大学物理第四章机械振动

d x 2 x 0 2 dt
2
一、简谐振动的特征方程
1.动力学特征方程
F kx
2.运动学特征方程
d x 2 x 0 2 dt
3.简谐振动的运动方程（振动方程）
2
k m
x A cos( t )
A、 为积分常数，由初始条件确定
二、简谐振动的速度和加速度
1.x 12 cos(t

3
)cm， 2.x 6 3cm, v 6 , a 6 3 2
3.v 6 3 , a 6 2 , t 5 / 6
4-3 简谐振动的旋转矢量表示法
当一矢量A绕其一端点以角速度旋转时，另一 端点在x轴或y 轴上的投影点上将作简谐振动。
设t=0时，A与x轴夹角为 ，t 时刻，A转过 t角， 则矢量端点在x轴上投影 点坐标为 x = Asin（ t+） 演示程序：旋转矢量表示法

A
t0

x
例题4 一水平弹簧振子，振幅A=2.0102m，周期 T=0.5s。当t=0时，（1）质点过x=1.0102m处，向 负方向运动；（2）质点过x= 1.0102m处，向正 方向运动。分别写出两种情况谐振动的运动方程。 解 （1）根据题意，t=0时， (1) x0=A/2，且v00，可得旋转矢 A π 量的初始位置（如图）。由题 3 图可得谐振动的初相 x π o (2) 3 =2/T=4 radS1，A=2.0102m π 2 谐振动运动方程为 x 2.0 10 cos( 4πt )m 3 4π 2 （2） x 2.0 10 cos( 4πt )m 3
例2: 一个轻弹簧竖直悬挂，下端挂一质量m的物体， 平衡时可使弹簧伸长b 。今用手托起物体使弹 簧处于原长，由静止释放。试证物体作简谐运 动，并写出运动表达式。
b
o
x
例3: 已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中 数据写出振动表达式。
解： x
A cos(t )
x(m)
2
2
由图可见，A=2m x 0 2 cos 2 v 0 2 sin 0 4 当t=1s时，有
二、一个周期内的平均能量
平均动能
1 E K T
平均势能

T
0
1 1 1 2 2 2 KA sin (t )dt KA E 2 4 2 1 1 1 2 2 2 KA cos (t )dt KA E 2 4 2
1 E P T
T
0
1 2 1 简谐振动的动能 EK mv mA2 2 sin 2 (t ) 2 2 1 2 1 2 简谐振动的势能 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2
x(t ) A cos( t )
简谐振动的势能
1 2 1 EK mv mA2 2 sin 2 (t ) 2 2
1 2 1 2 2 E p kx kA cos ( t ) 2 2
1 2 1 E EP EK kA m 2 A2 C 2 2
di q L dt c
dq i dt

1 Lc
d 2q 1 q0 2 dt Lc
q Q cos( t )
dq π i Q sin( t ) I cos( t ) dt 2
例题5 如图所示，一匀质细棒AB 的两端，用长 度都为l且不计质量的细线悬挂起来，当棒以微小 角度绕中心轴OO扭动时，求证其运动周期为
由于细棒扭动角度很小，2为二级小量，故Ekc可 忽略不计 不计阻力时，系统机械能守恒
EK EP
1 1 2 d 2 ( mR )( ) mgl (1 cos ) 常量 2 3 dt
对时间t求导
o A R o

1 d 2 d d mR mgl sin 0 2 l 3 dt dt dt
第四章
第四章 机械振动
4.1 简谐振动 4.2 谐振动的能量 4.3 谐振动的旋转矢量投影表示法 4.4 谐振动的合成
4.5 阻尼振动 受迫振动 共振
什么是机械振动？
振动：指任何一个物理量（ r , , E , H , I , 一确定值附近的反复变化过程。
特点：具有重复性，即周期性。
例如:一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中 原子的振动等.
三、描述简谐振动的物理量 x A cos( t )
A
t 图 x xv v
T 2
o
A
(3) 相位和初相位

v
T
t
t ( x, v)存在一一对应的关系;
相位在 初相位
0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ ( n 为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
o
t
三、描述简谐振动的物理量
x A cos( t )
振幅、频率和周期、相位和初相 (1) 振幅A：离开平衡位置的最大位移的绝对值。 (2) 频率和周期 周期T ：完成一次全振动所需的时间 频率 ：单位时间内全振动的次数。 角频率ω ： 注意
1 2π T v
2π 2πv T
2 l T 2 g
演示程序：单摆
复摆 任意形状的刚体悬挂后绕通过O点 的一固定轴作小角度摆动 J0为刚体绕O 轴的转动惯量，h为 刚体重心到O点的距离 d 2 J 0 2 mgh sin mgh dt
O C
OC h

mg
mgh J0
2
J0 T 2π mgh
例4： 一物体沿x轴作简谐振动,振幅为12cm, 周期 T 2 s, t 0 ,位移为6cm且向x正方向运动， 求： 1) 初位相及振动方程； 2) t 0.5s 时，物体的位置、速度和加速度； 3) x 6cm处，向x轴负方向运动时，物体的 速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置 所需的最短时间；
π x1 2 cos( ) 0 4 π v1 2 sin( ) 0
3 -1 π π S 4 4 2
0
-2
1
t(s)
4
3 x 2 cos( t ) m 4 4
4-2 简谐振动的能量
一、简谐振动的(瞬时)能量
简谐振动的动能

取
0
A
o o
A
x
x t 图
t
2
v A sin(t )
A
v
a
v t 图
2
t
π A cos(t ) 2
a A 2 cos(t )
2
A
a t图
2
A 2
A cos(t π) A 2
o
平衡位置
x
一、简谐振动的特征方程
以弹簧振子为例！
1.动力学特征方程
F kx
θ
合外力
注意：不能仅局限于虎克定律上。 如钟摆：
mg
一、简谐振动的特征方程
o
2.运动学特征方程
平衡位置
2
x
d x 由牛顿第二定律: F kx m 2 dt
k m
2
k m
简谐振动运动学特征方程：
几种常见的简谐振动
单摆
结论 m cos( t )
d 2 mg sin ma ml 2 dt g 当 sin 时 0 l

T
l
mg sin
在角位移很小的时候，单摆的振动是简 谐振动。角频率、振动的周期分别为：
mg
g l
例如：一长度为l匀质细长杆悬挂其一端作小角度 摆动，h = l/2 1 2 2l J 0 ml T 2π 3 3g
无阻尼LC电磁振荡 由电感L和电容C组成的无阻尼电磁振荡电路中， C中电场和L中磁场相互转化，电路中电流i和电 容极板上电量q将作周期性变化，任一时刻，L上 电压均等于C两端电压，
）在某
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动
机械振动最显著的两个特点：
(1)有平衡点；
(2)具有重复性，是周期性振动。
机械振动的分类
按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。 按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。 按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。
按振动位移分：角振动、线振动。
3 简谐振动的能量 4 简谐振动的旋转矢量表示法 5 常见的简谐振动
在一次全振动中，谐振子有不同的运动状态， 分别与0~2 内的一个相位值对应。
初相位 ：t = 0时的相位。
四、决定 A, , 的因素
x A cos( t )
k 1. 决定于振动系统本身，与振动方式无关 m
2. A, 决定于初始条件（t = 0）：x0 ，v0
2
B
微小角度振动
R sin l 1 2 d d 2 R R d R gl 0 2 3 dt dt l l dt
d 2 3g 2 2 dt l
3g l
2
系统的振动周期
l T 2π 3g
2π
小
结
1 简谐振动的基本方程 F kx 2 d x 2 x 0 x A cos( t ) 2 dt 2 简谐振动的特征量
简谐振动的总能量
能量特征
动能和势能都随时间作周期性变化，其周期 是简谐振动x(t )的周期的1/2
弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量 不随时间变化。
1 2 1 2 2 2 简谐振动的动能 EK mv mA sin (t ) 2 2 1 2 1 2 简谐振动的势能 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 21 1 2 2 2 简谐振动的总能量 E EP EK kA m A C 2 2
x0 A cos v0 A sin
b.分析法
2 v0 A x0 2 a.公式法 arctan( v0 ) x0
例1: 某物体作谐振动，振动方程为：
x 2 cos(5 t

6
)m
则该物体振动的振幅、圆频率、频率、周期、 初相以及初始时刻的位移、速度、加速度各是 多少？
(t 0)
描述质点初始时刻的运动状态.
三、描述简谐振动的物理量
(2) 频率和周期
x A cos( t )
(1) 振幅A：离开平衡位置的最大位移的绝对值。
1 2π T v 2π 2πv T
(3) 相位和初相位
A
Fra Baidu bibliotekx x t 图
T 2
T
o
A
t
相位(t+ )：决定谐振子运动状态
按系统参数特征分：线性、非线性振动。 简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。
4-1 简谐振动
什么是简谐振动？
物体所受回复力的大小与位移成正比，而方向相反的 运动称“简谐振动”。 谐振子：做“简谐振动”的物体称为谐振子。
谐振系统：谐振子+施力物体。 弹簧振子


l T 2π 3g

o
l
A R
B
o
证 设棒长为2R，质量为m，设细棒转离平衡 位置 角时，细线和直线的夹角为 ，则有l =R。在细棒扭动时，其质心沿轴oo上下运动。
质心相对于平衡位置的高度 质心速度
d vc l sin dt
hc = l (1cos)
杆的平动动能 1 2 1 2 d 2 2 1 2 d 2 2 Ekc mvc ml ( ) sin ml ( ) 2 2 dt 2 dt 系统绕质心的转动动能 1 1 1 d 2 2 2 J m ( 2 R ) mR EK J ( ) 12 3 2 dt EP mghc 系统势能
速度、加速度与时 间的函数关系为:
dx v A sin( t ) dt d2 x a 2 2 A cos( t ) 2 x dt
x A cos( t )
A、 为积分常数，由初始条件确定
x A cos(t )
T 2π