普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷及答案优选

E D C B

A 2014年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷

数学试题

一、选择题（共6题，每题4分，共24分）

1、从1，2，3，4，5这五个数字任取两个数字，使其乘积为偶数的概率为（）

（A ）（B ）（C ）（D ）

解：总数=4+3+2+1=10，符合条件的为：2×1；2×3；2×4；2×5；4×1；4×3；

4×5共7个（或只有1×3；1×5；3×5共3个例外），∴概率为或

2、已知锐角△ABC 角平分线AD 与高线BE 交于点M ，△CDE 是等边三角形，则

S △DEM ∶S △ABM 的值为（）

（A ）∶2（B ）1∶2（C ）1∶3（D ）1∶4

∵∠C =，∠BEC =，∴∠EBC =，又∠CDE =，∴∠BED =，

∴ED =BD =CD ，∴

AD 即是∠BAC 的平分线，又是BC 上的中线， ∴AB =AC ，∴△ABC 为正三角形，∴AD 与BE 的交点为△的重心

∴S △DEM ∶S △ABM =1∶4。 3、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在第二象限，点B 在x 轴负半轴上，△OAB 的面积是9，P 是AB 中点，若函数（x <0）的图像经过点A 、P ，则k 的值为（）

（A ）－6（B ）－4（C ）－3（D ）－2

设点A 坐标为（，），点B （，0），∵S △OAB =9，∴，

∵P 是AB 的中点，∴点P 坐标为（，），∵，∴代入A 、P 坐标得：

，，∴，∴，∵，∴

∴

（本例考点为点与函数的关系、中点坐标的应用，中点坐标是解压轴题的重要工具）

※同类测试题：如在直角坐标系中，存在一个平行四边形，其中平行四边形的三个项点的坐标为（1，

3），（2，2）和（3，4），求另一顶点的坐标？

4、对于任意的有理数，方程的根总是有理数，则b 的值为（）

（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）0

解：方程的△，∴当时，

必定△，即方程必有实根，∴，当时，，

P

G F E D C

B A

N ∴十字因式分解得方程为（，∴成立，

当时，不能因式分解，∴方程有可能为无理数解，

（在一元二次方程中，运用方程的判别式和因式分解是解决方程有理根和整数根

重要工具，）

※同类测试题：使得是完全平方数的所有整数的积的值。

5、如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 的中点D 作直线l ∥AC ，l 与AB 交于点E ，与⊙O 交于点G 、F ，与⊙O 在点A 处的切线交于点P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长度为（）

（A ）（B ）（C ）（D ）

解：∵BD =CD ，DE ∥AC ，∴AE =BE ，又PE =EF ，

∴四边形PBFA 是平行四边形，∴PA =BF ，PB ∥AF ，PF ∥AC

∴∠BPF =∠

FAC ，又∠FBC =∠FAC ，∴∠FBC =∠BPF ， ∴△BFD ∽△PFB ，∴，∴·PF =。 ∴PA =BF =。

6、如图，已知锐角∠A =∠B ，AA 1、PP 1、BB 1均垂直于A 1B 1，垂足分别是A 1、P 1、B 1，且AA 1=17，AP +PB =13，BB 1=20，A 1B 1=12，则PP 1的长度为（）

（A ）13（B ）14（C ）15（D ）16 延长∥，∵∥，∠AEP =∠B =∠A ，∴PA =PE

∴BE ==12，∴BF =， ，∴AE =2，∴ME =1，∴

二、填空题（共6题，每题4分，共24分）

7、已知是方程的根，则的值为。

∵，∴，

∴原式=，

（本例代数的整式运算法，即以代数多项的值参与运算，而代数多项需根题型进行配制）

※同类测试：已知，求的值。

8、“*”表示一种运算，规定*。若1*3，则2013*2014=。

1*3，解得，

2013*2014=

9、如图，Rt △ABC 的硬纸片，∠BAC =90°，AB =3，BC =5，AD 为BC 边上的高，从这张硬纸片上剪下一个如图所示的内接正方形EFGH ，则正方形EFGH 的边长为.

H G F E D C

B A F E D

C B A M G 解：由勾股定理得AC =4，由面积公式得AB ·AC =BC ·A

D ，

∴AD =，设正方形的边长为，∵HG ∥BC ，∴， ∵HE ∥AD ，∴，

两式相加得：，解得。

10、如图，在△ABC 中，AB =AC ，CM 平分∠ACB ，与AB 交于点M ，AD ⊥BC 于点D ，ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥MC 与BC 交于点F ，若CF =10，则DE =

解：取CF 的中点G ，连接MG ，设DE =，EF =，

可得DC =CF －EF －DE =，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，

∴BD =DC =，BE =BD －DE =……①

∵FG =CG =5，∴EG =FG －EEF =……② ∵MG 是Rt △MFC 斜边上的中线，∴∠FGM =2∠BCM =∠ACB

∠FGM =∠B ，又ME ⊥BG ，∴BE =EG ，∴由①、②得，∴

（本例题中信息量较多，容易使从误入歧途而不得解，但题中只有一个已知量即CF

ED 又在CF 上，所以我们可设想在BC 上存在某个隐性变量，只要消去此变量即可）

11、已知，是不为零的实数，对于任意实数，，都有

其中k 是实数，则k 的最大值为.

解：不等式由两部分组，即与，

前者决定后者，

，

∴当时，不等式恒成立，∴，解得

∴的最大值为4，

（本例是代数求值中非负法的应用，即代数式表达成平方式，）

※同类测试题：实数满足方程求的值

12、一个平面把空间分为2个部分，两个平面最多把空间分成4个部分，三个平面最多把空间分为个部分，四个平面最多把空间分成个部分.

三、解答题（共4题，每题13分，共52分）

13、二次函数（）的图像与x 轴有两个交点A (－1,0)，B （n ，0），交y 轴于点C （0，p ），已知.

（1）求点B 坐标；

（2）若抛物线上存在点M ，使△ABM 为直角三角形，求的取值范围.

⑴解：∵，是方程的两根，故令函数为：

展开得，∴当时，，又已知