线性代数讲义1_矩阵与行列式
线性代数
第1章 矩阵与行列式
>> AB=A*B 运行结果： AB = 6 2 6 1 8 -1 >> D=6*A 运行结果： D= 18 6 12 6 6 12
-2 0 2
6 12 18
第1章 矩阵与行列式
>> sym c; >> cA=c*A 运行结果： cA = [ 3*c, c, c] [ 2*c, c, 2*c] [ c, 2*c, 3*c] >> F=A' 运行结果： F= 3 2 1 1 1 2
第1章 矩阵与行列式
【矩阵与行列式简介】
在计算机日益发展的今天，线性代数起着越 来越重要的作用。线性代数起源于解线性方程组 的问题，而利用矩阵来求解线性方程组的Gauss消 元法至今仍是十分有效的计算机求解线性方程组 的方法。矩阵是数学研究和应用的一个重要工具 ，利用矩阵的运算及初等变换可以解决求解线性 方程组等问题。特殊的矩阵方阵的数字特征之一 是方阵的行列式，使用行列式可以描述方阵的一 些重要的性质。通过计算行列式可求逆矩阵，n个
第1章 矩阵与行列式
>>C=A(2:end,[1,4]) 运行结果： C= 5 8 9 12 13 16 3．>> A=[0 1 2;1 1 4;2 -1 0]; >>E=eye(3); >>B=[A,E] 运行结果： B= 0 1 2 1 1 1 4 0 2 -1 0 0
0 1 0
0 0 1
第1章 矩阵与行列式
；
2 x1 4 x 2 x3 x 4 5 （2） x1 2 x2 2 x3 x 4 4 ． x 2x x 2x 1 2 3 4 1
线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
第一章 矩阵与行列式
第一章 矩阵与行列式第一节 矩阵及其运算一、矩阵的概念人们在从事经济活动、科学研究、社会调查时, 会获得许多重要的数据资料, 将这些数据排成一个矩形的数表111212122212n nm m mn a a a a a a a a a L L M M M L以便于进行储存、运算和分析, 这种矩形的数表就是矩阵.定义1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成m 行n 列的矩形 数表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L M M M L称为m 行n 列矩阵, 简称为m n ⨯矩阵, 其中ij a 称为矩阵的位于第i 行、第j 列的元素. 通常, 我们用大写字母,,A B L 表示矩阵. 例如, 记111212122212.n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M M L其中小括号“()” 也可用方括号“[]”代替. 有时, 矩阵也简记为()ij m nA a ⨯=或()ij A a =. 特别地, 当m n =时, 称A 为n 阶矩阵或n 阶方阵, 其中一阶方阵()a 是一个数, 括号可略去.元素全为实数的矩阵称为实矩阵, 元素全为复数的矩阵称为复矩阵. 本书主要在实数范围内讨论问题.对于由n 个未知量、m 个方程组成的线性方程组：11112211211222221122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L (1.1.1) 称矩阵A 11121121222212n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭LL M M M M L(1.1.2)为线性方程组(1.1.1)的增广矩阵；称矩阵A =111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭L L M M M L(1.1.3) 为线性方程组(1.1.1)的系数矩阵；矩阵12m b bB b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M (1.1.4)称为线性方程组(1.1.1)的常数项矩阵.显然, 线性方程组(1.1.1)由矩阵(1.1.2)完全地确定.下面介绍一些特殊的矩阵.(1) 零矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记为O . (2) 列矩阵、行矩阵 在矩阵A 中, 如果1n =, 则11211m a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M , 称这种只有一列的矩阵为列矩阵；同样, 如果1m =, 则()11121n A a a a =L ,称这种只有一行的矩阵为行矩阵.我们也将列矩阵和行矩阵分别称为列向量和行向量. 列向量和行向量统称为向量. 向量的元素称为分量, 有n 个分量的向量称为n 维向量. 矩阵与 向量有密切的联系, 矩阵()ij m nA a ⨯=可以看成由n 个m 维列向量12,1,2,,j j mj a a j n a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 组成, 也可以看成由m 个n 维行向量()12,1,2,,i i in a a a i m =LL 组成.(3) 负矩阵 如果矩阵()ij m nA a ⨯=, 则()ij m nA a ⨯-=-称为矩阵A 的负矩阵.(4) 行阶梯形矩阵 如果矩阵每一行的第一个非零元素所在的列中, 其下方元素全为零, 则称此矩阵为行阶梯形矩阵. 例如矩阵10234023450056700018A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 12102032210003100000B --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭均为行阶梯形矩阵, 而矩阵10232023450056700418C ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 则不是行阶梯形矩阵.(5) 行最简形矩阵 如果行阶梯形矩阵中, 非零行的第一个非零元素均为1, 且其所在列的其余元素均为0, 则称此矩阵为行最简形矩阵. 例如, 矩阵1060301205000110000⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭是行最简形矩阵.(6) 上(下)三角矩阵 n 阶方阵的左上角到右下角元素的连线称为主对角线, 左下角到右上角元素的连线称为次(副)对角线. 如果方阵的主对角线下(上)方元素全为0, 则称此矩阵为上(下)三角矩阵. 矩阵11121222000n n nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M L 为上三角矩阵, 矩阵11212212000n n nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LL M M M L 为下三角矩阵.(7) 对角矩阵 如果方阵中除主对角线上的元素外, 其余元素全为0, 则称此矩阵为对角矩阵. 例如, 矩阵12000000n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M L 为对角矩阵.(8) 单位矩阵 在对角矩阵中, 如果()11,2,,i i n λ≡=L , 即为 100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M L, 则称此矩阵为单位矩阵. 单位矩阵一般用E 或I 表示.定义2 如果两个矩阵()ij A a =, ()ij B b =的行数相同、列数也相同, 则称矩阵A 与B 为同型矩阵.定义3 如果两个同型矩阵m n A ⨯, m n B ⨯的对应元素均相等, 即 ()1,2,,;1,2,,ij ij a b i m j n ===L L , 则称矩阵A 与B 相等, 记作A B =.二、矩阵的运算 1. 矩阵的加法定义4 由两个同型矩阵()m n ij m nA a ⨯⨯=, ()m n ij m nB b ⨯⨯=对应元素的和,即ij ij a b +()1,2,,;1,2,,i m j n ==L L 组成的m n ⨯矩阵称为矩阵A 与B 的和,记作A B +, 即111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪ ⎪+++⎝⎭L L M M M L . 由此定义及负矩阵的概念, 我们定义矩阵A 与B 的差为()A B A B -=+-.注 只有同型矩阵才能相加(减). 2. 数与矩阵相乘(简称数乘)定义5 数k 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵称为数k 与矩阵A 的积, 记作kA , 即111212122212.n n m m mn ka ka ka ka ka ka kA ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M L 矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算, 其满足如下性质：(1) A B B A +=+； (2) ()()A B C A B C ++=++； (3) ()()A A λμλμ=；(4) ()A A A λμλμ+=+； (5) ()A B A B λλλ+=+； (6) A O A +=； (7) 1A A =；(8) ()A A O +-=.上面的λ, μ都是任意常数.例1 设112034A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 403123B -⎛⎫= ⎪--⎝⎭, 求A B +和23A B -.