弹性力学 边界条件

二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示：
弹性体内单元体斜面上的应力 分量与坐标面应力的关系有
?y
(静力平衡)
? yx
?? p x ?
? ??
p
y
? ?
?
?? x ??? yx
? xy ?? l ?
?
y
?? ??
m
? ?
?x
? xy
Xf xn
单元体斜面恰为边界面则面力 分量与坐标面应力的关系有应 力边界条件
解：1）右边界（ x=0）
x
O
? x x? 0 ? ? ?y ? xy x ? 0 ? 0
n ?
?
2）左边界（x=y×tg? ）
y
?? cos?n, x?? cos ?
? y
m ? cos?n, y?? cos(? ? ? )
2
? ? sin ?
y
fx ? 0, fy ? 0
由：
x n
?
? ? ??? x ?s ? m ? xy
?
? ??m ? ? 1 ( yx)s ? ? f x
o
x
上面：l=0，m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法:
每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量 符号规则
§2-7.圣维南原理(局部性原理)
一.圣维南原理的叙述
§2－6.边界条件
对于上述所谈及的两种平面问题
：平衡方程（2~2） ——2个
几何方程（2~8） ——3个
八个方程
物理方程（2~12）——3个
? ? ? ? ? ? 含
、 、 、 、 、 、 u、 v
x
y
xy
x
y
xy
共计八个未知函数
注:虽然八个方程可解八个未知函数 ,但由于求解时会 产生待定函数 (常数);所以要想得出具体的解答还 必需利用边界条件来确定待定函数。
?? x ??? yx
? xy ? ? l ?
?
y
? ?
s
? ?
m
? ?
?
?? ? ??
f x ??
f
y
? ??
fYy n
注意：以上在推导时，斜面
上的应力px,py采用矢量符号
规定－与面力相同。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的应力分量； 右端为面力分量。可以各自采用各自的符号规定。但需 要用边界的方向余弦
?
s
fx
P
n
? ? ? ? ?? xy
s?m?y
?
s
fy
y
fy
? ? ?? x ?s cos?
?
? yx
sin ?
s
?
0
? ? ? ? ?xy
cos ?
s
?
?
y
sin ?
s
?
0
?? x ?s ? ? ytg 2?
?
A
p
?y
?tg
2?
?? p
? xy s ? ?? ytg? ? ? A?y?tg?
[ 例] 写出应力边界条件。设液体比重为?
边界条件有三类：位移、应力、混合边界条件
一.位移边界条件
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移
分量是已知的，即：
u s
?
u,
v s
?
v
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式中：
（２～１４）
u s 、v s —是位移的边界值；
u、v — 边界上坐标的已知函数或边界上
已知的位移分量。
二、应力边界条件
边界上面力分量为已知。 建立边界上微元体的应 力分量与面力分量的关系
cos ?
s
?
?y
sin
s
?
?0
y
唯一性定理
? 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。
? 表述－2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。
? 证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解 (应力、应变和位移 全为零 )。后者则需要用到应变能的概念。
举例：
X ? 0,Y ? q
l ? 0; m ? ? 1
X?q Y?0
y
X ? 0,Y ? ?q
x
X ? ?q Y ?0
(1).左右 (2).上下
? ??l ? ?1 ( x)s ? ? fx
?
? ??m ? 0 ( )xy s ? ? f y
??l ? 0
(? )y s ? ? Y
? ??
m
?
?1
特例--边界面与坐标轴平行时 (1).左右两面
?? x ??? yx
? xy ? ? l ?
?
y
? ?
s
? ?
m
? ?
?
?? ???
f x ?? f y ???
? ??l ? ?1 ( x)s ? ? fx
?
? ??m ? 0 ( xy)s ? ? f y
(2).上下两面
??l ? 0
?( y)s ? ? f y
?( )yx s ? ? X
? ? 右 : ( x) s ? ? q , ( xy ) s ? 0 ? ? 左 : ( x) s ? ? q , ( xy ) s ? 0 ? ? 上 : ( y ) s ? ? q , ( yx ) s ? 0 ? ? 下 : ( y ) s ? ? q , ( yx ) s ? 0
? 据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。
叠加原理
? 叠加原理：两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。
? 证明概要：只需注意方程都是线性的， 同时边界条件也是线性的即可。
? 推广：以上两组外力可以推广到n组外力 。
? 分解原理：根据叠加原理，可以把原问 题分解成几个简单的问题单独求解。
?
s
fx
? ? ? ? ?? xy
s? m? y
?
s
fy
O
?
y
?y
l ? cos ? m ? ? sin ?
?? x ??? yx
? xy ? ? l ?
?
y
? ?
s
? ?
m
? ?
?
?? ? ??
f x ??
f
y
? ??
? ? ?? ?x s cos
?
?
? xy
sin
s
?
?
0
? ? ? ? ? xy
除正应力 ? y 与 ?y
外，还有剪应? x力y
。并确定?边x 界上? xy
的关系。(假设任何界面上y方向的正应力均匀分布
o
?y
解：
?y?
P A( y)
y
? yx
l ? cos ?n, x ?? cos ?
m ? cos ?n, y ?? sin ?
?x
? xy ?
fx
?
? ? 由
??? ?x s ? m ? xy
三、混合边界条件 1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一
部分边界上应力分量已知。 2、在 同一边界上，已知一个位移分量和一个
应力分量。 图 (b )
图(a)
o
x
x
y
us? u ? 0
? xy ? f y ? 0
y
??? ( x) s ? f x ? 0
?
??v s ? v ? 0
例1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，