最新冀教版初中数学八年级下册22.5第2课时菱形的判定2重点习题

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2020-2021学年八年级下册冀教版数学22.5.2《菱形的判定》课后练习含答案

22.5.2《菱形的判定》课后练习一、单选题1．下列命题中，正确的是（）．A ．两邻边相等的四边形是菱形B ．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C ．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D ．对角线垂直的四边形是菱形2．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的有（）①当AB ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形；①当AC ①BD 时，四边形ABCD 是菱形；①当①ABC ＝90°时，四边形ABCD 是菱形：①当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是菱形；A ．3个B ．4个C ．1个D ．2个3．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（）①AC ①BD ；①①BAD ＝90°；①AB ＝BC ；①AC ＝BD ．A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 4．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处，易证四边形AECF 是平行四边形．当①BAE 为（）度时，四边形AECF 是菱形．A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°5．如图，四边形ABCD 沿直线l 对折后重合，如果//AD BC ，则结论①AB //CD ；①AB =CD ；①AB BC ⊥；①AO OC =中正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，从下列条件中添加一个条件，仍不能判定ABCD 是菱形的是（）A ．AC BD ⊥B ．AB BC = C ．12∠=∠D ．AB BD = 7．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD 、AC 、BC 于M 、O 、N ，连结AN ，CM ，则四边形ANCM 是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．无法判断 8．如图，在①ABCD 中，用直尺和圆规作①BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，以A 为圆心，AB 为半径的弧交AD 于点F ，连接EF ．若BF ＝6，AB ＝5，则四边形ABEF 面积是（）A ．12B ．24C ．36D ．489．如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列条件：（1）190DBC ∠+∠=︒；（2）OA OB =；（3）12∠=∠，其中能判定ABCD 是菱形的条件有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分①CAD B．CD平分①ACB C．AB①CD D．AB=CD二、填空题11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形．12．如图，将两张长为18，宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个__________形（图形形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于__________．13．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交①MAN的两边AM、AN于点B、D；①以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；①分别连结BC、CD、AC．若①MAN＝60°，则①ACB的大小为_____．14．如图所示，BEAC ⊥于点D ，且AB BC =，BD ED =，若54ABC ∠=，则E ∠=___．15．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．若13AG =，6CF =，则四边形BDFG 的周长为______．16．如图，①ABC 中，①BAC ＝60°，①B ＝45°，AB ＝2，点D 是BC 上的一个动点，D 点关于AB ，AC 的对称点分别是E 和F ，四边形AEGF 是平行四边形，则四边形AEGF 的面积的最小值是__．17．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=︒，4=AD ，3BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ，若点O 恰好是AC 的中点，则CD 的长为________．三、解答题18．如图，AE①BF，BD平分①ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．=．连19．如图，在ABCD中，对角线AC平分BAD∠，点E、F在AC上，且CE AF接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．20．如图，在Rt①ABC中，①BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．21．如图，四边形ABCD为矩形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．（1）求证：①AOF①①COE；（2）当CE ＝5，AO ＝4，OF ＝3时，求证：四边形AFCE 是菱形．22．如图，在Rt ①ABC 中，①ACB =90゜，D 为AB 的中点，AE //CD ，CE //AB ，连接DE 交AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形；（2）若①B =60゜，BC =6，求菱形ADCE 的高．23．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过B 点作//BF AC ，过C 点作//CF BD ，BF 与CF 相交于点F ．（1）求证：四边形BFCO 是菱形；（2）连接OF 、DF ，若2AB =，2tan 3OFD ∠=，求AC 的长．24．已知，如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 与点B 重合，点C 落在点C '的位置上，连接DF ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）当160∠=︒，2AE =时，求矩形ABCD 的纸片的面积S ．25．如图，在①ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ．（1）求证：①ADE ①①CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分①ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案1．B解：两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；2．D解：①四边形ABCD是平行四边形，①①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；①当AC①BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；①当①ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；①当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；3．A解：①①ABCD中，AC①BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定①ABCD 是菱形；故①正确；①①ABCD中，①BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定①ABCD 是矩形，而不能判定①ABCD是菱形；故①错误；①①ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定①ABCD是菱形；故①正确；D、①ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定①ABCD是矩形，而不能判定①ABCD是菱形；故①错误．4．A解：当①BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，①BAE＝①CAE＝30°，①①B＝90°，①①ACE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，即①CAE＝①ACE，①EA＝EC，①四边形AECF是平行四边形，①四边形AECF是菱形，5．C解：如图所示：①直线l是四边形ABCD的对称轴，①AB=AD，BC=DC，①1=①2，①3=①4，又①AD①BC，①①2=①3，①①1=①4，①AB①CD，故①正确；①四边形ABCD是菱形；①AB=CD，故①正确；①四边形ABCD是菱形；①AO=OC，故①正确．①当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故①错误；6．D解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，此选项不符合题意；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，此选项不符合题意；C、①四边形ABCD是平行四边形，①AD①BC，①①1=①ACB，又①1=①2，①①2=①ACB，①AB=BC，①四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），正确，此选项不符合题意；D 、AB=BD 不能判断平行四边形一定是菱形，符合题意， 7．B解：①四边形ABCD 是平行四边形，①AD①BC ，①①DAC=①ACN ，①MN 是AC 的垂直平分线，①AO=CO ，在①AOM 和①CON 中MAO NCOAO CO AOM CON∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝＝，①①AOM①①CON （ASA ），①MO=NO ，①四边形ANCM 是平行四边形，①AC①MN ，①四边形ANCM 是菱形，8．B解：记AE 与BF 相交于O 点，如图，由作法得AB ＝AF ＝10，AE 平分①BAD ，①①BAE ＝①DAE ，①四边形ABCD 为平行四边形，①AD ①BC ，①①DAE ＝①BEA ，①①BAE ＝①BEA ，①BA ＝BE ，①AF ＝BE ，①AF ①BE ，①四边形ABEF 为平行四边形，①AB ＝AF ，①四边形ABEF 为菱形，①OA＝OE，OB＝OF＝12BF＝3，AE①BF，在Rt①AOB中，OA4==，①AE＝2AO＝8，①四边形ABEF面积116824 22AE BF=⋅=⨯⨯=．9．C解：①四边形ABCD是平行四边形，①OA=OC，OB=OD，AD①BC，①①1=①BCO，（1）若①1+①DBC=90°时，则①BCO+①DBC=90°，①①BOC=90°，①AC①BD，①四边形ABCD是菱形；（1）能判定平行四边形ABCD是菱形；（2）若OA=OB，则AC=BD，①四边形ABCD是矩形；（2）不能判定平行四边形ABCD是菱形；（3）若①1=①2，则①2=①BCO，①AB=CB，①四边形ABCD是菱形；（3）能判定平行四边形ABCD是菱形；10．D解：由作图知AC=AD=BC=BD，①四边形ACBD是菱形，①AB平分①CAD、CD平分①ACB、AB①CD，不能判断AB=CD，11．AB=AD.解：添加AB=AD，①OA=OC，OB=OD，①四边形ABCD为平行四边形，①AB=AD，①四边形ABCD是菱形，12．菱形16证明：过点A作AE①BC于E，AF①CD于F，①两条纸条宽度相同（对边平行），①AB①CD，AD①BC，AE=AF，①四边形ABCD是平行四边形，①S①ABCD=BC•AE=CD•AF，又①AE=AF，①BC=CD，①四边形ABCD是菱形；当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，由勾股定理：x2=（18-x）2+62，得：x=10，即菱形的最大周长为10×4=40．当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：6×4=24．则图形周长的最大值与最小值的差=40-24=16；13．30°解：由题意可得：AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2cm ，①四边形ABCD 是菱形，①BC①DA ，①CAB ＝①CAD ＝12①MAN ＝30°， ①①ACB ＝①CAD ＝30°，14．27°解：如下图，连接AE①BE①AC ，①①ADB=①BDC=90°①①ABD 和①CBD 是直角三角形在Rt①ABD 和Rt①CBD 中AB BC BD BD =⎧⎨=⎩①Rt①ABD①Rt①CBD①AD=DC①BD=DE①在四边形ABCE 中，对角线垂直且平分①四边形ABCE 是菱形①①ABC=54°①①ABD=①CED=27°15．20解：①AG①BD ，BD=FG ，①四边形BGFD 是平行四边形，①CF①BD ，①CF①AG ，又①点D 是AC 中点， ①BD=DF= 12AC ， ①四边形BGFD 是菱形，设GF=x ，则AF=13-x ，AC=2x ，在Rt①AFC 中，由勾股定理可得：()()2236132x x +-=解得：5x =即GF=5①四边形BDFG 的周长=4GF=20．16解：由对称的性质得：AE=AD=AF ，①四边形AEGF 是平行四边形，①四边形AEGF 是菱形，①①EAF=2①BAC=120°，当AD①BC 最小时，AD 的值最小，即AE 的值最小，即菱形AEGF 面积最小， ①①ABC=45°，AB=2，①四边形AEGF 的面积的最小值=212⨯=．17．解：①AO OC =，//AD BC ， ①OAF OCB ∠=∠，OFA OBC ∠=∠，①易证AOF ①COB △，①AF BC =，又①//AD BC ，①四边形AFCB 为平行四边形．①AO=CO ，连接AE ，CE ，则AE=CE ，①OE①AC ，①平行四边形AFCB 为菱形，①3AF FC BC ===，①1DF =，①CD ==18．证明见解析①AE ①BF ，①①ADB ＝①DBC ，①BD 平分①ABC ，①①DBC ＝①ABD ，①①ADB ＝①ABD ，①AB ＝AD ，又①AB ＝BC ，①AD ＝BC ，①AE ①BF ，即AD ①BC ，①四边形ABCD 为平行四边形，又①AB ＝AD ，①四边形ABCD 为菱形．19．证明见详解．证明：连结BD交AC于O，①对角线AC平分BAD∠，①①BAC=①DAC，在ABCD中，AB①DC，AB=DC，BC①AD，BC=AD，①①BAC=①DCA，①BCA=①DAC，①BC=BA，DC=DA，①平行四边形ABCD为菱形，①AC①BD，OA=OC，OB=OD，①CE AF=，①OA-AF=OC-CE，即OE=OF，①四边形BEDF为平行四边形，AC①BD，点E、F在AC上，①EF①BD，①平行四边形BEDF为菱形．20．（1）见解析；（2）S菱形ADCF＝96．（1）证明：①E是AD的中点，①AE＝DE，①AF∥BC，①①AFE＝①DBE，在①AEF和①DEB中，①AFE DBEAEF DEBAE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AEF①①DEB（AAS），①D是BC的中点，①AF＝DB＝DC，①四边形ADCF是平行四边形，①①BAC＝90°，D是BC的中点，①AD＝CD＝12 BC，①四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，①AF∥BC，AF＝BD＝CD，①BAC＝90°，①S菱形ADCF＝CD•h＝12BC•h＝S①ABC＝12AB•AC＝12×12×16＝96．21．（1）见解析；（2）见解析（1）证明：①四边形ABCD为矩形，①AD①BC，①①F AC＝①ECA，①AFE＝①CEF，①O是对角线AC的中点，①OA＝OC，①①AOF①①COE（AAS）；（2）由（1）知①AOF①①COE，①AF＝CE＝5，①AO＝4，OF＝3，①222345+=，即222OF OA AF+=，①①AOF＝90°，①三角形AOF是直角三角形，①AF＝CE，AF①CE，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形．22．（1）见解析；（2）（1）证明：①AE//CD，CE//AB，①四边形ADCE是平行四边形，①①ACB=90°，D为AB的中点，①CD=12AB=AD，①四边形ADCE为菱形；（2）解：过点D作DF①CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，①①B=60°，CD=BD，①①BCD是等边三角形，①①BDC=①BCD=60°，CD=BC=6，①CE//AB，①①DCE=①BDC=60°，①①CDF=30°，又①CD=BC=6，①CF=3，①在Rt①CDF中，DF23．（1）见解析；（2）解：（1）//BF AC ，//CF BD ，∴四边形OBFC 是平行四边形，矩形ABCD ， ∴11,,22AC BD BO BD CO AC ===OB OC ∴=， ∴四边形OBFC 是菱形．（2）连接FO 并延长交AD 于H ，交BC 于K ，菱形OBFC ，90BKO ∴∠=︒，矩形ABCD ，90DAB ABC ∴∠=∠=︒，OA OD =， ∴四边形ABKH 是矩形，90DHF ∴∠=︒，2HK AB ==，H ∴是AD 中点， O 是BD 中点，112OH AB ∴==， 1FK OK OH ∴===，3HF ∴=，2tan 3OFD =， 2HD AH ∴==，4BC AD ∴==，①AC =24．（1）证明见解析；（2）ABCD S =矩形（1）证明：①四边形ABCD 是矩形， ①AD①BC ，①①1=①2，①EF 为折痕，①BF=DF ，BE=DE ，①BEF=①2，①①BEF=①1，①BE=BF ，①BF=DF=BE=DE ，①四边形BEDF 是菱形；（2）解：由（1）知①2=①BEF=①1=60°， ①①3=180°-60°-60°=60°，①AE=2，①A=90°，①①ABE=30°，①BE=2AE=4，由勾股定理得：= ①四边形ABCD 是矩形，沿EF 折叠B 和D 重合， ①DE=BE=4，①AD=BC=2+4=6，AB=CD=①矩形ABCD 的面积S=6⨯= 25．（1）见解析；（2）菱形，见解析解：（1）证明：①四边形ABCD 是平行四边形， ①AD ＝CB ，①ADC ＝①CBA ，①①ADE ＝①CBF ，在①ADE 和①CBF 中，14 AD CB ADE CBF DE BF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，①①ADE ①①CBF （SAS ）；（2）当BD 平分①ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：如图，①BD 平分①ABC ，①①ABD ＝①CBD ，①四边形ABCD 是平行四边形，①OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ①BC ，①①ADB ＝①CBD ，①①ABD ＝①ADB ，①AB ＝AD ，①平行四边形ABCD 是菱形，①AC ①BD ，①AC ①EF ，①DE ＝BF ，①OE ＝OF ，又①OA ＝OC ，①四边形AFCE 是平行四边形，①AC ①EF ，①四边形AFCE 是菱形．。

