2015年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的． （1）【2015年广东，理1，5分】若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，}{|(4)(1)0N x x x =--=，则M N =（ ）

（A ）{}1,4 （B ）{}1,4-- （C ）{}0 （D ）∅ 【答案】D

【解析】{}{}(4)(1)04,1M x x x =++==--，{}{}(4)(1)01,4N x x x =--==，M N ∴⋂=∅故选D ． （2）【2015年广东，理2，5分】若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）

（A ）23i - （B ）23i + （C ）32i + （D ）32i - 【答案】A

【解析】i(32i)3i 2z =-=+，23i z ∴=-，故选A ． （3）【2015年广东，理3，5分】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

（A ）21y x =+ （B ）1y x x

=+ （C ）1

22x x y =+ （D ）x y x e =+

【答案】D

【解析】A 和C 选项为偶函数，B 选项为奇函数，D 选项为非奇非偶函数，故选B ． （4）【2015年广东，理4，5分】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋

中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为（ ）

（A ）

521 （B ）1021 （C ）11

21

（D ）1 【答案】B

【解析】11

1052

1510

21

C C P C ==，故选B ． （5）【2015年广东，理5，5分】平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）

（A ）250250x y x y ++=+-=或 （B ）250250x y x y ++=+-=或 （C ）250250x y x y -+=--=或 （D ）250250x y x y -+=--=或

【答案】A

【解析】设所求直线为02=++c y x ，因为圆心坐标为()0,0，则由直线与圆相切可得2

5521

c c

d ===+，

解得5c =±，所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或，故选A ． （6）【2015年广东，理6，5分】若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪

≤≤⎨⎪≤≤⎩

，则32z x y =+的最小值为（ ）

（A ）4 （B ）

235

（C ）6 （D ）315

【答案】B

【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数32z x y =+，则当目标函数过点

81,5⎛⎫

⎪⎝⎭

，32z x y =+取最小值为

235，故选B ． （7）【2015年广东，理7，5分】已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，

则双曲线C 的方程为（ ）

（A ）22143x y -= （B ）221916x y -= （C ）22

1169x y -= （D ）

22134

x y -= 【答案】C

【解析】由双曲线右焦点为2(5,0)F ，则5c =，5

44c e a a ==∴=．

222

9b c a ∴=-=，所以双曲线方程为221169

x y -=，故选C ．

（8）【2015年广东，理8，5分】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）

（A ）至多等于3 （B ）至多等于4 （C ）等于5 （D ）大于5 【答案】B

【解析】当3=n 时，正三角形的三个顶点符合条件；当4=n 时，正四面体的四个顶点符合条件，故可排除A ，

C ，

D 四个选项，故选B ．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~13）

（9）【2015年广东，理9，5分】在4

）的展开式中，x 的系数为 ． 【答案】6

【解析】()()442

4

4

11r r

r r

r r C

C x ---=-，则当2r =时，x 的系数为()22416C -=． （10）【2015年广东，理10，5分】在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 【答案】10

【解析】由等差数列性质得，345675525a a a a a a ++++==，解得55a =，所以285210a a a +==．

（11）【2015年广东，理11，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1

sin 2

B =，

6

C π

=

，则b = ．

【答案】1

【解析】15sin ,266B B ππ=∴=或，又6

C π=，故6B π=，所以，23A π=由正弦定理得，sin sin a b

A B =

，所以1b =． （12）【2015年广东，理12，5分】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么

全班共写了 条毕业留言（用数字作答）． 【答案】1560

【解析】40391560⨯=． （13）【2015年广东，理13，5分】已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，()30E X =，()20D X =，

则p = ． 【答案】1

3

【解析】()30E X np ==，()(1)20D X np p =-=，解得1

3

p =．

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

（14）【2015年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin()4

π

ρθ-

点A 的极坐标为7)4

A π

，则点A 到直线l 的距离为 ．

【解析】2sin()2()422

πρθρθθ-=-=sin cos 1ρθρθ-=．即直线l 的直角坐标方程为

110y x x y -=-+=，即，点A 的直角坐标为()2,2-，A 到直线的距离为d ==

（15）【2015年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆

O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD