中考专题1 【原创】2019年中考数学图形变换压轴题汇总(28道题)后附答案详解(word)

中考专题1 图形变换压轴题汇总（28道题）后附答案详解1．（2017•黑龙江）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）
（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
2．（2017•连云港四模）阅读与理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？
3．（2017•金乡县模拟）请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
4．（2017•滦县模拟）两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为和位置关系为；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
5．（2017•路北区三模）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
6．（2017•平房区二模）如图，正方形ABCD，点E在AD上，将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，点F，G分别为点D，E旋转后的对应点，连接EG，DB，DF，DB与CE交于点M，DF与CG交于点N．
（1）求证BM=DN；
（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形．
7．（2017•路南区一模）如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．
（1）求∠BCD的度数；
（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．
①求∠C′CB的度数；
②求证：△C′BD'≌△CAE．
8．（2017•沙坪坝区一模）已知△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDB=90°．（1）如图1，若点E，B，C在同一直线上，连接AE，当∠AEC=30°，BC=4时，求EB的长；（2）如图2，将图1中的△DEB绕点B顺时针旋转，当点C在ED的延长线上时，EC交AB 于点H，求证：∠EAH=2∠HCB．
9．（2017•重庆模拟）已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC 绕点C旋转．
（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若BC=，BE=5，求CD的长；
（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．
10．（2017•河北区模拟）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD、MN．（1）求证：△PMN为等腰直角三角形；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP，BD 分别交于点G、H，请判断①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
11．（2017•吉安模拟）两块全等的三角板ABC和EDC如图（1）放置，AC=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，且AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H，△ABC不动，将△EDC 绕点C旋转到如图（2），当∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
12．（2017•江津区校级三模）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图①，当点D在AB上，点E在AC上时，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？为什么？
（2）如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置时，请判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
13．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，
∠A1=∠A=30°．
（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？
（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．
14．（2017•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．
15．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
16．（2017•天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
17．（2017•深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．
（1）求证：AF=AR；
（2）设点P运动的时间为t，
①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？
②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．
18．（2017•惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P 移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
19．（2017•蜀山区二模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．
（1）求证：△BOD∽△BAE；
（2）求证：BD=CE；
（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ 相等吗？为什么？
20．（2017•安徽模拟）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD 的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）如图2，当CG=EG时，求的值．
21．（2017•肥城市三模）如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；
（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．
22．（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE 与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=1时，KE=，EN=；
（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？
（3）当点K到达点N时，求出t的值；
（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？
23．（2017•岱岳区二模）如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．
（1）求证：AC•DF=BF•BD；
（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；
（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．
24．（2017•长春模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．（1）求证：DB=DM．
（2）若=2，DE=6，求线段MN的长．
（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为（用含n的代数式表示）．
25．（2017•大冶市模拟）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A．
（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；
（2）若图2，若AB≠AC，
①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；
②求证：=．
26．（2017•大东区二模）如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC 上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）证明：DM=DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．
27．（2017•阳谷县一模）如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF．
（1）如果=，DE=6，求边BC的长；
（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．
28．（2017•杭州模拟）已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=．
（1）求证：DE∥BC．
（2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=．
（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．
答案解析
