大学物理习题静电场中的导体和电介质习题课

解：因保持与电源连接,两极间电势保持不变,而
电容值为 C 0S / d C' 0S /(nd ) C / n
电容器储存的电场能量由 We CU 2 / 2
We' C'U 2 / 2 CU 2 / 2n
We
We'We
U
2
/ 2(C
/n
C)
CU 2
21
n n
当电介质被裁成两段后撤去电场，极化的电介质又恢 复原状，仍各保持中性。
选择题：
1.“无限大”均匀带电平面 A 附近平行放 置有一定厚度的“无限大”平面导体板 B, 如图所示,已知 A 上的电荷面密度为 + , 则在导体板 B 的两个表面 1 和 2 上的感
应电荷面密度为
（A） 1=–, 2=0 （B） 1= –, 2=+, （C） 1= – /2 , 2=+ /2 （D） 1= – /2 , 2= – /2
电量还是原来的分布吗？
C
后
+Q -Q
C
+2Q -2Q
设
C
+-qq11
C
+-qq22
C +-qq11
C
由（2）得 由（1）得
C +1.5Q C -1.5Q
+-qq22
求 q1,q2:
q1 q2 3Q
q1 q2 CC
q1 q1

q2 q2

3 2
Q
(1) (2)
+1.5Q -1.5Q
[C]
1 2
AB
2.在一个带电量为 +q 的外表面为球形的 空腔导体 A 内,放有一带电量为 +Q 的带 电导体 B ,则比较空腔导体 A 的电势 UA, 和导体 B 的电势 UB 时,可得以下结论：
（A）UA>UB （C）UA=UB
（B）UA<UB
（D）两者无法比较。
[B]
3.面积为 S 的空气平行板电容器,极板上
C1
C2
[C]
6. C1 和 C2 两空气电容器串联起来接上
电源充电,保持电源联接,再把一电介质板
插入 C1 中,则
(A) C1上电势差减小,C2上电量增大； (B) C1上电势差减小,C2上电量不变； (C) C1上电势差增大,C2上电量减小； (D) C1上电势差增大,C2上电量不变。
C1
静 电 场 中 的 导 体 和 电 介 质 习 题 课
讨论题：
1.将一个带电+q半径为RB的大导体球B移近一个半径为 RA而不带电的小导体球A，试判断下列说法是否正 确？并说明理由。
(1)B球电势高于A球。
对。不带电的导体球A在带 电+q的导体球B的电场中， 将有感应电荷分布于表面。
定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电 势逐点降低，又由图看出电场线自导体球B指 向导体球A，故B球电势高于A球。
成点电荷，而A球的感应电荷等量异号，它们在P点
产生的场强大小相等方向相反，不必计算。
所以，P点的场强：
EP

1
4 0

q r2
(4)在B球表面附近任一点的场强等于 E B
其中：
B

q
4 RB2
o
不一定正确。
∵导体球B表面附近的场强虽等于 B o
但 B球表面电荷不一定是均匀分布的。
o
B
4.一不接地的球形金属壳不带电，现球心处放一正电
荷q1，在球壳外放一点电荷q2，问： （1） q2能否感受q1的场的作用； （2） q1能否感受电场力的作用； （3） q1在球壳内运动， q2能否感受得到？ 若q1数值变化时又如何？ （4） 若将球壳接地以上三问的答案又如何？
q2
（1）能 （2）不能 （3）不能，能
C2
[A]
7. 一球形导体,带电量 q ,置于一任意形状
的空腔导体中,当用导线将两者连接后,则 与末连接前相比系统静电能能将
(A) 不变；
(B) 增大；
(C) 减小；
q
(D) 如何变化无法确定。
[C]
8.真空中有一均匀带电球体和一均匀带电 球面,如果它们的半径和所带的电量都相 等,则它们的静电能之间的关系是：
在表面外紧靠该处的场强等于/0 。为什么前者 比后者小一半，说明之。
/20/20

