0)，E(0，y)，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；

(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；

(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．

图

2

图

1

e c c e d d 甲路段 f

h a

g d

b 乙路段

参考答案

1 B

2 C

3 B 4. 2±

5. 300

6.1000 7 .0 8. 3/2或2

9. 解：（1）67． ····························· 2分 （2）图4中所有圆圈中共有12(121)

12312782

++++

+=

=个数， 其中23个负数，1个0，54个正数， ····················· 4分

∴图4中所有圆圈中各数的绝对值之和|23||22||1|01254=-+-+

+-++++

+

(12323)(12354)27614851761=+++++++++=+=．

········ 6分 10．解：（1）直线CD 与⊙O 相切． 理由如下：

在⊙O 中，223060COB CAB ∠=∠=?=°°．

又OB OC =∵，OBC ∴△是正三角形，60OCB ∠=∴°． 1. 又30BCD ∠=∵°，603090OCD ∠=+=∴°°°， OC CD ⊥∴．

又OC ∵是半径，∴直线CD 与⊙O 相切．

（2）由（1）得COD △是Rt △，60

COB ∠=°．

1OC =∵

，CD =∴．

12COD S OC CD ==△∴·．

又1

π6

OCB S =

扇形

∵， 1π6COD OCB S S S =-=

=△阴影扇形∴． 11.解：

（1）如图；---------------------------------------（4分）

（2）设EF 的影长为FP =x ，可证：()AC OC CE

MN ON NP

==

，得： 22

1.620.60.62x

=

+-++，

解得：0.4x =。所以EF 的影长为0. 4 m. -------------------------------------------（8分）

A

C D

12. 解：

（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可） ··· 2分（填正确一个得1分） （2）答案如图所示．(34)M ，或(43)M ，．（没有写出不扣分）

··················· 2分（根据图形给分，一个图形正确得1分） （3）证明：连结EC

ABC DBE △≌△

···························· 5分 AC DE ∴=，BC BE =

·························· 6分 60CBE =∠ EC BC ∴=，60BCE =∠ ················· 7分 30DCB =∠ 90DCE ∴=∠ 222DC EC DE ∴+= ············ 8分 222DC BC AC ∴+=，即四边形ABCD 是勾股四边形 ············· 9分

13. 解：（1）画树状图如下：

开始

甲 1 2 3

乙 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 和 7 8 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12 ································· 4分

可见，共有12种等可能的情况，其中和小于10的有6种．

∴小颖获胜的概率为

61

122

=． ·

········································································ 6分 （2）该游戏规则不公平． ··············································································· 7分 由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，

∴小亮获胜的概率为

31124=，显然11

24

≠，故该游戏规则不公平． ·

························ 8分 游戏规则可修改为：当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转

盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜． ·········································· 10分

修改游戏规则的方式很多，只要修改后的游戏规则符合题目要求即给分，例如游戏规则也可修改为： 当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；为偶数时，小颖获胜．

14、（1）相同点：甲台阶与乙台阶的各阶高度参差不齐，不同点：甲台阶各阶高度的极差比乙台阶小；（2）甲台阶，因为甲台阶各阶高度的方差比乙台阶小；（3）使台阶的各阶高度的方

A 60

差越小越好。

15.① {

}2,1不是，{}7,4,1是 ②如{}6,2，{}5,4,3等 16．解：(1)由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠

APB=90°．又∠APB ＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA ．

∴Rt △POE ∽Rt △BPA ．……………………………………………………………………2分 ∴

PO BA OE AP =

．即34x y x =-．∴y=2114(4)333

x x x x -=-+(0＜x ＜4)． 且当x=2时，y 有最大值

3

4

．………………………………………………………………4分 (2)由已知，△PAB 、△POE 均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分

设过此三点的抛物线为y=ax 2

＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =??++=??++=?∴1,23,21.

a b c ?=??

?=-??

=???

y=

213

122

x x -+．……………………………………………………………………………8分 (3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q 与点B 重合时满足条件．………………………………9分 直线PB 为y=x －1，与y 轴交于点(0，－1)． 将PB 向上平移2个单位则过点E(0，1)，

∴该直线为y=x ＋1．………………………………………………………………………10分

由21,

13

1,22y x y x x =+??

?=-+??

得5,6.x y =??=?∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件．……………………………………12分