1．（2017•黑龙江）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）
（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，
∵在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，
∵点H为线段BC的中点，
∴OH=HB，
∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，
又因为∠OAD+∠ADO=90°，
所以∠ADO+∠BOH=90°，
所以OH⊥AD
（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，
易证△BEO≌△ODA
∴OE=AD
∴OH=OE=AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO
∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，
∴OH⊥AD．
②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．
易证△BEO≌△ODA
∴OE=AD
∴OH=OE=AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO
∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，
∴∠AGO=90°
∴OH⊥AD．
2．（2017•连云港四模）阅读与理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？
【解答】解：操作与证明：
（1）BE=AD．
∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，
∴∠BCE=∠ACD=30度，
∵△ABC与△C′DE是等边三角形，
∴CA=CB，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．
（2）BE=AD．
∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
∵△ABC与△C′DE是等边三角形，
∴CA=CB，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．
猜想与发现：
当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a﹣b．
3．（2017•金乡县模拟）请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
【解答】解：（1）如图，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=；
连接PP′，
在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，
∴PP′=2，∠BP′P=45°；（2分）
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，
∵，即AP′2+PP′2=AP2；
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，
∴∠AP′B=135°，
∴∠BPC=∠AP′B=135°．（4分）
（2）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B=45°，
∴EP′=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=；（7分）
∴∠BPC=135°，正方形边长为．
4．（2017•滦县模拟）两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为相等和位置关系为垂直；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
【解答】（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，
∴BE=AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
故答案为：相等，垂直．
（2）答：成立，
证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，
由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，
∴（1）中的猜想还成立．
（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．
连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，
同（1）可证
∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，
∴∠DXB+∠EBC=90°，
∴∠EZA=180°﹣90°=90°，
即AD⊥BE，
∵FH∥AD，FG∥BE，
∴FH⊥FG，
即FH=FG，FH⊥FG，
结论是FH=FG，FH⊥FG
5．（2017•路北区三模）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由（1）得：AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2=2AB2，即BD=2，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD﹣DF=2﹣2．
6．（2017•平房区二模）如图，正方形ABCD，点E在AD上，将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，点F，G分别为点D，E旋转后的对应点，连接EG，DB，DF，DB与CE交于点M，DF与CG交于点N．
（1）求证BM=DN；
（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCB=90°，CD=CB，
∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，
∴CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
∵∠BCM+∠DCE=90°，∠DCN+∠DCE=90°，
∴∠BCM=∠DCN，
∵∠CBM=∠ABC=45°，
∴∠CBM=∠CDN，
在△BCM和△DCN中
，
∴△BCM≌△DCN，
∴BM=DN；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD和△BCD为等腰直角三角形；
由（1）得△CDF为等腰三角形；
∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，
∴CE=CG，∠ECG=90°，
∴△ECG为等腰直角三角形；
∵△CBD和△CFD为等腰直角三角形；
∴△BDF为等腰直角三角形．
7．（2017•路南区一模）如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠
ADC=45°．
（1）求∠BCD的度数；
（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．
①求∠C′CB的度数；
②求证：△C′BD'≌△CAE．
【解答】解：（1）∵AC=BC，∠A=30°，
∴∠CBA=∠CAB=30°，
∵∠ADC=45°，
∴∠BCD=∠ADC﹣∠CBA=15°=∠BC'D'；
（2）①由旋转可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，
∴∠CC'B=∠C'CB=75°；
②证明：∵AC=C'B，∠C'BD'=∠A，
∴∠CEB=∠C'CB﹣∠CBA=45°，
∴∠ACE=∠CEB﹣∠A=15°，
∴∠BC'D'=∠BCD=∠ACE，
在△C'BD'和△CAE中，
，
∴△C'BD'≌△CAE（ASA）．
8．（2017•沙坪坝区一模）已知△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDB=90°．（1）如图1，若点E，B，C在同一直线上，连接AE，当∠AEC=30°，BC=4时，求EB的长；（2）如图2，将图1中的△DEB绕点B顺时针旋转，当点C在ED的延长线上时，EC交AB 于点H，求证：∠EAH=2∠HCB．
【解答】（1）解：如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴AH=BH=HC=2，
在Rt△AEH中，∵∠AHE=90°，AH=2，∠AEH=30°，∴EH==2，
∴EB=EH﹣BH=2﹣2．
（2）证明：如图2中，连接AD．
∵∠BDH=∠HAC，∠BHD=∠CHA，
∴△BHD∽△CHA，
∴=，
∴=，∵∠AHD=∠CHB，
∴△AHD∽△CHB，
∴∠ADH=∠CBH=45°，∠DAH=∠BCH，
∴∠ADB=90°+45°=135°，
∴∠ADE=360°﹣90°﹣135°=135°，
∴∠ADE=∠ADB，
在△ADE和△ADB中，
，
∴△ADE≌△ADB，
∴∠DAE=∠DAB，
∵∠DAB=∠BCH，
∴∠EAH=2∠HCB．
9．（2017•重庆模拟）已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC 绕点C旋转．
（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若BC=，BE=5，求CD的长；
（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．
【解答】解：（1）如图1，∵△ADC是由△BEC绕点C旋转得到的，
∴AD=BE=5，∠ADC=∠BEC，
