有限字长效应和量化误差-哈工大

pi
值越大， ak 对
pi ak , i 1, 2, , N k 1 a k
N
？
pi 决定系数 ak 的偏差 ak 对极 ak 点位置偏差 pi 的影响程度。
pi 的影响越大； 值越小， ak 对 pi 的影响越小；
复合函数的 微分法则：
M
pi A( z ) A( z ) pi z p ak a k z p
p pi i ak , i 1, 2, , N k 1 a k
N
pi 为极点位置的偏差值，是由各系数偏差 ak 引起的。
pi 关系式中， a 表示极点 pi 对系数 ak 变化的灵敏度。 k
12
12
数字滤波器的系数量化效应
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
系数量化误差
量化后的 系统函数： H z
k zk b k zk 1 a
k 0 k 0 N
M


M i 1 N i 1
i z 1 1 z
1 i
pz 1
B z A z
5
系统的零极点受到影响
系统的稳定性受到影响 5
H (z)
直接型：
1 (1 0.99 z 1 )3
在z=0.99处有一个三阶 极点，且在z=1附近。
级联型：
为维持级联结构的稳定， 只需维持 x k 3个一阶节稳 定，b只需要用 6个二进1 1 z 即可。 z 制数表示0.99
x k b位定点二进制 y k 当系数用 小数表示，若 z 1 19， b1 b选为 则系数的舍入误差绝对 1 20 z b 值将不会超过 2 ，从 2 而保证滤波器工作稳定。 z 1
滤波器技术指标：阶次N=6，通带波纹 R p 0.5，阻带衰减 Rs 50dB ，低通截止频率 w0
直接型结构
增益
0 -10
原始 量化后
0.6
|H|
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 原始 量化后
对数幅度，dB
-20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
i
个极点 pi ，它与点 z
1 的距离用 pi
表示，有
pi 1 pi ，其中， pi 1
r 。 ak 存在于系统函数的 A z 中，假设某系数 ar由于量化引入误差 ar 后变为 a
r a a a r r
系统函数的分母多项式变为：
N
“舍入”量化
N
A( z ) 1 ak z k ar z r A( z ) ar z r 1 p i z 1
H z
kz b
k 0 N
M
k
k zk 1 a
k 0
z B 1 z z A z 1 p z
M i 1 i 1 N 1 i 1 i
系统的极点是 p i , i 1, 2, , N
p i pi pi , i 1, 2, , N
R p 0.5，阻带衰减 Rs 50dB ，低通截止频率 w0 滤波器技术指标：阶次 N=6，通带波纹 2 -0.2976-0.8808i -0.3047-0.8868i
直接型结构
1.5 1
0.6
3 4 原始极零点分布图 5 6
-0.0436+0.7522i -0.0436-0.7522i 0.3353+0.3550i 零点 0.3353-0.3550i
y k
b3
b1
b2
b3
z 1
结论： A. 系数量化对滤波器的影响，不仅与字长有关，还与滤波器的结构有关。 B. 与直接型相比，系统级联时，系数量化对滤波器的稳定性影响较小。
11
11
数字滤波器的系数量化效应
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
极点（零点）位置灵敏度指每个极点（零点）位置对各系数偏差的敏感程度。 极点灵敏度分析方法同样适用于零点，但是极点对系统影响更大，直接影响 到系统的稳定性。零点作用只是用来调整极点所引起的滤波器特性，且取决于它 与极点的相对位置。因此，主要分析极点变化的影响。
piN k
(p
l 1 l i
N
i
pl )
ak
分母中每个 pi
pl
是一个由
pl
指向
pi
的矢量，而整个分母为所有其他极点
pl ( l i )
指向该极点的矢量积。此矢量越长，即极点彼此间距越远时，极点位置灵敏度越低；矢
量越短，即极点彼此越密集时，极点位置灵敏度越高。
表1 系统结构不同，影响不同
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Part
Real Part
17
17
数字滤波器的系数量化效应
实验：切比雪夫IIR低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取b=5bit 。
滤波器技术指标：阶次N=6，通带波纹 R p 0.5，阻带衰减 Rs 50dB ，低通截止频率 w0
极点数目 高阶直接型 低阶直接型 级联或并联 多 少 少
极点密集程度 密集 较稀疏 很稀疏
系数量化误 差敏感程度 敏感 较敏感 不敏感
结论： 对于高阶系统来说，应避免采用直接型结构，而应采用级联或并联结构。 14 14
数字滤波器的系数量化效应
实验：切比雪夫IIR低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取b=5bit 。
l i
极点位置 灵敏度：
pi a k
piN k
(p
l 1 l i
N
i
pl )
极点 pi 的偏差量：
pi
k 1
N
piN k
(p
l 1 l13 i
N
i
pl )
ak
13
数字滤波器的系数量化效应
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
pi
k 1 N
幅度
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
/
15
15
数字滤波器的系数量化效应
实验：切比雪夫IIR低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取b=5bit 。
滤波器技术指标：阶次N=6，通带波纹 R p 0.5，阻带衰减 Rs 50dB ，低通截止频率 w0
背景 知识
系统函数： H z
b z
k 0 N k k 0
M
k
1 ak z k