S

/0
3.在一个绝缘的不带电的导体球周围做一同心球面的 高斯面，定性讨论将一正电荷q移向高斯面上A点的过 程，
（1）A、B点处的场强大小和方向怎样变化？ （2）过S面的电通量怎样变化？
q +
A
电通量不变
若是均匀分 布的，
B

q
4 RB2
E
B o

q
4o RB2
若不是均匀 分布的，
B

q
4 RB2
E B q o 4o RB2
2.已知无限大均匀带电平板，面电荷密度为 ，
其两侧的场强为/20 ，这个公式对于有限大的 均匀带电面的两侧紧邻处的电场强度也成立。又
已知静电平衡的导体表面某处面电荷密度为 ，
分别带电量 ±q , 忽略边缘效应,则两极
板间的作用力为：
(A)
q2
0S
(B)
q2
20S
(C) q2
20S 2
(D) q 2
0S 2
[B]
4.一个带电量 q、半径为 R 的金属球壳, 壳内是真空,壳外是介电常数为 的无限 大各向同性均匀介质,则此球壳的电势U=
(A) q /4R (B) q /4R (C) q /4R2 (D) q /4R2
q1
r1 2q r1 r2
6.67 103C,
q2
r2 2q r1 r2
13.33103C
两球电势
U1
U2

q1
4π 0r1

6.0 103 V
2.用输出电压 U 为稳压电源为一电容为 C 的空气平行板电容器充电,在电源保持
连接的情况下,试求把两个极板间距增大
至 n 倍时外力所做的功。
前C
+Q -Q
C
后C
+3Q C -3Q
【解】并联前
+2Q -2Q
Q2 2Q2 5Q2
W0 2C
2C
2C
并联后
电容为2C, 带电量为3Q
W1

1 2
3Q2
2C

9Q2 4C
W
W0
W1

5Q2 2C

9Q2 4C

Q2 4C
为什么能量减少了？能量到哪里去了？
问题是：并联以后两个电容器上的
解：设两球半径分别 为 r1和r2,导线连接后的带
电量分别为 q1和q2 , 而 q1+q2= 2q, 则两球电
势分别是
U1

q1
4π 0r1
,
U2

q2
4π 0r2
两球相连后电势相等, U1=U2 则有
q1 q2 q1 q2 2q r1 r2 r1 r2 r1 r2
由此得到
(4)
（1）不能
q1
（2）不能
（3）都不能
5. 如图，在电量为q的点电荷附近，有一细长的圆柱 形均匀电介质棒，则由高斯定理：
P
r
可算出P点的电位 q
r
移矢量的大小：
D 1 q
4 r2
D 0 r E
所以，P点场强大小为：
E

D
o

1
4 o

q r2
讨论以上解法是否正确？为什么？
（A）球体的静电能等于球面的静电能； （B）球体的静电能大于球面的静电能； （C）球体的静电能小于球面的静电能； （D）无法比较。
[B]
9.一个大平行板电容器水平放置，两极板
间的一半空间充有各向同性均匀电介质，
另一半为空气，如图。当两极板带上恒定
的等量异号电荷时，有一个质量为m、带
电量为+q的质点，平衡在极板间的空气域
' P n ( 0)E

'1


Q(1 0 41R12
)
R3

'2

Q(1 0 ) 41R22

'3


Q(2 0 ) 42 R22

'4

Q(2 0 ) 4 2 R32
B
（3） C=Q/U
QA
R1
U
R2 R1
E1dr
不正确。因为自由电荷是点电荷，介质棒在该电场 中极化，极化电荷分布在棒的两端面上，不是对称分 布，故不能用高斯定理求出D，也求不出E。
～只有当自由电荷及介质分布有一定的对称性，应用
高斯定理，使面积分 S D dS 中的 D 能以标量形式
提出来，即可求出D。
再由 D 0 r E 求出E。
中。此后，若把电介质抽去，则该质点将
（A）保持不动。
（B）向上运动。 （C）向下运动。 （D）是否运动不能确定
Q m q Q
[B]
计算题
1.半径分别为 1.0 cm 与 2.0 cm 的两个 球性导体,各带电量 1.0108C ，两球心 间相距很远.若用导线将两球相连.求 (1)每个球所带电量. (2)每球的电势.
[A]
5. C1 和 C2 两空气电容器并联起来接上电
源充电.然后将电源断开，再把一电介质插
入 C1 中，则
(A) C1 和 C2 极板上电量都不变. (B) C1极板上电量增大,C2极板上的电量不变. (C) C1极板上电量增大,C2极板上的电量减少. (D) C1极板上的电量减少,C2极板上电量增大.
外力作正功
3.一绝缘导体球不带电，距球心 r 处放一点电荷q， 求导体电势。
q
R
r
o
解：
导体为等势体，能求得球心o处的电势即可。
导体上感应电荷都在球表面，距球心R
Uo

