结构力学第4章静定拱(f)
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解：相应简支梁（图b）的弯矩方程为
M0
三铰拱的推力为
1 qx (l x) 2
0 MC ql 2 FH f 8f
合理拱轴线方程为
M0 4f y 2 x(l x) FH l
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求图示对称三铰拱在上填料重量作用下的合理拱轴线。 荷载集度q=qc+γy，qc为拱顶处的荷载集度，γ为填料容重。
0 FAV FAV FH tan
（b）
0 FBV FBV FH tan
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
合理拱轴线：拱上所有截面的弯矩都等于0（剪力也为0），只有轴力
时的拱轴线。
由 M M 0 FH y 0
M0 得 y FH
合理拱轴线方程
例4-2 试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。
2
解：求支座反力，结果如图a。 8等分，如图a。
求内力，将拱沿水平方向分为
§4-2 三铰拱的计算
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力 分解如图（b）。 由平衡条件可得 （a）
0 MC F , FBV F , FR FAV h 0 AV 0 BV
0 MC cos FH FR f
第四章
§4-1 概述
静定拱
§4-2 三铰拱的计算 §4-3 三铰拱的合理拱轴线
§4-1 概述
拱：杆轴线为曲线,在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。 常用的形式有 本章讨论：静定拱 三铰拱—静定结构
水平反力指向内方称为推力
两铰拱—超静定结构
无铰拱—超静定结构
竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构或推力结构。
F
取左半拱为隔离体
x
wenku.baidu.com
0 FAH FBH FH
可 得 相应简支梁
FAV l1 F1 (l1 a1 ) M C 0 FH f 三铰拱的反力只 0 FAV FAV 与荷载及三个铰的位 0 置有关，与拱轴线形 FBV FBV 状无关； 0 MC FH 推力FH 与拱高 f f
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算 压力为正
任一截面的轴力等于该截面一 侧所有外力在该截面法线方向 上的投影代数和。
FN FAV sin FH cos F1 sin ( FAV F1 ) sin FH cos FS0 sin FH cos
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算 相应简支梁K截面的剪力为FS0 剪力以绕隔离体顺时针转动 为正，反之为负。
任一截面的剪力等于该截面 一侧所有外力在该截面方向 上的投影代数和。
FS FAV cos F1 cos FH sin ( FAV F1 ) cos FH sin FS0 cos FH sin
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
FH
方程的一般解为
y A cosh
x B sinh
FH
x
qc
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A
qc
B0
合理拱轴线的方程为
y
qc
(cosh
FH
x 1)
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
d qd 0 2 d d sin 2 2
解：由图a，荷载为非竖向荷载。 思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。 取一微段为隔离体如图b。
M
合理拱轴线方程为
O
0 FN (FN dFN ) 0
FN =常数
可得 dFN 0 沿s-s 写出投影方程为 圆弧线 因 d 极小
2 FN sin
FN q
§4-1 概述
拱的内力一般有弯矩、剪力和轴力。 优点： 由于推力的存在，拱的弯矩比跨度、荷载相同的梁的弯矩 小得多，并主要是承受压力。 拱截面上的应力分布较为均匀，更能发挥材料的作用，可 利用抗拉性能差而抗压较强的材料如砖、石、混凝土。 缺点：由于支座承受水平推力，要求比梁具有更坚固的地 基或支承结构（墙、柱、墩、台等）。 区别拱与梁的主要标志：推力的存在与否。
成反比。
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
计算图a所示三铰拱K截面的内力 取隔离体如图b
M [ FAV x F1 ( x a1 )] FH y
相应简支梁K截面的弯矩为M 0
M M 0 FH y
拱内任一截面的弯矩M等于相 应简支梁对应截面的弯矩M0减 去推力所引起的弯矩FHy。 由于推力的存在，拱的弯矩比 梁的要小。
§4-1 概述
拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力
拉杆做成折线形可获得较大空间
高跨比：f/l
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算
由拱的整体平衡
M B 0 FAV M
A
Fb
i i
0 FBV
l Fi ai l
解：由图中所示的坐标系截面弯矩为
M M 0 FH ( f y)
由M=0可得
M0 ( f y) FH
1 d2M 0 相应简支梁的弯矩方程无法写出，对上式两边求导得 y FH dx 2 q d2M 0 y 当q向下为正时 可得 q 2 FH dx qc y y 将已知条件代入得 FH FH （二阶常系数线性非齐次微分方程）
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
M M 0 FH y
FS FS0 cos FH sin
FN FS0 sin FH cos
三铰拱的内力与荷载、三个铰的 位置、拱轴线形状有关；
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