∵在等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE中，BC=AC=，∠EDC=∠DEC=45°，
∴AB=13，∠ADC=∠BEC=135°，
∴∠AEB=90°，
∴AE==12，
∴DE=7，
∴等腰Rt△CDE中，CD=DE=；
（2）如图2，过点A作AH∥CE，交CG的延长线于H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠ACE=180°，
∴∠CAE=∠BCD，
∵CF⊥BD，∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠CBF=∠ACG，
在△BCD和△CAH中，
，
∴△BCD≌△CAH（ASA），
∴AH=CD=CE，BD=CH，
又∵AH∥CE，
∴四边形ACEH是平行四边形，
∴CH=2CG，
∴BD=2CG．
10．（2017•河北区模拟）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD、MN．（1）求证：△PMN为等腰直角三角形；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP，BD 分别交于点G、H，请判断①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EAC+∠BDC=90°，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，
∴PM=PM，
∵PM∥BD，PN∥AE，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，
∵∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN，
∴△PMN为等腰直角三角形；
（2）①中的结论成立，
理由：设AE与BC交于点O，如图②所示：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°，
∴AE⊥BD，
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD，PM∥BD，PN=AE，PN∥AE，
∴PM=PN．
∵AE⊥BD，
∴PM⊥PN，
∴△PMN为等腰直角三角形．
11．（2017•吉安模拟）两块全等的三角板ABC和EDC如图（1）放置，AC=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，且AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H，△ABC不动，将△EDC 绕点C旋转到如图（2），当∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
【解答】解：四边形ACDM是菱形．
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=45°．
∵∠E=45°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），
∵AC=CD，
∴四边形ACDM是菱形．
12．（2017•江津区校级三模）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图①，当点D在AB上，点E在AC上时，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？为什么？
（2）如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置时，请判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
【解答】解：（1）CF=DF且CF⊥DF．理由如下：
∵∠ADE=90°，
∴∠BDE=90°，
又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，
∴CF=DF=BE=BF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，
∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠CFD=90°，
∴CF=DF且CF⊥DF．
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，
∴BF=EF，
又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，
∴△BFG≌△EFD（SAS），
∴∠FBG=∠FED，BG=ED，
∴BG∥DE，
∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，
∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，
AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，
又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC
=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°
=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°
=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°
=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°
=360°﹣45°+∠EAB﹣225°
=90°+∠EAB，
而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB
=45°+∠EAB+45°
=90°+∠EAB，
∴∠CBG=∠DAC，
又∵BG=ED，DE=DA，
∴BG=AD，
又∵BC=AC，
∴△BCG≌△ACD（SAS），
∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，
∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
又∵F是DG的中点，
∴CF⊥DF且CF=DF．
13．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？
（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关
系？．
【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；
又B1C=BC，∠B1=∠B，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）
∴CQ=CP1；
（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=AP1；
∵∠P1CD=45°，
∴=sin45°=，
∴CP1=P1D=AP1；
又AP1=a，CQ=CP1，
∴CQ=a；
（3）解：当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．这时==，
∴P1P2=CP1．
14．（2017•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．
【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，，
∴△ABE≌△DBE；
（2）①过G作GH∥AD交BC于H，
∵AG=BG，
∴BH=DH，
∵BD=4DC，
设DC=1，BD=4，
∴BH=DH=2，
∵GH∥AD，
∴==，
∴GM=2MC；
②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，
∴△AGM∽△NCM，
∴=，
由①知GM=2MC，
∴2NC=AG，
∵∠BAC=∠AEB=90°，
∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，
∴△ACN∽△BAF，
∴=，
∵AB=2AG，
∴=，
∴2CN•AG=AF•AC，
∴AG2=AF•AC．
15．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴=
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
16．（2017•天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴=，
∵BP=2，CQ=9，BE=CE，
∴BE2=18，
∴BE=CE=3，
∴BC=6．
17．（2017•深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．
（1）求证：AF=AR；
（2）设点P运动的时间为t，
①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？
②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．
【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，
∵AE=AB，
∴AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=45°，
又∵FG⊥DE，
∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，
∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，
∴∠FRA=∠RFA=45°，
∴AF=AR；
（2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时，
则有PR∥BC，
∴AF∥PR，