q
4 0r

qi 4 0 R

q
4 0r
电荷守恒
s qi 0
4.一球形电容器内、外导体球壳A和B的半径R1和R3， 两球壳间充满两层球壳形的均匀各向同性介质1、 2，两介质分层处半径R2，内球壳带电Q，外球壳接 地，求：
原来是在电量的流动 过程中，电场的能量 损失掉了一些。
9.电介质在外电场中极化后，两端出现等量异号电荷， 若把它截成两半后分开，再撤去外电场，问这两个半 截的电介质上是否带电?为什么?
不带电。 因为从电介质极化的微观机制看有两类：
①非极性分子在外电场中沿电场方向产生感应电偶极矩；
②极性分子在外电场中其固有电偶极矩在该电场作用 下沿着外电场方向取向。 其在外电场中极化的宏观效果是一样的，在电介质的 表面上出现的电荷是束缚电荷，这种电荷不象导体中 的自由电荷那样能用传导的方法引走。
(2)以无限远为电势零点，A球的电势: UA < 0
不对。若以无穷远处为电势 零点U∞＝0，从图可知A球的 电力线伸向无穷远处。
所以，UA ＞0。
(3)带电的B球在P点的场强大小等于 EP r为P点距B球球心的距离，且 r >> RB 。
1
4 0

q r2
，
对。当 r >> RB ，必有 r >> RA ，因为A在B附近， 这时可将B球看成点电荷q，A球的感应电荷也可看

0
在两极板间距增大过程中电容器上带电量由 Q
减至 Q’ ,电源作功：
W1

(Q'Q )U
(C'U
CU
)U
CU
21
n n

0
在拉开极板过程中,外力做功为W2,
根据功能原理: W2=W-W1
W2

We
W1

CU 2
21
n n
CU
21
n n
CU 2 n 1 0. 2n
（1）两介质区的电场E=？
（2）四个界面上的束缚面电荷密度=？
（3）电容C=？ 解：（1） D dS Q
B
QA R1
2 1
R2
R3
s
D

Q
4 r2
er
E12

Q
42r 2
er
B
'4
Q
'2
A
'1 '3
R1
2 1
R2
（2） P ( 0)E

R3 R2
E2dr
2 1
R2
Q (1 1) Q (1 1)
R3
41 r1 r2 42 r2 r3
4
C 1 (1 1) 1 (1 1)
1 r1 r2 2 r2 r3
5. 在均匀外电场 E0处，一介质球，半径为R，
相对介电常数为r，被均匀极化，求：
（1）极化面电荷密度；（2）极化球的内部电场； （3）极化强度 P

E'

dE'
E
E '
P

cos2 sin d
P
20 0
30
E

E0

P
30
'
E0
（3）
P o (r 1)E
E

E0
P
30

( r
P
1)0
P

3( r r
1) 0
2
E0
E

r
3
2
E0
6.今有两个电容值均为C的电容器，其带 电量分别为Q和2Q，求两电容器在并联前 后总能量的变化？
E
R
P
nˆ

-P
nˆ
+
P

E '
'

E'

dE'
(1) P n
' Pcos
(2)
E E0 E '
球心处由极化电荷产生 电场方向如图。
dE ' 1 2 R2 sin ' d cos
4 0
R2
P sin cos2 d 2 0