冀教版八年级数学下册第二十二章四边形(22.5 菱形) 第2课时菱形的判定教学课件 (共15

（3）完成时间为4分钟。（4）完成后小组快速起立讨论证明过程的正确性与格式规范性，时间2分钟，然后我们选择一位同学上台展示，其它同学补充质疑。
三、合作探究感受新知
归纳与总结
要求：请大家把我们刚才验证的菱形的判定方法总结到导学案中的图表中。
定义法有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
菱形的判定
活动2：我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处
固定一个小钉，做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？
三、合作探究感受新知
猜想与验证
要求：（1）请大家把活动与实践的猜想结果写在导学案相应的位置；
（2）猜想并不能表明我们得到的结论是正确的，猜想是否正确是需要验证的，下面请大家按照导学案的要求对我们的猜想进行证明，并把详细的证明过程写在导学案上。同时完成对应的归纳总结。
冀教版八年级下册
一、创设情境，明确目标
问题：小明是一个爱观察、爱动
手、爱思考同学：他把两张等宽的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中的
一张，重合的部分构成了一个四边形
ABCD，大家猜想一下ABCD的形状
是什么？
A
D
B
C
学会用数学的眼光观察生活！
一、创设情境，明确目标
1 经历菱形判定定理的探究过程，体会类比思想和逆
向思维，掌握菱形的判定定理。
2 会用这些菱形的判定方法进行有关的推理证明和计算。
二、自主学习，知识回顾
1.菱形的定义是什么？性质有哪些？
知识回顾
2.根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？
有一组邻边_____的______________是菱形.

八年级数学下册第二十二章四边形 22.5 菱形作业设计 (新版)冀教版

22.5 菱形一．选择题（共6小题）1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（）（第1题图）A．8 B．7 C．4 D．32．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（）（第2题图）A．24 B．18 C．12 D．93．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）（第3题图）A．20 B．24 C．40 D．484．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）（第4题图）A．52 B．48 C．40 D．205．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形二．填空题6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，交BC 于点F，则EF的长为．（第6题图）7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为．（第7题图）8．如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于．（第8题图）9．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为．（第9题图）10．已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是．三．解答题（共11小题）11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．（第11题图）12．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．（第12题图）13．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF 是菱形．（第13题图）14．如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．（第14题图）15．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．（第15题图）参考答案一．1． A 2．A 3．A 4．A 5．B二．6． 7．3 8．27 9．（2，﹣3）10． 2．三．11．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∴菱形ABCD的周长为：8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2∴AC⊥BD，AO=1，∴BO=，∴BD=212．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ=∠DBC，∴∠ADB=∠BCQ∵DP=CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥D B，且CQ=DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD=PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD=∠BQC，∵∠APD+∠APB=180°，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP，∴四边形ABQP是菱形．13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥E F，∴四边形AECF是菱形．14．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．15．证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．。

冀教版八年级数学下册第二十二章《四边形》22.5.2 菱形的判定

知1－练
2 【中考·海南】如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC交于点O， AB∥CD，则下列结论： ①AC⊥BD；②AD∥ BC； ③四边形 ABCD 是菱形； ④△ABD≌△CDB. 其中正确的是__①__②__③__④____(只填写序号).
（来自《XXX》）
总结
知2－讲
能证明四边形是平行四边形时，可以先证明四边形是平行四边形，然后证明有一组邻边相等来证明四边形是菱形 .
知2－练
1 如图，在△ABC中，AB=AC，画出点A关于BC的对称点A'.请用两种不同的方法证明四边形ABA'C是菱形. 解：略．
（来自教材）
知2－练
2 如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥ BD于点H，交BC延长线于点F，交DC于点G. 求证：DC与EF互相平分.
知识点 1 由对角线的位置关系判定菱形知1－讲
1. 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.
2. 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？
平行四边形的性质
性边质角
四个角都是直角
四条边都相等
对角线
相等
互相垂直且平分每一组对角
判定
有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形三个角都是直角的四边形
探究新知同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定
和矩形的判定时，我们是如何到的它们的判定方法呢？那么类比着它们，菱形的判定方法是什么？
（来自《XXX》）

