立体几何知识点总结_典型方法总结

数学必修（二）知识梳理与解题方法分析

第一章《空间几何体》

一、本章总知识结构

二、各节内容分析

1.1空间几何体的结构

1.本节知识结构

1.2空间几何体三视图和直观图

1、本节知识结构

1.3 空间几何体的表面积与体积

1、本节知识结构

。

三、高考考点解析

本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容：

1.多面体的体积（表面积）问题；

2.点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题—“等体积代换法”。

（一）多面体的体积（表面积）问题

1． 在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60 ，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ．

（1）求四棱锥P －ABCD 的体积； 【解】（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO⊥平面ABCD,得 ∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角,∠PBO=60°. 在Rt△AOB 中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO, 于是，PO=BOtan 60°=3,

而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=

3

1

×23×3=2. 2．如图,长方体ABCD-1111D C B A 中，E 、P 分别是BC 、11A D 的中点,M 、N 分别是AE 、1

CD 的中点，1AD=AA ,a =AB=2,a （Ⅲ）求三棱锥P －DEN 的体积。 【解】 （Ⅲ）1111

24

NEP ECD P S S BC CD ∆=

=⋅矩形 222

1544a a a a =

⋅⋅+= 作1DQ CD ⊥，交1CD 于Q ，由11A D ⊥面11CDD C 得11AC DQ ⊥ ∴DQ ⊥面11BCD A ∴在1Rt CDD ∆中，1155

CD DD DQ a CD a ⋅=

==

∴13P DEN D ENP NEP V V S DQ --∆==

⋅215345

a a =⋅316a =。 （二）点到平面的距离问题—“等体积代换法”。

1 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2, 2.CA CB CD BD AB AD ======

（III ）求点E 到平面ACD 的距离。

【解】 （III ） 设点E 到平面ACD 的距离为.h

E ACD A CDE V V --=，

∴ 11

.33

ACD CDE h S AO S ∆∆=

在

ACD

∆中，

2,2,CA CD AD ===

2212722().222

ACD S ∆∴=⨯⨯-=

而2133

1,2,242

CDE AO S ∆==

⨯⨯= 3

1.21

2.7

CDE

ACD

AO S h S ∆∆⨯

∴=

=

=

∴点E 到平面ACD 的距离为

21.7

2．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱1CC 上的点，且12CN C N ＝。

（Ⅱ）求点1B 到平面AMN 的距离。 【解】（Ⅱ）过1B 在面11BCC B 内作直线

1B H MN ⊥，H 为垂足。又AM ⊥平面11BCC B ，所以AM ⊥1B H 。于是1B H ⊥平面AMN ，

故1B H 即为1B 到平面AMN 的距离。在11R B HM ∆中，1B H ＝

1B M 151

sin 1125

B MH =

⨯-=。故点1B 到平面AMN 的距离为1。

3 如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC 、、两两垂

直，且OA=1，OB=OC=2，E 是OC 的中点。

C

A

D

B

O

E

（1）求O点到面ABC的距离；

【解】（1）取BC的中点D，连AD、OD。

OB OC

=，则OD BC AD BC

⊥⊥

、，

∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，

则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。

22

BC=，222

OD OC CD

=-=。

OA OB OA OC

⊥⊥

，，∴OA⊥面OBC，则OA OD

⊥。

223

AD OA OD

=+=，在直角三角形OAD中，有

26

3

3

OA OD

OH

AD

⋅

===。

（另解：由

112

363

O ABC ABC

V S OH OA OB OC

-∆∆

=⋅=⋅⋅=知：

6

OH=）

第二章《点、直线、平面之间的位置关系》一、本章的知识结构

二、各节内容分析

2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 1、本节知识结构

2.内容归纳总结

（1）四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① ② ③

它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。

符号语言：,,P P l P l αβα

β∈∈⇒=∈且。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系

1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角范围090θ<≤︒）

定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）

2.位置关系：⎧⎧⎪⎨

⎨⎩⎪

⎩相交直线：_______________________________;

共面直线平行直线：_______________________________;异面直线：_________________________________________.

（3）空间中直线与平面之间的位置关系