数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案

浓度
0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
用最小二乘法求 。
解：
观察所给数据的特点，采用方程
两边同时取对数，则
取
则
则法方程组为
从而解得
因此
22。给出一张记录 用FFT算法求 的离散谱。
解：
则
0 1 2 3 4 5 6 7
4 3 2 1 0 1 2 3
12。选取常数 ，使 达到极小，又问这个解是否唯一？
解：
令
则 在 上为奇函数
又 的最高次项系数为1，且为3次多项式。
与0的偏差最小。
从而有
13。求 在 上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。
解：
于是得 的最佳一次逼近多项式为
即
误差限为
14。求 在 上的最佳一次逼近多项式。
解：
于是得 的最佳一次逼近多项式为
令
则
则法方程组为
从而解得
故物体运动方程为
20。已知实验数据如下：
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如 的经验公式，并计算均方误差。
解：
若 ，则
则
则法方程组为
从而解得
故
均方误差为
21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：
时间
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
m与n为正整数，
解：
若 ，则
在 内单调递增
若 ，则
若 m与n为正整数
当 时,
当 时,
在 内单调递减
当 时,
在 内单调递减。
若
当 时，
在 内单调递减。
5。证明
证明：
6。对 ，定义
问它们是否构成内积。
解：
令 （C为常数，且 ）
则
而
这与当且仅当 时， 矛盾
不能构成 上的内积。
若 ，则
,则
若 ，则
,且
即当且仅当 时， .
第三章函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
其中
当 时，
当 时，
2．当 时，求证
证明：
若 ，则
3．证明函数 线性无关
证明：
若
分别取 ，对上式两端在 上作带权 的内积，得
此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，
只有零解a=0。
函数 线性无关。
4。计算下列函数 关于 的 与 ：
4 4 4 4 0 4
8 4 0 4 8 0
16 0 0 0
23，用辗转相除法将 化为连分式。
解
24。求 在 处的 阶帕德逼近 。
解：
由 在 处的泰勒展开为
得
从而
即
从而解得
又
则
故
25。求 在 处的 阶帕德逼近 。
解：
由 在 处的泰勒展开为
得
从而
即
解得
又
则
故
故可以构成 上的内积。
7。令 ，试证 是在 上带权 的正交多项式，并求 。
解：来自百度文库
若 ，则
令 ，则 ，且 ，故
又 切比雪夫多项式 在区间 上带权 正交，且
是在 上带权 的正交多项式。
又
8。对权函数 ，区间 ，试求首项系数为1的正交多项式
解：
若 ，则区间 上内积为
定义 ，则
其中
9。试证明由教材式 给出的第二类切比雪夫多项式族 是 上带权 的正交多项式。
17。求函数 在指定区间上对于 的最佳逼近多项式：
解：
若
且 ，则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
若
且 ，则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
若
且 ，则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
若
且 则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 最佳平方逼近多项式为
18。 ，在 上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
解：
按勒让德多项式 展开
则
从而 的三次最佳平方逼近多项式为
19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
时间t(s)
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(m)
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程
证明：
若
令 ，可得
当 时，
当 时，
又 ，故
得证。
10。证明切比雪夫多项式 满足微分方程
证明：
切比雪夫多项式为
从而有
得证。
11。假设 在 上连续，求 的零次最佳一致逼近多项式？
解：
在闭区间 上连续
存在 ，使
取
则 和 是 上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。
由切比雪夫定理知
P为 的零次最佳一致逼近多项式。
15。求 在区间 上的三次最佳一致逼近多项式。
解：
令 ，则
且
令 ，则
若 为区间 上的最佳三次逼近多项式 应满足
当
时，多项式 与零偏差最小，故
进而， 的三次最佳一致逼近多项式为 ，则 的三次最佳一致逼近多项式为
16。 ，在 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解：
若
且 ，则
则法方程组为
解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为