冀教版数学八年级下册2菱形第2课时课件

课堂小结
定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

菱形的判定
定理1：四边相等的四边形是菱形.
定理定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明.
谢谢！
AD = 5. 求AB的长.
解: ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ OA 1 AC 3,OD 1 BD 4.
2
2
又∵ AD=5，满足AD2 OA2 OD2
∴ △DAO是直角三角形. ∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC. ∴ 平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直
的平行四边形是菱形）
求证：四边形OCED是菱形
证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形．
A
D
O
E
B
C
4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交
AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形
B. AB=BC=CD=DA
B
C. AB=BC, AD=CD, AC ⊥BD
O
D. AB=CD, AD=BC, AC ⊥BD
A
C
D
方法 1.直接根据“四边相等”判定四边形是菱形. 2.先判定四边形是平行四边形，再判定四边形是菱形；
例3.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边
AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
【分析】根据垂直平分线的性质可
得AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90° .再结合 CE∥AB，可证得△ADO≌△CEO，从而根据由一组对边平行且相等知，

初中数学冀教版八年级下册第二十二章四边形22.5 菱形-章节测试习题

章节测试题1.【答题】用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（）A. 一组邻边相等的四边形是菱形B. 四边相等的四边形是菱形C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B【分析】根据作图的痕迹以及菱形的判定方法解答．【解答】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．选B.【点评】本题考查了菱形的判定，根据作图痕迹得到四边形ABCD的四条边都相等是解题的关键．2.【答题】在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（）A. 22B. 24C. 48D. 44【答案】B【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE=6，在RT△ABO中，BO===4，即可得BD=8，又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，∴△BDE是直角三角形，∴S △BDE = DE•BD=24．选B.【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．3.【答题】如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A. AB∥DCB. AC=BDC. AC⊥BDD. OA=OC【答案】B【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；B、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故本选项正确；D、菱形的对角线互相平分，OA=OC，故本选项正确．选B.【点评】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．4.【答题】如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A. AE=AFB. EF⊥ACC. ∠B=60°D. AC是∠EAF的平分线【答案】C【分析】根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAE=∠DCF，证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，BE=DF，求出AF=CE，得出四边形AECF是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCF= ∠DCB，∠BAE= ∠BAD，∴∠BAE=∠DCF，∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，BE=DF，∵AD=BC，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，A、∵四边形AECF是平行四边形，AE=AF，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；C、根据∠B=60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误；D、∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠FAC=∠ACE，∵AC平分∠EAF，∴∠FAC=∠EAC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；选C.【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点，主要考查学生的推理能力．5.【答题】如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A. 20B. 24C. 28D. 40【答案】A【分析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【解答】解：∵菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB==5，故菱形的周长为20．选A.【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．6.【答题】如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于（）A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°【答案】C【分析】首先根据菱形的菱形的每一条对角线平分一组对角可得∠BAD的度数，再根据菱形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，再代入所求的∠BAD的度数即可算出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC= ∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC=50°，∴∠BAD=100°，∵CB∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=180°-100°=80°，选C.【点评】此题主要考查了菱形的性质，根据菱形的每一条对角线平分一组对角，求出∠BAD的度数是解决问题的关键．7.【答题】如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连结OE，则线段OE的长等于（）A. 3cmB. 4cmC. 2.5cmD. 2cm【答案】A【分析】先求出菱形的边长AB，再根据菱形的对角线互相平分判断出OE是△ABD的中位线，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半解答．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm，∵对角线AC、BD相交于O点，∴BO=DO，又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE= AB= ×6=3cm．选A.【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线定理，是基础题，求出OE等于菱形边长的一半是解题的关键．8.【答题】已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A. 20B. 14C. 28D. 24【答案】A【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．【解答】解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，则由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周长L=4AB=20，选A.【点评】本题考查菱形的性质，难度适中，要熟练掌握菱形对角线的性质，及勾股定理的灵活运用．9.【答题】用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A. 一组邻边相等的四边形是菱形B. 四边相等的四边形是菱形C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B【分析】关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可．【解答】由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，∴四边形ABCD是菱形，选B.【点评】本题主要考查对作图-复杂作图，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．10.【答题】如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD.下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG= （BC-AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH 是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．【解答】解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EF= CD，FG= AB，GH= CD，HE= AB，∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是矩形，错误；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，∴EN= BC，GN= AD，∴EG= （BC-AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；⑤四边形EFGH是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．选C.【点评】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．11.【答题】如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l 1的距离为4公里，则村庄C到公路l 2的距离是（）A. 3公里B. 4公里C. 5公里D. 6公里【答案】B【分析】根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证明．【解答】解：如图，连结AC，作CF⊥l 1，CE⊥l 2；∵AB=BC=CD=DA=5公里，∴四边形ABCD是菱形，∴∠CAE=∠CAF，∴CE=CF=4公里．选B.【点评】本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到四边形ABCD是菱形：菱形的对角线平分对角，是解题的关键．12.【答题】已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A. 12cm2B. 24cm2C. 48cm2D. 96cm2【答案】B【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．【解答】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2 +（3x）2 =25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积= ×8×6=24cm 2，选B.【点评】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．13.【答题】如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等腰梯形【答案】B【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边形ADBC一定是菱形，选B.【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．14.【答题】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A. AC、BD互相平分B. BA=BCC. AC=BDD. AB∥CD【答案】A【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出四边形ABCD是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出四边形ABCD是菱形，即可得出答案．【解答】A、∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD（已知），∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；B、根据已知AC⊥BD和BA=BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误；C、根据已知AC⊥BD和AC=BD不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误；D、根据已知AC⊥BD和AB∥DC不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误；选A.【点评】本题考查了菱形和平行四边形的判定，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，③四条边都相等的四边形是菱形．15.【答题】如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD【答案】C【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD.【解答】因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=BC.选C.【点评】本题考查菱形的判定，答案不唯一．有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．16.【答题】如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是（）A. AB=BCB. AC⊥BDC. BD平分∠ABCD. AC=BD【答案】D【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；C、当BD平分∠ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；由排除法可得D选项错误．选D.【点评】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．17.【答题】菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角互补【答案】A【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．【解答】A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；选A.【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．18.【答题】如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A. 8B. 9C. 11D. 12【答案】D【分析】首先连结AC，设AC交BD于O点，由四边形ABCD为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE的长度．【解答】解：连结AC，设AC交BD于O点，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且BO=DO= =8，在△AOD中，∵∠AOD=90°，∴AO= = =15，在△AOE中，∵∠AOE=90°，∴OE= = =20，又OD=8，∴DE=OE-OD=20-8=12．选D.【点评】此题考查了勾股定理与菱形的性质．19.【答题】如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足______条件时，四边形EFGH是菱形．A. AB=CDB. AD=BCC. AB∥CDD. AD∥BC【答案】A【分析】首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF= AB，HG∥AB，HG= AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．【解答】解：需添加条件AB=CD.∵E，F是AD，DB中点，∴EF∥AB，EF= AB，∵H，G是AC，BC中点，∴HG∥AB，HG= AB，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E，H是AD，AC中点，∴EH= CD，∵AB=CD，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为： A.【点评】此题主要考查了三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．20.【答题】如图，要使▱ABCD成为菱形，下列添加条件正确的是（）A. AB⊥BCB. AC⊥BDC. AC=BDD. ∠ABC=∠CDA【答案】B【分析】根据菱形的判定方法①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案．【解答】A、添加AB⊥BC，可以证明▱ABCD是矩形，故此选项错误；B、添加AC⊥BD，可以证明▱ABCD是菱形，故此选项正确；C、添加AC=BD，可以证明▱ABCD是矩形，故此选项错误；D、添加∠ABC=∠CDA不能证明▱ABCD是菱形形，故此选项错误；选B.【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法．。