解14102(3)5110(1)3(2)43117A B +-++---⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭；224120923068369A B --⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭102133121--⎛⎫= ⎪-⎝⎭.3. 矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法)n 个变量12,,,n x x x L 与m 个变量12,,,m y y y L 之间的关系式11111221221122221122,,.n n n nm m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩L L L L L L L L L L L L (1.1.5) 表示一个从变量12,,,n x x x L 到变量12,,,m y y y L 的线性变换.设有两个线性变换11111221332211222233,.z a y a y a y z a y a y a y =++⎧⎨=++⎩ (1.1.6)和111112222112223311322,,.y b x b x y b x b x y b x b x =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ (1.1.7) 若要求出从12,x x 到12,z z 的线性变换, 可将(1.1.7)代入(1.1.6), 得 111111221133111112122213322221112221233112112222223322()(),()().z a b a b a b x a b a b a b x z a b a b a b x a b a b a b x =+++++⎧⎨=+++++⎩ (1.1.8) 线性变换(1.1.8)可看作是先作线性变换(1.1.7)、再作线性变换(1.1.6)的结果, 我们称线性变换(1.1.8)为线性变换(1.1.6)与(1.1.7)的乘积, 相应地, 我们将线性变换(1.1.8)所对应的矩阵定义为(1.1.6)与(1.1.7)所对应的矩阵的乘积,即 111211121321222122233132bb a a a b b a a a b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭111112211331111212221332211122212331211222222332.a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++⎛⎫= ⎪++++⎝⎭一般地, 我们有：定义6 设有矩阵()ij m sA a ⨯=和()ij s nB b ⨯=, 规定矩阵A 与B 的乘积是一个m n ⨯矩阵()ij m nC c ⨯=, 记为C AB =. 其中11221,1,2,,;1,2,,.ij i j i j is sjsik kj k C a b a b a b a b i m j n ==+++===∑L L L注 只有当前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘, 且乘积矩阵C 中的元素ij C 就是A 的第i 行与B 的第j 列的对应元素乘积的和.例2 设201131012A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 100221B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求AB .解AB 201101310201221-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2100(1)22002(1)11130121032110110(2)20012(2)1⨯+⨯+-⨯⨯+⨯+-⨯⎛⎫ ⎪=-⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯+-⨯⨯+⨯+-⨯⎝⎭ 0117.40-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭例3 求矩阵1111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭与1111B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的乘积AB 及BA .解111122;111122AB ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭111100.111100BA ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭由以上例题可以看出矩阵乘法与数的乘法有两点显著不同：(1) 矩阵乘法不满足交换律：AB 与BA 未必同时有意义(如例2, BA 没有意义)；即使都有意义也未必相等(如例3). 因此为明确起见, 称AB 为A 左乘B , 或B 右乘A . 只有在一些特殊情况下才有AB BA =, 这时称A 与B 是乘法可交换的. 容易验证数量矩阵aE 与任何同阶方阵A 乘法可交换, 即()().aE A A aE aA ==(2) 矩阵乘法不满足消去律：由AB O =不能得出A O =或B O =(如例3), 即,A O B O ≠≠但AB 有可能为O .有了矩阵相等和乘法的定义, 我们可以把线性方程组(1.1.1)写成矩阵形式：AX B =, 其中A =111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L L M M M L, 1122,.n m x b x b X B x b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M若B O =, 则称(1.1.1)为齐次线性方程组；若B O ≠, 则称(1.1.1)为非齐次线性方程组. 也可以把线性变换(1.1.5)写成矩阵形式：Y AX =, 其中12,m y y Y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭MA 与X 同上所设.可以证明矩阵的乘法有下列性质： (1) ()()AB C A BC =；(2) ()A B C AB AC +=+；()B C A BA CA +=+； (3) ()()()AB A B A B λλλ==, λ为任意常数； (4) ()().m m n m n m n n aE A aA A aE ⨯⨯⨯==定义7 设A 为n 阶方阵, k 为正整数, 称k 个A 的连乘积为方阵A 的k次幂, 记作k A , 即.k kA AA A =L 14243当,k l 都为正整数时, 由矩阵乘法的性质, 得(1) k l k l A A A +=；(2) ()lk kl A A =.注 由于矩阵乘法不满足交换律, 所以, 一般地()kk k AB A B ≠. 例4 设1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求nA (n 为正整数).解1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；2111112010101A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 3121113010101A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 一般地, 有101n n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭.其正确性可由数学归纳法证得, 证明略.4. 矩阵的转置定义8 把m n ⨯矩阵A 的行与列互换得到的一个n m ⨯矩阵, 称为A 的转置矩阵, 记作T A . 例如, 矩阵120311A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的转置矩阵为1321.01T A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭矩阵的转置也是一种运算, 满足下述运算规律：(1) ()TT A A = ；(2) ()TT T A B A B +=+ ；(3) ()TT A A λλ=, λ为一个数；(4) ()TT T AB B A = .例5 已知201132A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 171423201B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求().T AB解法1 因为1712010143423132171310201AB -⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,所以()0171413310TAB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 解法214221017()72003141313112310T T T AB B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.定义9 设A 为n 阶方阵, 如果满足T A A =, 即 ,,1,2,,.ij ji a a i j n ==L则称A 为对称矩阵. 对称矩阵的特点是：关于主对角线对称的对应元素相等.定义10 设A 为n 阶方阵, 如果满足T A A =-, 即ij ji a a =-, ,1,2,,.i j n =L则称A 为反对称矩阵. 反对称矩阵的特点是：主对角线上的元素全为0, 其余关于主对角线对称的对应元素则互为相反数.习题1-11. 设111210111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 120124051B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 求23AB A -及T A B .2. 