例4-1 试作图a所示三铰拱的内力图。拱轴线为抛物线，方程 为 y 4l f x(l x)
M0
三铰拱的推力为
1 qx (l x) 2
0 MC ql 2 FH f 8f
合理拱轴线方程为
M0 4f y 2 x(l x) FH l
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求图示对称三铰拱在上填料重量作用下的合理拱轴线。 荷载集度q=qc+γy，qc为拱顶处的荷载集度，γ为填料容重。
0 FAV FAV FH tan
（b）
0 FBV FBV FH tan
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
合理拱轴线：拱上所有截面的弯矩都等于0（剪力也为0），只有轴力
时的拱轴线。
由 M M 0 FH y 0
M0 得 y FH
合理拱轴线方程
例4-2 试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。
2
解：求支座反力，结果如图a。 8等分，如图a。
求内力，将拱沿水平方向分为
§4-2 三铰拱的计算
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力 分解如图（b）。 由平衡条件可得 （a）
0 MC F , FBV F , FR FAV h 0 AV 0 BV
0 MC cos FH FR f
第四章
§4-1 概述
静定拱
§4-2 三铰拱的计算 §4-3 三铰拱的合理拱轴线
§4-1 概述
拱：杆轴线为曲线,在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。 常用的形式有 本章讨论：静定拱 三铰拱—静定结构
水平反力指向内方称为推力
两铰拱—超静定结构
无铰拱—超静定结构
竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构或推力结构。
F
取左半拱为隔离体
x
wenku.baidu.com
0 FAH FBH FH
可 得 相应简支梁
FAV l1 F1 (l1 a1 ) M C 0 FH f 三铰拱的反力只 0 FAV FAV 与荷载及三个铰的位 0 置有关，与拱轴线形 FBV FBV 状无关； 0 MC FH 推力FH 与拱高 f f
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算 压力为正
任一截面的轴力等于该截面一 侧所有外力在该截面法线方向 上的投影代数和。
FN FAV sin FH cos F1 sin ( FAV F1 ) sin FH cos FS0 sin FH cos
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算 相应简支梁K截面的剪力为FS0 剪力以绕隔离体顺时针转动 为正，反之为负。
任一截面的剪力等于该截面 一侧所有外力在该截面方向 上的投影代数和。
FS FAV cos F1 cos FH sin ( FAV F1 ) cos FH sin FS0 cos FH sin
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
FH
方程的一般解为
y A cosh
x B sinh
FH
x
qc
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A
qc
B0
合理拱轴线的方程为
y
qc
(cosh
FH
x 1)
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
d qd 0 2 d d sin 2 2
解：由图a，荷载为非竖向荷载。 思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。 取一微段为隔离体如图b。
M
合理拱轴线方程为
O
0 FN (FN dFN ) 0
FN =常数
可得 dFN 0 沿s-s 写出投影方程为 圆弧线 因 d 极小
2 FN sin
FN q
§4-1 概述
拱的内力一般有弯矩、剪力和轴力。 优点： 由于推力的存在，拱的弯矩比跨度、荷载相同的梁的弯矩 小得多，并主要是承受压力。 拱截面上的应力分布较为均匀，更能发挥材料的作用，可 利用抗拉性能差而抗压较强的材料如砖、石、混凝土。 缺点：由于支座承受水平推力，要求比梁具有更坚固的地 基或支承结构（墙、柱、墩、台等）。 区别拱与梁的主要标志：推力的存在与否。
成反比。
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
计算图a所示三铰拱K截面的内力 取隔离体如图b
M [ FAV x F1 ( x a1 )] FH y
相应简支梁K截面的弯矩为M 0
M M 0 FH y
拱内任一截面的弯矩M等于相 应简支梁对应截面的弯矩M0减 去推力所引起的弯矩FHy。 由于推力的存在，拱的弯矩比 梁的要小。
§4-1 概述
拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力
拉杆做成折线形可获得较大空间
高跨比：f/l
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算
由拱的整体平衡
M B 0 FAV M
A
Fb
i i
0 FBV
l Fi ai l
解：由图中所示的坐标系截面弯矩为
M M 0 FH ( f y)
由M=0可得
M0 ( f y) FH
1 d2M 0 相应简支梁的弯矩方程无法写出，对上式两边求导得 y FH dx 2 q d2M 0 y 当q向下为正时 可得 q 2 FH dx qc y y 将已知条件代入得 FH FH （二阶常系数线性非齐次微分方程）
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
M M 0 FH y
FS FS0 cos FH sin
FN FS0 sin FH cos
三铰拱的内力与荷载、三个铰的 位置、拱轴线形状有关；
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
例4-1 试作图a所示三铰拱的内力图。拱轴线为抛物线，方程 为 y 4l f x(l x)