冀教版八年级下册数学第22章四边形菱形的判定

A．30°B．40° C．45°D．50°
A
11．【中考·山东泰安】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝ PC，其中正确结论的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
B．AB＝EF C．AE＝AF C
···
D．AF＝BE
4．【中考·浙江舟山】用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作
法中错误的是( )
C
··
5．【易错：对菱形的判定条件掌握不清致错】下列条件能判定四边形是菱
形的是( )
A．对角线相等的四边形
C
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相垂直平分的四边形
A．10B．20C．12D．24
A
13．【教材改编题】如图，两张矩形纸条交叉叠放在一起，重叠部分为四边形 ABCD.若两张矩形纸条的长均为8，宽均为2，则四边形ABCD的周长的最大值为________．
17
14．【2019·河北模拟】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点O是AC的中点，过点O的直线l与AC重合，将直线l绕点O逆时针旋转，交斜边AB于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC，请你帮助小亮同学证明这一结论；
证明：如图，过点G作GP⊥AB于点P. 易得GC＝GP，又∵AG＝AG， ∴Rt△CAG≌Rt△PAG(HL)． ∴AC＝AP. 由(1)得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG(HL)． ∴EC＝PD. ∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.

冀教版2019-2020年八年级数学下册同步练习：22.5 第2课时菱形的判定3

第2课时菱形的判定一、选择题1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（）A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形5、（在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A、等腰梯形B、正方形C、矩形D、菱形7、能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分8、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形二、填空题9、（如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是_________（只填一个你认为正确的即可）．10、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．11、（如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）12、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：_________=＞ABCD是菱形；_________=＞ABCD是菱形．13、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．14、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是_________．（写四个条件的不给分，只填序号）15、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是_________形，再说明_________（只需填写一种方法）16、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD 是菱形，则还需添加一个条件是_________（只需填写一个条件即可）．三、解答题17、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．18、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．19、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．20、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．21、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．22、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．（1）求证：AD=CE；（2）填空：四边形ADCE的形状是_________．23、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．24、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C 处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．求证：四边形CDC′E是菱形．25、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．26、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．27、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．。

【冀教版】八年级数学下册22.5 第2课时菱形的判定

第2课时菱形的判定1．掌握菱形的判定方法；(重点)2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF、求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE、∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC、又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD、求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB、∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD、∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB、∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF 、(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解析：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE ＝CE ，AD ＝CD 、然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用“AAS ”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE ＝CF 、然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A 、从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF 为菱形．证明：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD 、∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED 、在△AED 与△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS)；(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF 、∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．探究点二：菱形的判定的应用【类型一】菱形判定中的开放性问题如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠AFB 、∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠F AD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF 、同理ED ＝CD 、∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF 、又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC ⊥EF 、方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】菱形的性质和判定的综合应用如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF 、(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．解析：(1)首先利用“SSS ”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC 、再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD 、再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD 、(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC 、在△ABF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB 、∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD 、又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD 、∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD 、理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF 、在△BCF 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF 、∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°，∴∠EFD ＝∠BCD 、方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、板书设计1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 2．菱形的性质和判定的综合运用在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不判定并会灵活运用．同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的。