已知两个线性变换113212331232,232,45.x y y x y y y x y y y =+⎧⎪=-++⎨⎪=++⎩ 和 1122133233,2,.y z z y z z y z z =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩ 求从1z , 2z , 3z 到1x , 2x , 3x 的线性变换. 3. 计算下列乘积：(1) 401123520-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭421⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭；(2) ()123321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (3) 321⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭()123；(4) 121232101110324-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.4. 设A =1203-⎛⎫ ⎪⎝⎭, B =2032⎛⎫⎪-⎝⎭, 问(1) AB BA =吗?(2) ()2A B +=2A +2AB +2B 吗? (3) ()A B +()A B -=2A 2B -吗? 5. 举反例说明下列命题是错误的： (1) 若2A O =, 则A O =； (2) 若2A A =, 则A O =或A E =； (3) 若AX AY =, 且A O ≠, 则X Y =.6. 设A =1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 1111B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求2()AB , 22A B .第二节 矩阵的初等变换与初等矩阵一、初等变换的概念中学里, 已经学过用加减消元法解二、三元线性方程组.例1 解三元线性方程组1231231232344,23,226 2.x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩ (1.2.1) 解 为叙述方便, 方程组的第i 个方程记为(1,2,3)i r i =. i j r r ↔表示对调第i 、第j 个方程, (0)i kr k ≠表示用k 乘第i 个方程的两边, i j r kr +表示第j 个方程的两边乘以k 然后加到第i 个方程上.方程组(1.2.1)12312r r r ↔⨯−−−→12312312323,2344,3 1.x x x x x x x x x +-=-⎧⎪--+=⎨⎪+-=-⎩ (1.2.2)21311232232323,22,2 2.r r r r x x x x x x x +-+-=-⎧⎪−−−→+=-⎨⎪--=⎩ (1.2.3)321232323,22,00.r r x x x x x ++-=-⎧⎪−−−→+=-⎨⎪=⎩(1.2.4)方程组(1.2.4)呈阶梯状(其增广矩阵为行阶梯形矩阵), 称为阶梯形方程组. 方程组(1.2.4)有3个未知量但有效方程只有2个, 因此有1个未知量可以任意取值, 称为自由未知量. 我们不妨取3x 为自由未知量. 先由方程组(1.2.4)中的2r 得：2322x x =--, 再代入(1.2.4)中的1r 得：1351x x =+.方程组(1.2.4)与方程组(1.2.1)是同解的, 由于3x 取值的任意性, 因此方程组(1.2.1)有无穷多组解, 其一般形式(通解)是13233351,22,.x x x x x x =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩ 若令3x c =, 即得123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=5122c c c +⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭=521c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭+120⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,其中c 为任意常数.解方程组(1.2.1)的过程中施行了3种变换：(1) 换位变换 即互换两个方程的位置；(2) 倍乘变换 即用一个非零常数乘某一方程；(3) 倍加变换 即把一个方程乘以常数后加到另一个方程上去. 这三种变换统称为线性方程组的初等变换.首先, 我们用换位、倍乘和倍加变换得到的新方程组可以用同类型变换变回原方程组(例如方程组(1.2.2)1232r r r ↔⨯−−−→方程组(1.2.1)), 因此线性方程组 的初等变换是同解变换；其次, 可以证明：任何线性方程组都可以用初等变换化为阶梯形方程组, 而阶梯形方程组很容易判定是否有解, 且有解时容易通过自下而上的“回代”得到解.由于线性方程组AX B =和其增广矩阵A 相互唯一地确定, A 的每一行 对应AX B =中的一个方程, 因此线性方程组的初等变换就对应着其增广矩阵的相应行变换.定义1 对矩阵施行的下列3种变换统称为矩阵的初等行变换： (1) 换位变换 对调矩阵的第i 行和第j 行, 记为i j r r ↔； (2) 倍乘变换 用常数0k ≠乘第i 行, 记为i kr ；(3) 倍加变换 把第j 行的k 倍加到第i 行上去, 记为i j r kr +.把上述定义中的“行”换成“列”(所有记号只要把""r 换成""c )即为矩阵的初等列变换. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.回顾例1, 方程组(1.2.1)的初等变换(消元)过程可以用增广矩阵的初等行变换表示如下：234412132262A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭12312r r r ↔⨯−−−→121323441131--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭=A 121312r r r r +-−−−→121301220122--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭=A 232r r +−−−→121301220000--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=A 3 122r r -−−−→105101220000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=A 4,A 3是行阶梯形矩阵, A 4是行最简形矩阵, A 4对应的方程组为132351,22,00.x x x x -=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩取3x 为自由未知量, 并令3x c =, 即得1235122x c X x c x c +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭521c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭+120⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, 其中c 为任意常数.利用初等行变换, 把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 是一种很重要的运算. 行阶梯形矩阵不是唯一的, 但其非零行的行数是唯一确定 的(第五节将给出证明). 在解线性方程组AX B =时, 将增广矩阵A 化为行阶梯形矩阵, 就可以看出原方程组中是否有矛盾方程, 从而判断AX B =是否有解；在有解时, 进一步地将A 化为行最简形矩阵, 即可写出方程组AX B =的解.例2 将矩阵A =212341352012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.解A =212341352012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭21312212301110111r r r r --⎛⎫⎪−−−→--- ⎪ ⎪---⎝⎭32212301110000r r -⎛⎫ ⎪−−−→--- ⎪ ⎪⎝⎭(行阶梯形矩阵)1212(1)r r ⨯⨯-−−−→13112201110000⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12121101201110000r r -⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (行最简形矩阵)例3 求解方程组123423412341234231,41,234,23 6.x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=⎪⎨++-=⎪⎪+--=-⎩解11231011411231423116A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪---⎝⎭31412111231011410114301578r r r r A --⎛⎫ ⎪-⎪−−−→= ⎪- ⎪---⎝⎭3242211231011410000200639r r r r A --⎛⎫ ⎪-⎪−−−→= ⎪ ⎪---⎝⎭34311231011410063900002r r A ↔⎛⎫ ⎪-⎪−−−→= ⎪--- ⎪⎝⎭,矩阵3A 是行阶梯形矩阵, 其对应的方程组为123423434231,41,639,0 2.x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=⎪⎨--=-⎪⎪=⎩ 第四个方程为02=, 这是不可能的, 故原方程组无解.