初中数学全等三角形知识点总结与复习

全等三角形知识点总结及复习

一、知识网络

⎧⎧⎨⎪

⎩⎪

⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪

⎪⎨⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩⎩

⎧

⎨

⎩对应角相等

性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用

边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理

二、基础知识梳理 （一）、基本概念

1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找

全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)

（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

（三）经典例题

例1. 已知：如图所示，AB=AC，，求证：.

例2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。

例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。

例4. 如图所示，，垂足分别为D 、E ，BE 与CD 相交于点O ，且

求证：BD=CE 。

例5：已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD 、CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D =180︒。 求证：AE=AD+BE 分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC 是角平分线，所以在AE 上截AF=AD ，连结FC ，可证出∆ADC ≌∆AFC ，问题就可以得到解决。 证明（一）： 在AE 上截取AF=AD ，连结FC 。 在∆AFC 和∆ADC 中

()

()

()

AF AD AC AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪已作已知公共边12 ∴∆AFC ≌∆ADC （边角边）

∴∠AFC=∠D （全等三角形对应角相等） ∵∠B+∠D=180︒（已知）

∴∠B=∠EFC （等角的补角相等）

在∆CEB 和∆CEF 中

()()()∠=∠∠=∠=︒=⎧⎨⎪⎪⎩

⎪⎪B E F C C E B C E F C E C E 已证已知公共边90 ∴∆CEB ≌∆CEF （角角边）

∴BE=EF ∵AE=AF+EF ∴AE=AD+BE （等量代换）

证明（二）： 在线段EA 上截EF=BE ，连结FC （如右图）。

小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。 （四） 全等三角形复习练习题 一、选择题

1．如图，给出下列四组条件：

①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） 3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出

APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠

A ．42°

B ．48°

C ．52°

D ．58°

1题图 2题图

4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( )

(A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF 5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )

A ．10cm

B ．8cm

C ．6cm

D ．9cm

6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处

C A

D

P B

图（四）