八年级数学下册第二十二章四边形22.5菱形第2课时菱形的判定课后练习新版冀教版20200513110

菱形1．(2017·河南)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有( C )A．AC⊥BDB．AB＝BCC．AC＝BDD．∠1＝∠2解析：A.正确，对角线垂直的平行四边形的菱形．B.正确，邻边相等的平行四边形是菱形，C.错误，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D.正确，可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选C.2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4 cm，则四边形AEDF的周长为( B )A．12 cm B．16 cmC．20 cm D．22 cm解析：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．由AD是角平分线，DE∥AC，易得∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形，∴四边形AEDF的周长＝4×4＝16(cm)．故选B.3．如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E .若BF ＝6，AB ＝5，则AE 的长为( C )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：如图所示，连接EF ，设AE 与BF 交于点O .∵∠BAE ＝∠FAE ，∠AEB ＝∠FAE ， ∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE .又∵AB ＝AF ，AF ∥BE ， ∴四边形ABEF 是菱形， ∴OB ＝12BF ＝3，OA ＝AB 2－OB 2＝52－32＝4,∴AE ＝2OA ＝8.故选C.4．如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB ＝OD ，请你添加一个适当的条件OA ＝OC (答案不唯一)，使ABCD 成为菱形．(只需添加一个即可)解析：根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得出结论．5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE，CF.(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．证明：(1)∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵CE∥BF，∴∠DBF＝∠DCE.又∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE.(2)方法1：∵△CDE≌△BDF，∴DE＝DF.∵BD＝CD，∴四边形BFCE是平行四边形．在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，即EF⊥BC.∴四边形BFCE是菱形．方法2：∵△CDE≌△BDF，∴CE＝BF.∵CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形．在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，∴BE＝CE.∴四边形BFCE是菱形．6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，并且DE ＝DF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C . 在△ADE 和△CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，∠AED ＝∠CFD ，DE ＝DF ，∴△ADE ≌△CDF (AAS)． (2)∵△ADE ≌△CDF ，∴AD ＝CD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．7．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图①所示位置旋转，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .(1)求证：AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．(1)证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图①所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，∴AB ＝AF ，∠BAM ＝∠FAN . 在△ABM 和△AFN 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠FAN ＝∠BAM ，AB ＝AF ，∠B ＝∠F ，∴△ABM ≌△AFN (ASA)． ∴AM ＝AN .(2)解：当旋转角α＝30°时，四边形ABPF 是菱形理由：连接AP.∵∠α＝30°，∴∠FAN＝30°.∴∠FAB＝120°.∵∠B＝60°，∴AF∥BP.∴∠F＝∠FPC＝60°.∴∠FPC＝∠B＝60°.∴AB∥FP.∴四边形ABPF是平行四边形．∵AB＝AF.∴平行四边形ABPF是菱形．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

菱形的判定菱形的判定(冀教版八年级下册)课后练习

第二十二章四边形（22.5 菱形）第2课时菱形的判定（冀教版八年级下册）课后练习1. 能判定一个四边形是菱形的是（ C ）A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形2.（2018•河池）如图，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的条件是（ D ）A．AB＝AC B．BC＝BDC．AC＝BD D．AB＝BC3. 如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件时（填一个条件），能够判定四边形ACED为菱形．4. （2018•南通）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是②（填序号）．5. 已知：如图，AF∥DE，AC平分∠BAD交DE于点C，DB平分∠ADC交AF于点B，连接BC．求证：四边形ABCD是菱形6. （2018•遂宁）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．第2课时菱形的判定课后练习参考答案：1.C2.D3. AC＝BC4. ②5.证明：∵AC平分∠BAD交DE于点C，∴∠DAC＝∠CAB，∵AF∥DE，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DB平分∠ADC交AF于点B，∴∠ADB＝∠BDC，∵AF∥DE，∴∠ADC+∠DAB＝180°，∴∠ADB+∠DAC＝90°，∴DB⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形．6.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．。

八年级数学下册22、5菱形22、5、2菱形的判定课后作业新版冀教版

AEG BFG, 在△AGE和△BGF中，AGE BGF ,
AG BG, ∴△AGE≌△BGF(AAS)． (2)解：四边形AFBE是菱形，理由如下： ∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF. ∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形．又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．
14．【中考·兰州】如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F. (1)求证：△BDF是等腰三角形； (2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG 交BD于点O. ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
1 2
AB.∴AC＝EC.
∵四边形ACEF是平行四边形，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴四边形ACEF是菱形．
12．【中考·盐城】如图，在矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB 的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
(1)证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点， 1
∴DE∥AC，且DE＝ 2 AC.
∴AC＝2DE.∵EF＝2DE，
∴EF＝AC，又∵EF∥AC，
∴四边形ACEF是平行四边形．∴AF＝CE.
(2)解：四边形ACEF是菱形．理由如下：
∵在Rt△ABC中，E为AB的中点，∴EC＝
1 AB.
2
∵∠B＝30°，∴AC＝
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC、AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB.
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD＝ 1 ∠ABD，∠FDB＝ 1 ∠BDC.

八年级下册数学教案22.5 第2课时菱形的判定教案冀教版

第2课时菱形的判定1．掌握菱形的判定方法；(重点)2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF ＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC ＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF 于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A .从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF 为菱形．证明：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED .在△AED 与△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS)；(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF .∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．探究点二：菱形的判定的应用【类型一】菱形判定中的开放性问题如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠AFB .∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠F AD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF .同理ED ＝CD .∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC ⊥EF . 方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】菱形的性质和判定的综合应用如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF .(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．解析：(1)首先利用“SSS ”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°，∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、板书设计 1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 2．菱形的性质和判定的综合运用在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．。

初中数学冀教版八年级下册第二十二章四边形22.5 菱形-章节测试习题(1)