例4 求解方程组1234123412341234231,234,324,23 6.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=-⎪⎨---=-⎪⎪+--=-⎩ 解11231123143112423116A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪---- ⎪---⎝⎭ 213141321112310114504711701578r r r r r r A ---⎛⎫ ⎪--⎪−−−→= ⎪---- ⎪---⎝⎭ 3242421123101145003272700633r r r r A +-⎛⎫⎪--⎪−−−→= ⎪---⎪---⎝⎭4323112310114500327270005151r r A -⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→= ⎪--- ⎪⎝⎭1331451()411231011450019900011r r A ⨯-⨯⎛⎫⎪--⎪−−−→= ⎪⎪⎝⎭34241494351120201101001000011r r r r r r A -+--⎛⎫⎪-⎪−−−→= ⎪⎪⎝⎭231312261000101001001000011r r r r r r A ----⎛⎫⎪-⎪−−−→= ⎪⎪⎝⎭,3A 是行阶梯形矩阵, 6A 是行最简形矩阵, 6A 对应的方程组为12341,1,0,1.x x x x =-⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩故原方程组有唯一解, 即12341101x x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 二、初等矩阵定义2 将单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵. 对应于三类初等行、列变换, 有下列三种类型的初等矩阵：(1) 初等换位矩阵 对调单位矩阵的第i , j 两行或第i , j 两列而得到的矩阵, 即为11011(,)11011E i j ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭O L M O M L O i j ←←第行第行 (2) 初等倍乘矩阵 用常数0k ≠乘单位矩阵的第i 行或第i 列而得到的矩阵, 即为11(())11E i k k i ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=← ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭O O 第行(3) 初等倍加矩阵 把单位矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上而得到的矩阵, 即为11(,())11k i E i j k j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪← ⎪= ⎪⎪← ⎪⎪⎪⎝⎭O L O M O 第行第行 (,())E i j k 也可看作是把单位矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列上而得到的矩阵.下面我们用一个初等矩阵左乘或右乘一个矩阵. 例如111211112121222313233132321222100001010n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L L L ； 111213111312212223212322123132100001010m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a aa a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M M M M M .由此可见, 用三阶初等换位矩阵(2,3)E 左乘矩阵3n A ⨯, 相当于对矩阵3n A ⨯作一次相应的初等换位行变换(即对调矩阵3n A ⨯的第2,3两行)；用三阶初等换位矩阵(2,3)E 右乘矩阵3m A ⨯, 相当于对矩阵3m A ⨯作一次相应的初等换位列变换(即对调矩阵3m A ⨯的第2,3两列).用初等倍乘矩阵或初等倍加矩阵左乘或右乘一个矩阵, 可得类似的结论.一般地, 有如下定理.定理 设A 是一个m n ⨯矩阵, 对A 施行一次初等行变换, 相当于在A 的左边乘一个相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换, 相当于在A 的右边乘一个相应的n 阶初等矩阵.由定理可知, 对于同阶初等矩阵, 有(1) (,)(,);E i j E i j E ⋅= (1.2.5) (2) 1(());E i E i k E k ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1.2.6)(3) (,())(,()).E i j k E i j k E -⋅= (1.2.7)习题1-21. 把下列矩阵化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵：(1) 121131114302-⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭；(2) 1111532114012211543314⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.2. 求解下面的方程组(1) 12341234123412343520,2350,7430,415790.x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-+-+=⎪⎪+-+=⎩(2) 123423412341234231,41,234,236,x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=⎪⎨++-=⎪⎪+--=-⎩(3) 123451234512345321,335432,2244 3.x x x x x x x x x x x x x x x +++-=⎧⎪+++-=⎨⎪+++-=⎩第三节 行 列 式一、n 阶行列式的定义 对于二元线性方程组11112212112222,.a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ (1.3.1) 用消元法可得：当112212210a a a a -≠ 时, 存在唯一的解122212*********,b a b a x a a a a -=-211121*********b a b ax a a a a -=-.如果我们将方程组(1.3.1)的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭所对应的二阶行列式定义为1112112212211222a a D A a a a a a a ===-, (1.3.2) 并记1D =112222b a b a , 2D =111212ab a b , 则方程组(1.3.2)的解可写成如下形式11D x D =, 22Dx D=. (1.3.3)同样, 可以用行列式表示三元线性方程组111122133121122223323113223333,,.a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (1.3.4) 的解. 为此定义111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++--- (1.3.5)为系数矩阵所对应的三阶行列式, 用()1,2,3j D j =分别记用方程组(1.3.4)右端的常数列替换D 中的第j 列所得的三阶行列式, 则当0D ≠时, 方程组(1.3.4)的解可写为11D x D =, 22Dx D =, 33D x D=. (1.3.6)式(1.3.3)和式(1.3.6)分别用二、三阶行列式来表示方程组(1.3.1)、(1.3.4)的解. 这些公式形式简单, 便于记忆, 明显地表示出线性方程组的解与方程组的系数和常数项的关系. 这就启发我们考虑：如果含有n 个未知量、n 个方程的线性方程组有唯一解, 能否给出类似的求解公式？回答是肯定的 . 为此, 必须推广二、三阶行列式.二阶及三阶行列式的定义, 即公式(1.3.2)及(1.3.5), 可以用“对角线法则”来记忆(见下图)：11122122a a a a 111213111221222321223132333132a a a a a a a a a a a a a a a (-) (+) (-) (-) (-) (+) (+) (+)二阶行列式等于主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积.三阶行列式等于主对角线及与其平行的两条线上各 3 个元素的乘积之和, 减去副对角线及与其平行的两条线上各3 个元素乘积之和.例1 求行列式的值：12(1)34-, 102(2)211313---. 解 (1)1214(2)31034-=⨯--⨯=； (2) 1022113(4)0(6)012313--=-+-+----=--.例2 求解方程211123049x x =. 解 方程左端的三阶行列式2223418129256,D x x x x x x =++---=-+由2560x x -+=, 解得2x =或3x =.分析三阶行列式的定义, 我们发现第一, 式(1.3.5)的右端有3!项, 除去带有的正、负号外, 每项都是这个行列式中的每一行和每一列中任取1个且仅取1个元素的积. 如果把元素的第1个下标, 即行标(表示元素所在的行)按照123顺序排列, 则它的任意 一项可写成123123j j j a a a , 这里123,,j j j 是1, 2, 3 的一个排列(由１, 2, 3这三个数按某种次序所排成的一个有序数组), 元素的第2个下标, 即列标k j 表示 该元素所在的列.