2019年中考数学总复习：几何图形证明专题(超详细,经典!!!)

B
中考数学总复习 几何图形证明专题
【题型一】考察概念基础知识点型
例1如图1，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线是DE ，则△BEC 的周长为 。

例2 如图2，菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 是
AB 、AD 的中点，若2EF =，菱形边长是______．
例3 （切线）已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝ ． 【题型二】折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。

例4（09绍兴）D E ，分别为AC ，BC 边的中点，沿DE 折叠，若48CDE ∠=°，则APD ∠等于 。

例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠， 使点A 与点C 重合，折叠后在其一
面着色（图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ．112
C ． 4
D ．5
2
【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及
圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。

例6如图3，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，
PA ＝2cm ，PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ） A.
2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 2
2
32cm π
-
D C B A
E F
G 【题型四】证明题型：
三角形全等
【判定方法1：SAS 】
例1 （2011广州）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE=AF 。

求证：△ACE ≌△ACF
例2 （2010长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；
（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．
【判定方法2：AAS （ASA ）】
例3 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于 E ，BF DE ∥，交 AG 于F ，求证：AF BF EF =+．
例4 （2011浙江台州）如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ， CH=CD 连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。

求证：△AEF ≌△CHG.
A D F E
B C
【判定方法3：HL （专用于直角三角形）】
例5 （ 2011重庆江津）在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC
上, 且AE=CF.
(1)求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.
对应练习
1. （2011湖北宜昌）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F.
(1)证明：∠DFA = ∠FAB； (2)证明: △ABE≌△FCE.
2.（2011贵阳）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，CDE ∆是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F .
（1）求证:BCE ADE ∆≅∆；(5分) （2）求AFB ∠的度数.(5分) 3．（2010广东肇庆）如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与AB 相交于F ．
(1)求证：△CEB ≌△ADC ；
(2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长．
第二轮复习之几何（二）——三角形相似
Ⅰ.三角形相似的判定
A
B C
F
A B
D F
E E
例1（2010珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC
(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.
例2（2011襄阳）如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE， PE交边BC于点F．连接BE、DF。

（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当AP
AB
的值等于多少时．△PFD∽△BFP？并说明理由．
2.相似与圆结合，注意求证线段乘积，一般是转化证它所在的三角形相似。

将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似
例3（2010•日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC2=2AB•CE．
3.相似与三角函数结合，
①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化，然后求线段的长度
②求某个角的三角函数值，一般会先将这个角用等角转化，间接求三角函数值
例4 （2011四川南充市）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上.(1)
A
B D
E
F
F
E
D C
B
A
求证：⊿AB F ∽⊿DFE ;(2)若sin∠DFE=3
1
,求tan∠EBC 的值.
四边形
例1 （2011广东）如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD、等 边△ABE。

已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F ，连结DF 。

（1）试说明AC=EF ；
（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形。

例2 （2010安徽省中中考）如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC
⑴求证：四边形BCEF 是菱形
⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE
例3 （2010·潼南中考）如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一 点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF 的长.
例4 （2009崇左中考）如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD BC ∥，AB DC =，2AD =， 4BC =延长
BC 到E ，使CE AD =．
（1）证明：BAD DCE △≌△；
（2）如果AC BD ⊥
，求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．
D A
【对应练习】
1.（2011海南) 如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且AP=BQ ． （1）求证：△BDQ ≌△ADP ；
（2）已知AD=3，AP=2，求cos ∠BPQ 的值(结果保留根号)．
2、（2009年新疆）如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．
（2）四边形ABCD 是平行四边形．
3．(2011肇庆) 如罔7，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ，
（1）求证：△BEC ≌△DEC ：
（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．
4. （2011河南）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，延长CB 到点E ，使BE =AD ，连接DE 交AB 于点M .
（1）求证：△AMD ≌△BM E ；
（2）若N 是CD 的中点，且M N=5，BE =2，求BC 的长.
A
B
D
E
F
C
B
圆
Ⅰ、证线段相等
例1：（2010年金华）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是
的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF =BF ；
（2）若CD =6， AC =8，则⊙O 的半径为 ___ ，CE 的长是 ___ ．
2、证角度相等
例2（2010株洲市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上一点，30ABC ∠=︒，过点B 的切线与CO 的延长线交于点D ．:求证：（1）CAB BOD ∠=∠；（2）ABC ∆≌ODB ∆．
D
B
A
3、证切线
点拨：证明切线的方法——连半径，证垂直。

根据：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线 例3如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径， AE ⊥CD 于点E ，DA 平分∠BDE 。

（1）求证：AE 是⊙O 的切线。

（2）若∠DBC=30°，DE=1cm ，求BD 的长。

例4 （2011•曲靖）如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，OC⊥AB，∠ADC=30°． （1）求∠BOC 的度数；
（2）求证：四边形AOBC 是菱形．
对应练习
1．〔2011•浙江省义乌〕如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E . ⊙O 的切线BF 与弦AD 的
延长线相交于点F ，且AD =3，cos ∠BCD= . （1）求证：CD ∥BF ； （2）求⊙O 的半径； （3）求弦CD 的长.
例7图
4
3
2.（2008年深圳市）如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，
且AB ＝AD ＝AO ．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线．
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， 且△BEF 的面积为8，cos∠BFA＝3
2
，求△ACF 的面积．
解直角三角形
1（2010年湖北黄冈市）在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝4
5
，则tanB ＝（ ） A ．
43 B ．34 C ．35 D ．45
2、在∆ABC 中，若｜sinA-
2
2 |+(23
-cosB)2=0, ∠A.∠B 都是锐角，则∠C 的度数是（ ）
A. 750
B. 900
C.1050
D.1200
3、（2011•温州）如下左图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA 的值是（ ） A 、错误！未找到引用源。

B 、错误！未找到引用源。

C 、错误！未找到引用源。

D 、错误！未找到引用源。

4、（2011•苏州）如上右图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2， BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ） A 、错误！未找到引用源。

B 、错误！未找到引用源。

C 、错误！未找到引用源。

D 、错误！未找到引用源。

5、如，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53
c o s =α,AB = 4, 则AD 的长为（ ）．
（A ）3 （B ）
316 （C ）320 （D ）5
16
6、（2010•牡丹江）在锐角△ABC 中，∠BAC=60°，BD 、CE 为高，F 为BC 的中点，连接
DE 、DF 、EF ，则结论：①DF=EF ；②AD ：AB=AE ：AC ；③△DEF 是等边三角形；④BE+CD=BC ；⑤当∠ABC=45°时，BE=错误！未找到引用源。

中，一定正确的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
04sin 45(3)4︒+-π+-=
8.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，
则这个破面的坡度为 .
图 8
C
A
α1l
A B
C
D
E
A D
B
E 图6
i =1:3
C
9.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ． 直角三角形常见模型
1 张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，试求旗杆顶点A 到地面的高度。

2．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到
C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离。

3（2010漠河）某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上。

前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图），在以航标C 为圆心，120m 为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
4: (2009年·东莞市)（本题满分7分）如图6，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1=i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.
732
，2≈1.414
）
1.73
≈。