圆锥曲线中的焦点三角形

焦点三角形

焦点三角形问题是重要考点，考到的容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。 一：椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点12,F F 与椭圆上任意一点P 为顶点组成的三角形。

)0(12

2

22>>=+b a b y a x

性质有：

（1）12||||2PF PF a +=

（2）222

1212124||||2||||cos c PF PF PF PF F PF =+-∠

（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大.

证明：设P 是椭圆22

221x y a b

+= （0a b >>，c 为半焦距）上的一点，O 为原点，E 、F 是

椭圆的两焦点，PE m =，PF n =

则222222

244222cos 1122m n c b mn b b EPF mn mn mn a

+--∠=

==-≥-，由余弦函数图象性质知EPF ∠有最大值，当且仅当P 在短轴端点时取到该最大值。

（4）设P 为椭圆上的任意一点，角12F F P α∠=，21F F P β∠=，21F PF θ∠=，则有离心率sin()sin sin e αβαβ+=

+，122

sin 1cos PF F S b θθ∆=+2=b tan 2

θ

证明：由正弦定理得：

β

α

βαsin sin )

180sin(122

1PF PF F F o

=

=

--

由等比定理得：β

αβαsin sin )

sin(2121++=

+PF PF F F

而

)sin(2)sin(2

1βαβα+=

+c F F ，βαβαsin sin 2sin sin 2

1+=

++a

PF PF ∴β

αβαsin sin )sin(++==a c e 。

例题：

1、椭圆22

221(,0)x y a b a b

+=>的两个焦点12,F F ，点P 在椭圆上，且

1212414

,||,||33

PF PF PF PF ⊥==.求椭圆的方程22194x y +

=

2、设P 为椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 上一点，F 1、F 2为焦点，如果 7521=∠F PF ，

1512=∠F PF ，则椭圆的离心率为( )

A ．

22 B ．23 C ．32 D ．3

6 3、1F 、2F 是椭圆17

92

2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 12AF F ∆的面积为（ ）

A ．7

B ．

47 C ．2

7

D ．257

4、1F 、2F 是椭圆

22

12516

x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且1290,F AF ∠=，则A 到x 轴的距离为

A ．163

B ．165

C ．161635

or D ．非上述答案

5、设21F F ，分别是椭圆

116

252

2=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，12,F F P ， 是直角三角形的一个顶点，则P 点到x 轴的距离是 A.

163 B . 165 C. 161653

或 D. 非上述答案 6、设21F F ，分别是椭圆

22

1259

x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，12,F F P ， 是是直角三角形的三个顶点，则P 点到x 轴的距离是

A.

94 B. 95 C . 99

54

或 D. 非上述答案 7、过椭圆左焦点F ，倾斜角为3

π

的直线交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的

离心率为 （构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）

8、已知Rt ABC ∆，1,AB AC ==点C 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点，且AB 为

经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。

9、已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在

一点P 使1221

sin sin a c

PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值围为( )

A .)1,12(- B. )1,13(- C. )1,23(- D. )1,2

2(

二：双曲线的焦点三角形

双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点12,F F 与双曲线上任意一点P 为顶点组成的

三角形。22

221(0,0)x y a b a b

-=>>

性质有：

（1）12||||2PF PF a +=

（2）222

1212124||||2||||cos c PF PF PF PF F PF =+-∠

（3）设P 为椭圆上的任意一点，角12F F P α∠=，21F F P β∠=，21F PF θ∠=，则

有离心率sin()sin sin e αβαβ+=-(αβ>)，122

sin 1cos PF F S b θθ∆=-2=tan 2

b θ

（4） 例题：

1、设P 为双曲线2

2

112

y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）

A ．63

B ．12

C ．123

D ．24

2、已知12,F F 为双曲线22

:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则

12cos F PF ∠=

A ．14

B ．35

C ．34

D ．45

3、双曲线22

12

y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为（ ）

A.

43 B.5

3

C.3

D.233

4、已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =0

60，则P 到x 轴的距离为

(A) 32 (B)62

(C) 3 (D) 6 5、设F 1，F 2分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在

一点P ，使22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则该双曲线的离

心率为

A ．31+

B ．

31

2

+ C 62+D ．622