第二, 这6项中带有正号的那些项, 列标123,,j j j 形成3个排列： 123, 231, 312；带有负号的那些项的列标也形成3个排列：321, 213, 132.我们感兴趣的是, 这2组排列的区别是什么？为了回答这个问题, 我们给出下面几个定义.定义1 由1,2,,n L 这n 个数按某种次序所排成的一个有序数组12n j j j L 称为一个n 元全排列.显然, n 元全排列的个数为n !定义2 对于n 个不同元素, 若事先规定各元素之间有一个标准次序(例如n 个不同的自然数, 可规定由小到大为标准次序), 于是在这n 个元素的任一排列中, 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时, 就说有1个逆序.定义3 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数, 用τ表示. 定义4 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 递序数为偶数的排列称为偶排列.标准排列12n L 的逆序数(12)0n τ=L , 为偶排列. 可以证明：当2n ≥时,n 元全排列中奇 、偶排列各占一半, 即各有!2n 个.例3 求排列32514的逆序数, 并指明奇偶性. 解 在排列32514中, 3排在首位, 没有逆序；2的前面比2大的数有一个(3), 故有1个逆序； 5是最大数, 没有逆序；1的前面比1 大的数有三个(3, 2, 5), 故有3个逆序；4的前面比4大的数有一个(5), 故有1个逆序, 于是这个排列的逆序数为(32514)1315τ=++=. 从而排列32514是奇排列.现在回过来考察三阶行列式展开式中各项正负号的取法, 因为(123)0τ=, (231)2τ=, (312)2τ=, (321)3τ=, (213)1τ=, (132)1τ=,由此可见：任一项带正号或负号完全由它的行标为标准次序时, 列标形成的 排列123j j j 的奇偶性来决定, 即当列标形成的排列为偶排列时, 该项取正 号；列标形成的排列为奇排列时, 该项取负号. 因此, 我们有1231231112133!()212223123313233(1)j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=-∑, (1.3.7) 其中3!∑表示对1,2,3的所有排列求和, 共有3!6=项.二阶行列式也可以表示成和式12122!1112()122122(1)j j j j a a a a a a τ=-∑.定义5 设()ij n n A a ⨯=是一个n 阶方阵(2)n ≥, 称121211121!21222()1212(1)n n nn nj j j j j nj n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑L L L L M M M L (1.3.8)为n 阶行列式, 也可称为方阵A 的行列式, 记为A 或det A . 规定一阶行列式a a =(注意不要与绝对值混淆).下面是n 阶行列式的等价定义：121211121!21222()1212(1)n n nn ni i i i i i n n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑L L L L M M M L , (1.3.9)上式右端各项的n 个因子是按列标组成标准次序的.由行列式的定义知, 若行列式的某行(列)的元素都是零, 则此行列式为零.例4 证明对角行列式(对角线以外的元素均为0)(1)1212n nλλλλλλ=L O； (2)1(1)2212(1)n n n nλλλλλλ-=-L N.证明 (1) 由行列式的定义即得.(2) 若记,1i i n i a λ+-=则由行列式的定义可得1122,11nn nn a a a λλλ-=NN12,1112(1)(1)n n n n a a a ττλλλ-=-=-L L , 其中τ为排列(1)21n n -L 的逆序数, 故(1)12(1)2n n n τ-=+++-=L . 例5 证明行列式112122112212000nn n n nna a a D a a a a a a ==L L L M M M L. 证明 由于当j i >时, 0ij a =, 故D 中可能不为0的元素i i p a , 其下标应有i p i ≤, 即121,2,,n p p p n ≤≤≤L .在所有排列12n p p p L 中, 能满足上述关系的排列只有一个排列12n L , 其逆序数0τ=, 所以D 中可能不为0的项只有一项1122(1)nn a a a τ-L , 即1122nn D a a a =L . 对角线以下(上)的元素都为零的行列式称为上(下)三角行列式, 它们的值与对角行列式一样, 都等于主对角线上元素的乘积.二、行列式的性质 记111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a =L L M M M L, 112111222212n n T n n nna a a a a a A a a a =L LM M M L, 行列式T A 称为行列式A 的转置行列式.性质1 行列式与它的转置行列式相等. 例如3421=--3241-=-5.由性质1可知, 行列式对行成立的性质, 对列也成立, 反之亦然. 以下叙述行列式性质时, 只对行叙述.性质2 互换行列式的两行, 行列式变号. 例如3421=--5, 2134--=5-.推论 若行列式有两行元素完全相同, 则此行列式为零.性质3 行列式中某一行的所有元素乘同一数k 等于用k 乘原行列式(第i 行乘以k , 记作：i r k ⨯).推论1 行列式中某一行的所有元素的公因子可提到行列式记号外. 由此推论及矩阵的运算, 设A 为n 阶方阵, λ为数, 则n A A λλ=. 例如, 若A 是三阶方阵且2A =, 则322216A =⋅=.推论2 行列式中如果有两行的元素对应成比例, 则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行元素都是两数之和, 例如11121112212n i i i i in inn n nna a a D a a a a a a a a a '''=+++L M M ML MM M L,则行列式D 等于下面的两个行列式之和：111211212n i i in n n nn a a a D a a a a a a =L M M M L M M M L 111211212ni i in n n nna a a a a a a a a '''+L M M M LM M M L. 注 行列式的加法与矩阵的加法不同.性质5 把行列式的某一行的各元素乘以同一个数, 然后加到另一行对应的元素上去, 行列式不变.以上性质不难由行列式的定义证得, 以性质4为例, 证明如下. 性质4的证明 由(1.3.8)式, 得 1212!()12(1)()n i i n n j j j j j ij ij nj D a a a a a τ'=-+∑L L L 1212!()12(1)n i n n j j j j j ij nj a a a a τ=-∑LL L1212!()12(1)n i n n j j j j j ijnj a a a a τ'+-∑L L L 111211212n i i in n n nn a a a a a a a a a =LM MM LM M M L111211212ni i in n n nna a a a a a a a a '''+L M M M L M M M L. 例6 计算行列式121024*********3D -=---. 解D21314123r r r r r r -++ 1210003202110213-- 23r r ↔ 1210021100320213--- 42r r - 1210021100320022---4323r r + 12100211003210003--10123203=-⨯⨯⨯=-.例7 计算行列式3111131111311111D =. 解 这个行列式的特点是各列4个数之和都是6. 将第2, 3, 4行同时加到第一行, 提出公因子6, 然后各行减去第一行, 得D121314r r r r r r +++ 6666131111311111 116r ⨯ 11111311611311111213141r r r rr r --- 1111020064800200002=. 例8 设2113A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 3452B -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求,A ,B AB .解 217,13A -== 342652B -==. 因为21341101352182AB ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以110182182AB -==.我们注意到：AB A B =. 一般地, 有下列结论：定理1 若A , B 为同阶方阵, 则AB A B =, 从而.AB BA =三、行列式按行(列)展开在三阶行列式的定义式(1.3.5)中, 如果把含111213,,a a a 的项分别合并, 并提出公因子, 则有1112132223212223113233313233a a a aa a a a a a a a a a = 2123123133aa a a a - 2122133132aa a a a +. (1.3.10) 据此, 一个三阶行列式的计算可转化为三个二阶行列式的计算. 自然有一个问题：一个n 阶行列式的计算能否转化为n 个1n -阶行列式的计算, 从而达到降阶的目的？下面讨论这个问题.定义6 在n 阶行列式A 中划去第i 行和第j 列后所剩下的2(1)n -个元素按原来的相对位置所构成的1n -阶行列式称为ij a 在A 中的余子式, 记为ij M , 而称(1)i j ij ij A M +=-为ij a 在A 中的代数余子式, 这里1,i j n ≤≤.