章节测试题1.【答题】若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）A. 16B. 8C. 4D. 1【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解．【解答】解：设两对角线长分别是：a，b．则（a）2 +（b）2 =2 2．则a 2 +b 2 =16．选A.【点评】本题主要考查了菱形的性质：菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形．2.【答题】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A. BA=BCB. AC、BD互相平分C. AC=BDD. AB∥CD【答案】B【分析】已知四边形的对角线互相垂直，可依据“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”的判定方法，来选择条件．【解答】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分；（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）选B.【点评】此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．3.【答题】已知一个菱形的对角线长分别是8，6，则这个菱形的周长是（）A. 20B. 24C. 40D. 48【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，可知AO和BO的长，再根据勾股定理即可求得AB的值，又菱形的四个边相等，继而求出菱形的周长．【解答】解：已知AC=6cm，BD=8cm，菱形对角线互相垂直平分，则AO=3cm，BO=4cm，在Rt△AOB中，AB=OA 2 +OB 2 =5cm，故BC=CD=AD=AB=5cm，菱形的周长为4×5=20cm．选A.【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，根据勾股定理求AB的值是解题的关键．4.【答题】如图：在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（）A. 5B. 10C. 6D. 8【答案】A【分析】根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出．【解答】解：设AC与BD相交于点O，由菱形的性质知：AC⊥BD，OA= AC=3，OB= BD=4在Rt△OAB中，AB= = =5所以菱形的边长为5．选A.【点评】本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决．5.【答题】下列命题中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是菱形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】D【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的判定方法进行解答．【解答】对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；选D.【点评】此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．6.【答题】如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为（）A. 48B. 96C. 80D. 192【答案】B【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA= AC，在Rt△AOB中，BO= =6，则BD=2BO=12，故S 菱形ABCD = AC×BD=96．选B.【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形对角线互相垂直且平分，及菱形的面积等于对角线乘积的一半．7.【答题】如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B 的纵坐标是-1，则顶点A的坐标是（）A. （2，-1）B. （1，-2）C. （1，2）D. （2，1）【答案】D【分析】点A的横坐等于OC的长的一半，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数．【解答】∵点C的坐标为（4，0），∴OC=4，∴点B的纵坐标是-1，∴A（2，1）．选D.【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强．8.【答题】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC于点F、如果EF=4，那么CD的长为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【分析】已知EF∥BC，E是AB中点可推出F是AC中点，然后根据中位线定理求出CD的值．【解答】∵E是AB的中点，作EF∥BC，∴F是AC中点，那么EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=8，∴CD=BC=8．选D.【点评】本题主要应用了平行线等分线段定理和三角形中位线定理．9.【答题】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A. 10cm2B. 20cm2C. 40cm2D. 80cm2【答案】A【分析】矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，即5cm，4cm，所以菱形的面积可求．【解答】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，所以S 菱形 = ×5×4=10 cm 2．选A.【点评】本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．10.【答题】如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连结CP，则∠CPB的度数是（）A. 108°B. 72°C. 90°D. 100°【答案】B【分析】由菱形的性质得出∠ADP=∠CDP= ∠ADC，PA=PC，再由线段垂直平分线的性质得出PA=PD，证出PD=PC，得出∠PCD=∠CDP=36°，由外角性质即可求出∠CPB.【解答】解：连结PA，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP=∠CDP= ∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA=PC，∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA=PD，∴PD=PC，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；选B.【点评】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．11.【答题】如图，菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EG⊥CD于点G，则∠FGC=______°.【答案】55【分析】延长GF交AB的延长线于点P.根据已知可得∠EBF，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EGF的度数，从而不难求得∠FGC的度数.【解答】解：延长GF，交AB的延长线于点P.∵F为BC的中点，∴BF=CF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥DC，∴∠PBF=∠GCF，∠BFP=∠CFG，在△BPF与△CGF中，，∴△BPF≌△CGF，∴GF=PF，∴F为PG中点.又∵由题可知，∠BEG=90°，∴EF= PG，∵GF= PG，∴EF=GF，∴∠FEG=∠EGF，∵∠BEG=∠EGC=90°，∴∠BEG﹣∠FEG=∠EGC﹣∠EGF，即∠BEF=∠FGC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE= =55°，∴∠FGC=55°.故答案为55°.12.【答题】如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是______.【答案】16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4BC=4×4=16.故答案为16.13.【答题】菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为______.【答案】20【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.【解答】解：如图所示，根据题意得AO= ×8=4，BO= ×6=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB= = =5，∴此菱形的周长为：5×4=20.故答案为：20.【点评】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.14.【答题】已知菱形的两条对角线长分别为4和9，则菱形的面积为______.【答案】18【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解.【解答】解：菱形的面积= ×4×9=18.故答案为18.15.【答题】如图，菱形ABCD中，AB=AC=2，点E、F是AB，AD边上的动点，且AE=DF，则EF 长的最小值为______.【答案】【分析】首先证明△CEF是等边三角形，构建垂线段最短可知，当CE⊥AB时，CE最短，即EF最短．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=AC，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠EAC=∠D=60°，在△EAC和△FDC中，，∴△EAC≌△FDC，∴EC=CF，∠ACE=∠DCF，∴∠ECF=∠ACD=60°，∴△ECF是等边三角形，∴CE=EF=CF，∵CE⊥AB时，线段CE最小，最小值为×2=，∴EF的最小值为．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．16.【答题】四边形ABCD为菱形，该菱形的周长为16，面积为8，则∠ABC为______度.【答案】150【分析】此题菱形的形状不确定所以要分当∠A为钝角和锐角时分别求出∠ABC的度数即可.【解答】解：如图1所示：当∠A为钝角，过A作AE⊥BC，∵菱形ABCD的周长为l6，∴AB=4，∵面积为8，∴AE=2，∴∠ABE=30°，∴∠ABC=60°，当∠A为锐角是，过D作DE⊥AB，∵菱形ABCD的周长为l6，∴AD=4，∵面积为8，∴DE=2，∴∠A=30°，∴∠ABC=150°，故答案为：30或150.17.【答题】已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______.【答案】5【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB并得到AC⊥BD，然后根据勾股定理列式计算即可求出AB的长.【解答】解：如图，在菱形ABCD中，OA= ×8=4，OB= ×6=3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB= = =5，所以，菱形的边长是5.故答案为：5.18.【答题】菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为______cm，面积为______cm 2 .【答案】5 24【分析】根据菱形的性质利用勾股定理可求得菱形的边长，根据面积公式可求得菱形的面积.【解答】解：菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是 ×6=3cm和 ×8=4cm，那么它的斜边即菱形的边长=5cm，面积为6×8× =24cm 2 .故答案为5，24.19.【答题】菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为______cm 2 .【答案】24【分析】根据菱形的性质可知边长以及另一条对角线的长，然后根据菱形的面积计算公式可解.【解答】解：菱形的周长为20cm，则边长为5cm，∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得另一对角线的一半为3cm，则另一对角线长6cm，则菱形的面积为6×8× =24cm 2 .故答案为24.20.【答题】如果菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，那么菱形的边长为______cm.【答案】5【分析】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，且AC=8cm，BD=6cm，根据菱形的性质得AC⊥BD，OB= BD=3，AC= AC=4，然后在Rt△AOB中利用勾股定理计算出AB即可.【解答】解：如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，且AC=8cm，BD=6cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB= BD=3，AC= AC=4，在Rt△AOB中，AB= = =5，即菱形的边长为5cm.故答案为5.【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.。