∴△EAF∽△ERP，
∴，即：由（1）得AF=AR，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∵点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，∴（秒）；
②若PR=PB，
过点P作PK⊥AB于K，
设FA=x，则RK=BR=（2﹣x），
∵△EFA∽△EPK，
∴，
即：=，
解得：x=±﹣3（舍去负值）；
∴t=（秒）；
若PB=RB，
则△EFA∽△EPB，
∴=，
∴，
∴BP=AB=×2=
∴CP=BC﹣BP=2﹣=，
∴（秒）．
综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒．
18．（2017•惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P 移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
【解答】（1）解：AP=2t
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
∴AQ=8﹣t，
t的取值范围是：0≤t≤5；
（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，
∴PG=PBSinB=（10﹣2t）
∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）
（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）
若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC ∴△APH∽△ABC，
∴，
即，
解得：（s）
若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，
∴△AQI∽△ABC
∴即，
解得：（s）
综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．
19．（2017•蜀山区二模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．
（1）求证：△BOD∽△BAE；
（2）求证：BD=CE；
（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ 相等吗？为什么？
【解答】（1）证明：∵∠BCO=∠CBO，
∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO，
∵∠A=2∠BCO，
∴∠DOB=∠A，
∵∠ABE=∠ABE，
∴△BOD∽△BAE；
（2）解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD，
∴∠BDF=∠BFD，
∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A，
由（1）得∠BOD=∠A，
∴∠BDF=∠BEC，
∴∠BFD=∠BEC，
在△BFC与△CEB中，，
∴△BFC≌△CEB，
∴BD=BF，
∴BD=CE；
（3）解：AP=AQ，
理由：取BC的中点G，连接GM，GN，
∵M，N分别是BE，CD的中点，
∴GM，GN是中位线，
∴GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD，∵BD=CE，
∴GM=GN，
∴∠3=∠4，
∵GM∥CE，
∴∠2=∠4，
∵GN∥BD，
∴∠3=∠1，
∴∠1=∠2，
∴AP=AQ．
20．（2017•安徽模拟）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD 的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）如图2，当CG=EG时，求的值．
【解答】解：（1）∵D、E分别是线段AC、BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，即EG∥AB，
∴∠FDG=∠A，
∵点F为线段AD的中点，
∴AF=DF，
在△ABF与△DGF中，
∴△ABF≌△DGF（ASA）
∴AB=GD
（2）∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=AB，CE=BC=AC
∵DG=AB，
∴EG=DE+DG
∴EG=AB
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∵AC=BC，CG=EG
∴△GEC∽△CBA
∴，
即，
∴
21．（2017•肥城市三模）如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；
（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．
【解答】（1）证明：如图1所示，
∴D，E分别为AB，BC中点，
∴DE∥AC
∵DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DM=EF，
如图2所示，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，
∵∠AFE=∠A，
∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠GDE=∠FEC，
∴△DEG∽△ECF；
∴，
∴，
∴，
∴DG•CF=DM•EG；
（2）解：如图3所示，
∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴，
∴BD2=BG•BE，
∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴=，
∴EF2=EH•EC，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF=DM=DA=BD，
∴BG•BE=EH•EC，
∵BE=EC，
∴EH=BG=1．
22．（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE 与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=1时，KE=1，EN=；
（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？
（3）当点K到达点N时，求出t的值；
（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？
【解答】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，
∵PE=2，
∴KE=2﹣1=1，
∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，
∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，
∴=，=，
∴MP=，ME=，
∴NE=；
故答案为：1；；
（2）由（1）并结合题意可得，
AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，
∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），
解得，t=；
（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，
由（2）得，﹣t+2=t，
解得，t=；
（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，
即，0＜t≤2；
②当点k在EF上时，
则KE=t﹣2，BP=8﹣t，
∵△BPK∽△PKE，
∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，
∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），
解得t=3，t=4；
③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．
综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形．
23．（2017•岱岳区二模）如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．
（1）求证：AC•DF=BF•BD；
（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；
（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．
【解答】解：（1）∵BF⊥AD，
∴∠AFB=∠BFD=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABF+∠DBF=90°，
∴∠BAF=∠DBF，
∴△ABF∽△BDF，
∴=，即AB•DF=BF•BD，
由AB=BC，AB⊥BC，
∴AB=AC，
∴AC•DF=BF•BD；
（2）∵=，AB=BC、BD=DE，
∴=，
∵∠FBC+∠BDF=90°、∠BDF+∠EDF=90°，
∴∠FBC=∠EDF，
∴△FBC∽△FDE，
∴∠BFC=∠DFE，
又∠BFD=∠BFC+∠CFD=90°，
∴∠DFE+∠CFD=90°，即∠CFE=90°，
故∠CFE的度数保持不变，始终等于90°．
（3）当C为BD中点时，CE∥BF，
理由如下：
∵C为BD中点，
∴AB=BC=CD=BD=DE，
在△ABD和△CDE中，
∵，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴∠ADB=∠CED，
∵∠CED+∠ECD=90°，
∴∠ADB+∠ECD=90°，
∴CE⊥AD，
∵BF⊥AD，
∴CE∥BF．。