例9 在行列式123456789A =中, 求23M , 33M , 23A , 33A . 解 2312678M ==-, 232323(1)6A M +=-=, 3312345M ==-, 333333(1)3A M +=-=-. 利用代数余子式, 式(1.3.10)可以写成111112121313A a A a A a A =++,将上式推广到一般情况, 有下面的结论：定理2 n 阶行列式(2n ≥)等于它的任一行(列)各元素与其代数余子式乘积之和, 即1122i i i i in in A a A a A a A =+++L 1nij ij j a A ==∑, 1,2,,i n =L . (1.3.11)或1122j j j j nj nj A a A a A a A =+++L 1nij ij i a A ==∑, 1,2,,j n =L . (1.3.12)推论 行列式的任一行(列)的元素与另一行(列)的元素的代数余子式乘积之和等于零. 即11220i j i j in jn a A a A a A +++=L , (1.3.13) 11220i j i j ni nj a A a A a A +++=L , (1.3.14)其中i j ≠.定理1按行(列)展开计算行列式的方法称为降阶法. 计算行列式时, 将行列式按行(列)展开与行列式的性质结合起来用, 常常能够达到事半功倍的效果.例10 计算行列式 (即本节例6)1210241210213423D -=---.解 利用行列式的性质, 将行列式的某行(列)除某个元素外的其余元素化为0, 再按该行(列)展开.D21312c cc c-+1000203212113213---1r 按展开110321(1)211213+⨯--32r r -032211022-1c 按展开21322(1)22+⨯--21020=-⨯=-.例11 证明123213132222123111()()()x x x x x x x x x x x x =---. 证明123222123111x x x x x x 2131c c c c --121312222212131100x x x x x x x x x x ---- 213111212131311(1)()()()()x x x x x x x x x x x x +--=⨯--+-+2131213111()()x x x x x x x x =--++213132()()()x x x x x x =---.上例中的行列式称为三阶范得蒙德行列式. 类似可证n 阶范得蒙德行列式1222212111112111()n n n i j j i nn n n n x x x x x x D x x x x x ≤<≤---==-∏L L L M M M L . 四、克拉默法则下面介绍利用行列式求含有n 个未知量、n 个方程的线性方程组解的公式. 设方程组为11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L (1.3.15) 由各方程中的未知量的系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =L L M M M L(1.3.16) 称为方程组(1.3.15)的系数行列式, 用常数项12,,,n b b b L 替换D 中第j 列的相应元素得行列式记为j D , 即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j nj n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=L L L L M M M M M LL. 定理3 (克拉默法则)如果n 元线性方程组(1.3.15)的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解,1,2,,j j D x j n D ==L .。
矩阵与行列式知识点
矩阵与行列式知识点矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵和行列式的基本定义与性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由一些数按照矩形排列而成的表格。
我们用$m\timesn$表示一个矩阵，其中$m$代表矩阵的行数，$n$代表矩阵的列数。
一个矩阵的元素通常用小写字母（如$a_{ij}$）表示，其中$i$表示元素所在的行数，$j$表示元素所在的列数。
矩阵的转置是指行和列互换，转置后的矩阵用$A^T$表示。
矩阵可以进行一些基本的运算，如矩阵的加法和数乘。
对于两个相同维数的矩阵$A$和$B$，它们的加法定义为$A+B$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
对于一个矩阵$A$和一个标量$c$，它们的数乘定义为$cA$，即将矩阵$A$中的每个元素都乘以$c$得到新的矩阵。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于一个$m\times n$的矩阵$A$和一个$n\times p$的矩阵$B$，它们的乘积$AB$是一个$m\times p$的矩阵。
矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的标量值。
对于一个$n\times n$的方阵$A$，我们用$|A|$表示它的行列式。
行列式的计算主要依靠代数余子式和代数余子式矩阵。
对于方阵$A$的元素$a_{ij}$，它的代数余子式$M_{ij}$是去掉$a_{ij}$所在的行和列后的余下元素的行列式，即由$n-1$阶子方阵组成。
代数余子式矩阵$A^*$是由方阵$A$的每个元素的代数余子式按照一定的规则排布而成的矩阵。
行列式的计算方法有很多，包括拉普拉斯展开法、行列式按行展开法等。
其中，拉普拉斯展开法是最常用的方法，即选择方阵的任意一行或一列展开，并用代数余子式乘以对应元素后进行求和。
行列式具有很多重要的性质，如行列式的性质对换、行列式的性质正交等。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
矩阵与行列式的计算与性质
矩阵与行列式的计算与性质矩阵与行列式是线性代数中重要的数学概念，对于许多数学和工程问题的建模与求解都非常关键。
本文将介绍矩阵与行列式的基本概念，以及它们的计算方法和一些常见的性质。
一、矩阵的定义与基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一种按照行和列排列的数表。
一个m行n列的矩阵常记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的分类根据矩阵的特点，可以将其分为以下几种类型：1）零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2）对角矩阵：只有主对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。
3）上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。
4）下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。
5）方阵：行数等于列数的矩阵。
6）转置矩阵：将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和（差）矩阵记作C=A±B，即C=[c_ij]，其中c_ij=a_ij±b_ij。
2.2 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘记作B=kA，即矩阵B 的每个元素等于k乘以矩阵A对应元素。
2.3 矩阵的乘法给定一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积矩阵C=A*B是一个m行p列的矩阵。
矩阵C的第i行第j列的元素c_ij等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积的和。
三、行列式的定义与性质3.1 行列式的定义对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij是方阵A中第i行第j列的元素，方阵A的行列式记作det(A)或|A|，计算方法如下：1）当n=1时，det(A)=a_11；2）当n>1时，det(A)=a_11*A_11+a_12*A_12+...+a_1n*A_1n，其中A_11、A_12、...、A_1n是n-1阶子矩阵的行列式。
3.2 行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1）行列式与转置：det(A)=det(A^T)，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
线性代数矩阵第2节行列式-PPT精选文档
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
a11 a21 … a n1
a11 a21 =k … a n1
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
n1阶行列式
(Laplace Expansion of Determinants)
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
二. 行列式的性质
性质1. 互换行列式中的两列, 行列式变号.
a11 例如 a 21 a12 a22 a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21
1 1 1 1 D= = = D D = 0. 2 2 2 2 推论. 若行列式 D 中有两列完全相同, 则 D = 0.
