矩阵与行列式、算法初步知识点

矩阵与行列式

考试内容：

矩阵的意义．

行列式的意义以及对角线法则． 算法的含义以及逻辑结构． 考试要求：

（1）会用矩阵的记号表示线性方程组． （2）掌握二阶、三阶行列式展开的对角线法则，以及三阶行列式按照某一行（列）

展开的方法．会利用计算器求行列式的值．

（3）掌握二元、三元线性方程组的公式解法（行列式表示），会对含字母系数的

二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论．

（4）在具体问题的解决过程中，理解程序框图的逻辑结构：顺序，条件分支，

循环．

矩阵与行列式 知识要点

1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪

-⎝

⎭这样的矩形数表叫

做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；

垂直方向排列的数组成的向量12

n b b b ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭

称为列向量；

由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，

m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫

⎪⎝⎭

为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵

512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行

第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000⎛⎫

⎪⎝⎭

为一个

23⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行

（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

均为三阶方

阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001⎛⎫

⎪⎝⎭

为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵

A 与矩阵

B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩

阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231

324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪

-+=⎨⎪+-=⎩

中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵

2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪

⎪

-⎝⎭

，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭叫做方程组的增广矩阵。 8、矩阵的运算

1）矩阵的加法：当两个矩阵A B ，的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A B ，的和（差），记作：()A B A B +-。 加法运算律：A B B A +=+

加法结合律：()()A B C A B C ++=++ 2）数乘矩阵

设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵。记作：αA

分配律：()B A B A γγγ+=+ ；A A A λγλγ+=+)(

结合律：()()()A A A γλλγγλ== 3）矩阵的乘积

一般，设A 是k m ⨯阶矩阵，B 是n k ⨯阶矩阵，设C 为n m ⨯矩阵

如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积.记作：C AB =。 分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)( 结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB = 注：交换律不成立，即BA AB ≠

9、行列式展开的对角线法则：

11122122 b b

a a

b a b a =-

10、二元一次方程组：111222

,

a x

b y

c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，其中x,y 为未知数，方程组系数不全为0

系数行列式1122 b b

a D a =

；11

22 b b x

c D c =

；11

22 c c x a D a =

（1）当0D ≠时，方程有唯一解x

y D x D D y D

⎧=⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

（2）当0D =，0x y D D ==时，方程组有无穷多解； （3）当0D =，,x y D D 中至少有一个不为零，方程组无解.

11、掌握三阶行列式展开的对角线法则，以及按某一行（列）展开的方法；

对角线法则: 3

33

222

1

11

c b a c b a c b a =231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++

按第一行展开: 3

3

3

222

1

11

c b a c b a c b a =1

a 33

22c b c b -1

b 3

3

22c a c a +1

c 3

3

22b a b a

其中1A =

3

3

22c b c b ，1B =-

3

3

22c a c a ,1C =

3

3

22b a b a 分别叫做元素1a ,1b ,1c 的代数余子式

总之，三阶行列式可以按其任意一行（一列）展开成行（或该列）元素与其对应的代数余子式的乘积之和。