2019年春八年级数学下册第二十二章四边形 22.5 菱形第2课时菱形的判定练习 (新版)冀教版

课时作业(三十三)[22.5 第2课时菱形的判定]一、选择题1．下列说法错误的是( )A. 菱形的四条边相等B. 四条边相等的四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2．如图K－33－1，若要使▱ABCD成为菱形，则需要添加的条件是( )图K－33－1A. AB＝CDB. AD＝BCC. AB＝BCD. AC＝BD3．如图K－33－2，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ABCD为菱形的是( )图K－33－2A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°4．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB＝CD，③AC⊥BD，④AD＝BC，⑤AD∥BC这5个条件中任选3个，能使四边形ABCD是菱形的选法有( )A．1种B．2种C．3种D．4种5．如图K－33－3，在△ABC中，AB<BC<AC，小华依下列方法作图：①作∠C的平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华的方法所作的图，下列说法中一定正确的是( )图K－33－3A．四边形CEDF为菱形B．DE＝DAC．DF⊥CBD．CD＝BD二、填空题6．如图K－33－4，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件________使其成为菱形(只填一个即可)．图K－33－47．如图K－33－5，两个完全相同的三角尺ABC和三角尺DEF在直线l上滑动，要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是______________(写出一个即可)．图K－33－58．如图K－33－6，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，当AB与AC满足条件________时，四边形AFCE是菱形．图K－33－69．如图K－33－7，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF ∥BA.下列四种说法：图K－33－7①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有________(只填写序号).链接听课例1归纳总结三、解答题10．如图K－33－8，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．链接听课例1归纳总结图K－33－811．如图K－33－9，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．图K－33－912．2017·定州期中如图K－33－10，▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，对角线AC，BO相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.(1)证明：当∠AOF＝90°时，四边形ABEF是平行四边形．(2)试说明在旋转过程中，AF＝CE；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出此时∠AOF的度数．图K－33－10折叠问题对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图K－33－11①；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图K－33－11②.求证：(1)∠ABE＝30°；(2)四边形BFB′E为菱形．图K－33－11详解详析[课堂达标] 1．D2．C [解析] 依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定．故选C .3．A [解析] 首先根据平移的性质得出AB 平行CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．4．D [解析] 能判定菱形的选法有①②③；①⑤③；②④③；④⑤③，共4种，所以选D .5．A [解析] 如图所示， ∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠FCG ＝∠ECG.∵EF 是线段CD 的垂直平分线，∴∠CGF ＝∠CGE ＝90°，CF ＝DF ，CE ＝DE. 在△CGF 和△CGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FCG ＝∠ECG ，CG ＝CG ，∠CGF ＝∠CGE ，∴△CGF ≌△CGE(ASA )，∴CF ＝CE ，∴CF ＝CE ＝DF ＝DE ， ∴四边形CEDF 是菱形，∴A 选项正确，B ，C ，D 三个选项不正确．故选A .6．答案不唯一，AC ⊥BD 或∠AOB ＝90°或AB ＝BC 7．答案不唯一，如BE ⊥CF[解析] 根据题意可得出四边形CBFE 是平行四边形，当CB ＝BF 或BE ⊥CF 时，都可以得出四边形CBFE 为菱形．8．AB ⊥AC [解析] ∵在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ∥CF 且AE ＝CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形．当▱AFCE 是菱形时，AE ＝AF ，∴AF ＝12BC ，∴∠BAC ＝90°，此时AB ⊥AC.9．①②③④ [解析] 考查学生合情推理的能力，根据两组对边互相平行得到说法①正确，再根据矩形的定义得到说法②正确，根据菱形的判定定理得到说法③正确，根据等腰三角形三线合一的性质得到说法④正确．10．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝CB ，∠A ＝∠C.在△ADE 和△CBF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，∠A ＝∠C ，AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF(SAS )．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD.由(1)知AE ＝CF ，∴DF ＝EB ， ∴四边形DEBF 是平行四边形．又∵DF ＝BF ，∴四边形DEBF 为菱形． 11．证明：∵AF ∥BC ，∴∠EAF ＝∠ECD ，∠EFA ＝∠EDC. 又E 是AC 的中点，∴AE ＝CE ， ∴△AEF ≌△CED ， ∴AF ＝CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵AC ＝2AB ，∴AE ＝AB.∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠BAD. 在△AED 和△ABD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAD ＝∠BAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△ABD ， ∴∠AED ＝∠B ＝90°， ∴DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形．12．解：(1)证明：当∠AOF ＝90°时，AB ∥EF. ∵▱ABCD 中AD ∥BC ，∴AF ∥BE ， ∴四边形ABEF 是平行四边形． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AD ∥BC ， ∴∠FAO ＝∠ECO. 在△AOF 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FAO ＝∠ECO ，OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，∴△AOF ≌△COE ， ∴AF ＝CE.(3)四边形BEDF 可能是菱形． ∵△AOF ≌△COE ，∴OE ＝OF. ∵▱ABCD 中，OB ＝OD ， ∴EF 与BD 互相平分，∴四边形BEDF 是平行四边形．在Rt △ABC 中，AC ＝BC 2－AB 2＝5－1＝2， ∴OA ＝1＝AB. ∵AB ⊥AC ，∴∠AOB＝45°，∵四边形BEDF是菱形，∴∠BOF＝90°，∴∠AOF＝45°.[素养提升]证明：(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，∴∠AEB＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°，∴∠ABE＝30°.(2)∵∠A′EB＝∠FEB′＝60°，EB′∥BF，∴∠A′EB＝∠FEB′＝∠BFE＝∠EFB′＝60°，∴△BEF和△EFB′都是等边三角形，∴BE＝BF＝EF＝EB′＝FB′，∴四边形BFB′E为菱形．。

八年级数学下册第二十二章四边形菱形第2课时菱形的判定习题课件新版冀教版ppt

∴AD=
1 2
BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
CONTENTS
4
定义法:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的判定
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
菱形的判定问题2 前面我们研究了菱形的四条边，知道它们都相等.反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
你能证明你的猜想吗？
菱形的判定
已知：如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明:∵AB=CD,BC=AD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.
∴△AOB≌△COB，∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
菱形的判定
归纳：菱形的判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言：在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，
B
O
ALeabharlann C∴平行四边形ABCD是菱形.
D
菱形的判定
例已知：如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC,交AB 于点E,DF∥AB,交AC于点F. 求证：四边形AEDF是菱形. 证明:∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形. ∴∠1=∠3. 又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3. ∴AE=DE. ∴四边形AEDF是菱形.
(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE,
∵E是AD的中点，∴AE=DE，
∴△AFE≌△DBE.
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，
∴AF=BD，∴AF=DC．

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