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
性质2. (线性性质) (1) det(1, …, kj, …, n) = kdet(1, …, j, …, n); (2) det(1, …, j+j, …, n) = det(1, …, j, …, n) + det(1, …, j, …, n). 现学现用 n ( 1) (1) 设A为n阶方阵, 则det(A) = ____ det(A). (2) a+b c+d = [ ]. u+v x+y
线性代数：矩阵、行列式和特征值
线性代数：矩阵、行列式和特征值线性代数是一门数学分支，它研究了向量空间与线性映射的性质，并且应用来解决大量的问题。
在线性代数的研究过程中，矩阵、行列式和特征值是重要的概念，下面我们将详细讨论它们的定义和应用。
1、矩阵：矩阵是由 m 行 n 列的数按照行列顺序排列形成的一个矩形，其中每一个数被称为元素。
矩阵通常用大写字母来表示，例如A、B 或 C。
其中，A 代表一个 m 行 n 列的矩阵，它的第 i 行和第j 列的元素为 Aij。
矩阵的加减法当两个矩阵 A 和 B 相加或相减时，它们需要满足相同的行列数。
其计算方法如下：A +B = [Aij + Bij]A -B = [Aij - Bij]其中，A 和 B 表示两个相加或相减的矩阵。
矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵中最基本的运算之一，在矩阵乘法中，两个矩阵 A 和 B 被称为相乘的矩阵。
其中，A 是一个 m 行 n 列的矩阵，B 是一个 n 行 p 列的矩阵。
其计算方法如下：A ×B = CCi,j = Aij × Bj,k其中，1 ≤ i ≤ m、1 ≤ j ≤ p、1 ≤ k ≤ n，Ci,j 表示结果矩阵 C 中的第 i 行和第 j 列的元素。
矩阵的转置矩阵的转置是将原矩阵的行和列交换得到的一种新矩阵。
其中，转置矩阵的行数和列数与原矩阵相反。
例如，原矩阵 A 为一个 m 行n 列的矩阵，则其转置矩阵 AT 为一个 n 行 m 列的矩阵。
2、行列式：行列式是一个方阵所对应的一个数值。
其中，行列式的计算方法较为复杂，其计算方法通常都是采用多次的对角线展开和计算所得。
行列式的计算公式如下：|A| = a11a22...ann + a21a32...an1a1n + ... +an1an2...a(n-1)n其中，a11、a22、...、ann 分别表示 A 矩阵中的对角线元素，除对角线位置的元素外，其余元素分别表示为 aij。
3、特征值：特征值是线性变换在特定方向上的伸缩因子，矩阵A 所对应的特征值λ 的定义如下：Ax = λx其中，x 为特征向量。
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
线性代数讲义1矩阵与行列式
逆矩阵的求法
01
02
03
高斯-约旦消元法
通过行变换将矩阵变为行 阶梯形，然后回代求解。
伴随矩阵法
先求出矩阵的伴随矩阵， 然后利用公式$A^{-1} = frac{1}{|A|} * adj(A)$求出 逆矩阵。
分解法
将矩阵分解为若干个简单 的矩阵的乘积，然后利用 这些简单的矩阵求逆，最 后再求出原矩阵的逆。
CHAPTER
高斯消元法的原理与步骤
高斯消元法的原理是通过一系列行变 换将增广矩阵转换为上三角矩阵，从 而求解线性方程组。
步骤包括：将增广矩阵的系数矩阵进 行初等行变换，将其化为行阶梯形矩 阵，然后继续进行行变换，将其化为 上三角矩阵，最后求解未知数。
高斯消元法的应用场景
解决线性方程组
高斯消元法是解决线性方程组的 一种常用方法，适用于系数矩阵 为方阵且系数矩阵可逆的情况。
数。
01
1. r(A) ≤ min(m, n)， 其中m和n分别是矩阵A
的行数和列数。
03
3. r(A) = r(AA^T)，即 矩阵的秩等于其与自身 转置相乘后的矩阵的秩。
05
性质：矩阵的秩是唯一 的，且满足以下性质
02
2. r(A) = r(A^T)，即矩 阵的秩等于其转置矩阵
的秩。
04
秩的计算方法与性质
高斯消元法的优缺点分析
优点
高斯消元法是一种稳定可靠的方法，能够得到线性方程组的精确解。它具有较高的数值 稳定性，适用于大规模问题。此外，高斯消元法还可以用于求解特征值和特征向量等问
题。
缺点
高斯消元法需要手动操作，对于大规模问题需要消耗大量的计算资源和时间。同时，对 于病态问题或者系数矩阵接近奇异的情况，高斯消元法可能会失去数值稳定性，导致求
第一讲 行列式与矩阵
5 r2 r3 0 1 0 0 r2 r4 0 0
11 1 60 5 16 2
1 r3 5 1 r4 2
10
1 0 0 1 0 0 0 0
2 1 11 1 12 8 1 1
1 0 1 c3 c4 10 0 0 0 0 1 1
2
1 0 1
2
0 1 1 11
设变量能用变量线性表示即其中为常数22211211又如在物资调运中某物资有两个产地上海南京三个销售地广州深圳厦门调运方案见下表广州深圳厦门上海172520南京263223销售地产地数量这个调运方案可以简写成一个2行3列的数表233226202517下面给出矩阵的定义定义111122122列矩阵或mn矩阵记作22211211一矩阵概念其中叫做矩阵a的元素ij列的元素矩阵常用大写字母等表示
显然，
T DD
对于n阶行列式，可以用数学归纳法加以证明。
性质二：
互换行列式的两行（列）的位置，行列式仅改变符号。
例如，二阶行列式
a a D 11 12 a a a a 11 22 12 21 交换两行后得到的行列式 a a 21 22
a 21 a 22 a a a a D 21 12 22 11 a a 11 12
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a A a A a A 11 11 12 12 13 13
例4 写出四阶行列式的元素 a 32 的余子式和代数余子式.
2 14 8 1 5 9 12 2 1 6 9 4 7 3 13 11
解
M 32
性质六： 行列式的展开与计算
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的的代数 余子式乘积之和。 a11 a12 a1n
矩阵和行列式基础PPT课件
（1 ）
若线性方程组(1)的常数项全为0时，称(1)为齐次线 性方程组，这时Dj＝0；
若系数行列式D≠0，则方程组(1)有唯一的零解。
若D=0，方程组（1) 可能有非零解
19
例：求方2x程 x11－ 2组 xx223xx3357的解 3x1x2x3 6
例：求方程 2xx1－ 组 1－ 3xx23
3 －8
零矩阵——元素均为零的矩阵，记为 O.
注意：不同型的零阵是不相等的。
26
行矩阵： [ 2 6 4 ]
20
列矩阵：
8
5
1 0 0
单位矩阵
E＝
0
1
0
0 0 1
0 0 0
零矩阵
O
0
0
0
0 0 0
27
二、矩阵运算
即对应元 素相加
• 1.加法
定义 2 设有两个 mn 矩阵 A (aij ), B (bij ) ，矩阵
4
行列式概念
• 问题：求解二元一次方程组
aa1211xx11 aa1222xx22bb12,,
(1) (2)
用消元法得 a1a122 a1a 221 0
x1
b1a22a12b2 a11a22a12a21
x2
b2a11a21b1 a11a22a12a21
5
用一个简单符号表示运算 a11a22 a12 a21 ，
a11
当 a21
a12 a22
0 时，方程组有唯一的解：
b1 a12
x1
b2 a11
a22 ＝ D1 ,
a12
D
a21 a22
a11 b1
x2
a21 a11
第一章矩阵与行列式
1.1.2 一些特殊矩阵
n n矩阵也称为n阶方阵或n阶矩阵, m 1矩阵（只有1列的矩阵）称为m维列向量； 1 n矩阵（只有1行的矩阵）称为n维行向量. a1 a 2 列向量 行向量 a1 a2 an am 11矩阵看作是一个数，但数不能看成是矩阵.
A ( aij )mn
amn
a1n a2 n
运算律
1 (2 A) (12 ) A (2) (1 2 ) A 1 A 2 A (3) ( A B ) A B
(1) (4) 1 A A; 0 A 0 (5) A B A (1) B
第二节
矩阵的运算
同型矩阵：若两个矩阵A和B的行数相等，列数也相等， 则称矩阵A与B为同型矩阵。 矩阵相等：若两个同型矩阵A和B的对应元素都相等，即 ai j bi j (1 i m, 称A和B相等，记为A B 1 j n ),
定义 矩阵的和
设A (aij )和B (bij )都是m n矩阵，则它们的和 定义为一个m n矩阵，它的 (i, j )元素为 aij bij 这个矩阵记为 A B , 定义为 A B (aij bij ) mn a11 b11 am1 bm1 a1n b1n amn bmn
若一个矩阵的所有元素都为0，称它 为m n零矩阵，记为 0mn 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0mn
定义1.2
主对角线，主对角元
设A是n阶矩阵，元素ai i 称为A的第i主对角线元 元素a11 , a 22 ,, a n n 组成A的主对角线
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
线性代数讲课资料1
D = ∑ (−1)
t ( p1 p2 LL pn )
a p1 1a p2 2 KK a pn n
排列 53142 经对换1与 经对换 与4 得排列 53412 求这两个排列的逆序数. 求这两个排列的逆序数 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7 t(53412) = 0+1+1+3+3=8
那么， a 3 p3 , a 4 p4 , a 5 p5 , 那么，由 D 5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
p1 = 2,3; p3 = 1,2,3,4,5; p = 1,2,3,4,5; 2 p = 2,3; 4 p 5 = 2, 3.
因为 p1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 在上述可能取的代码中 , 元排列也不能组成， 一个5元排列也不能组成， 故 D 5 = 0.
a 1 KK a k ab1 KK bm bc 1 KK c n
排列， 经对换 a 与 b排列，得排列 排列
(1)
a1 KKak bb1 KKbm ac1 KKcn
(2)
事实上，排列（ ） 次相邻对换变为排列（ ） 事实上，排列（1）经过 2m + 1 次相邻对换变为排列（2）. 是奇数， 所以这两个排列的奇偶 根据相邻对换的情形及 2m + 1 是奇数， 性相反. 性相反 定理 2 n 阶行列式也可以定义为
a 11 a 21
a 12 a 22
= a11 a 22 − a12 a 21
记忆方法：对角线法则 记忆方法：
类似的， 类似的，我们还可以定义三阶行列式为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
第一讲行列与矩阵
第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21221111211+++=， 则nnn n in i n nnn n in i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21121112112112111211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。
（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(, 2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij k i ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111ΛΛΛΛΛΛΛ（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
线性代数讲座_1,2章
IO
P T A* A A 0
Q A T A1 b A 0
Q可逆 Q 0 T A1 b 0 T A1 b
例4. 设
A, B 均为 2 阶矩阵, 若
A
2,
B
3,
O
则
B
A O
*
=
A
O 2A*
3B*
O
B
O 3A*
2B*
O
C
O 2B*
3A*
a122
a123
3a121 1
a11 3 3
例3. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, α 为 n 维列向量, b 为常数, 记
I O A
P
T
A*
A
,
Q
T
b
.
(1) 计算并化简 PQ. (2) 证明矩阵 Q可逆 T A1 b.
分析:
I O A
PQ
T
A*
A
标准方法: 利用行列式性质直接计算:
A 2B 1, 2, 3, 1 23, 1, 2, 2
1 23 , 2 21 , 3 22 , 1 22
A 2B 1 23 , 2 21, 3 22 , 1
1 23 , 2 21 , 3 22 , 22
1 2 0 0
按第一行(列)展开, 直接求得;
(3) 三线型:
按第一行(列)或最后一行(列)展开, 得
递推关系式, 解递推关系式;
(4) “爪”型(箭型) 行列式: 用中间的“爪”消去某条 “爪”;
(5) 计算某行(列)元的(代数)余子式的线性组合：
构造“新行列式”;
知识点2: 行列式计算
(6) 抽象行列式 |A| = |α, β, γ|的计算:
线性代数课件第1章：矩阵与行列式
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m n矩阵. 记作
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
a12b1 a22b2 a32b3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
例4
设A
0
1
0 1
求Ak
.
0 0
1 0 1 0
解
A2 0 1 0 1
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性变换. 其中aij为常数.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
线性代数(经管类)讲义
高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
例如）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。