1 z z
1
M
1 p z
1 i 1 i
i 1 N
i
B z A z
系数 ak , bk 量化后，得到
k ,b k a
a k ak ak b k bk bk
对理想的系数加以量化。
滤波器系统函数：H z
b z
k 0 N k k 0
M
k
1 ak z k

1 z z
1
M
1 p z
1 i 1 i
i 1 N
i
B z A z
必须对 ak , bk 进行量化处理 4
4
数字滤波器的系数量化效应
？
k 0
i 1


9
判断：系数量化后的系统极点是否在单位圆上或单位圆外。 9
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
N
IIR滤波器
A( z ) 1 ak z k ar z r A( z ) ar z r
k 0
反推：
假设有一个极点移到单位圆上，即 z=1
1.5 1 零点 极点
Imaginary Part
0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2.5
Imaginary Part
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Part
Real Part
16
16
数字滤波器的系数量化效应
极点 量化前 量化后 实验：切比雪夫IIR 低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 1 -0.2976+0.8808i -0.3047+0.8868i 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取 b=5bit 。
A(1) A(1) ar 0
ar A(1) 1 ak
k 0 N
z 1
1 pi z
i 1
N
1 z 1
1 pi
i 1
N
pi 1 或 pi 1
ar 1
只要有一个系数发生很微小的变化，系统就可能失去稳定。
极点聚集 在z=1附近
级联型结构
增益
0 -10
原始 量化后
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.6
|H|
1 0.8 0.6
原始 量化后
对数幅度，dB
-20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
幅度
0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
/
/
18
18
数字滤波器的系数量化效应
i
i
pi A( z ) ak ak A( z ) pi
z pi
H z
b z
k 0 N k k 0
k
1 ak z k

1 z z
1
M
1 p z
1 i 1 i
i 1 N
i
B z A z
A( z ) zk a k N A( z ) N z ( z pl ) pi l 1
直接型结构
原始极零点分布图
1.5
零点
0.6
量化后的极零点分布图
1.5
零点 极点 极点
1
1
Imaginary Part
0 -0.5 -1 -1.5 -2.5
Imaginary Part
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0.5
0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2.5
-2
-1.5
数字滤波器的系数量化效应
背景 知识
系数量化 系统的零极点受到影响 系统的结构 系统的稳定性受到影响
直 接
直 接
I
型
II
型
级 联 结 构
并 联 结 构
6
6
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
7
7
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
实验：切比雪夫IIR低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取b=5bit 。
滤波器技术指标：阶次N=6，通带波纹 R p 0.5，阻带衰减 Rs 50dB ，低通截止频率 w0
级联型结构
1.5 1
0.6
原始极零点分布图
零点 极点
量化后的极零点分布图
Imaginary Part
极点
0.0060+0.7322i 0.0060-0.7322i 量化后的极零点分布图
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2.5
0.2987+0.3311i 0.2987-0.3311i
零点 极点
Imaginary Part
0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2.5
稳定性 极点
FIR滤波器
在z=0处有高阶极点 系数量化误差影响零点位置 不影响滤波器的稳定性
IIR滤波器
可能存在多个极点
√
系数量化误差影响极点位置 影响滤波器的稳定性
8
8
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响 IIR滤波器
假设：稳定的因果的IIR数字滤波器，具有窄带低通频率特性 极点都在单位圆内且聚集在z=1附近 第
有限字长效应和量化误差
目录
数字运算的有限字长效应
A/D采样的量化效应
数字滤波器的系数量化效应 定点运算的有限字长效应
2
2
数字滤波器的系数量化效应
数字滤波器系统函数中的系数量化影响零极 点位置，从而影响系统稳定性
3
3
数字滤波器的系数量化效应
背景 知识
理论设计出的理想数字滤波器系统函数各系数 ak , bk 均为无限精度；但在实际实现时，滤波器的所有系数 是以有限长的二进制码形式存放在存储器中。因此，必须
结论： 反馈回路的阶次N越高，滤波器的系数量化误差的绝对值越小， 10 滤波器越容易变得不稳定。
10
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响 IIR滤波器
？
举例 说明：
系统结构不同，系数量化又是如何影响滤波器的稳定性。
三阶IIR数字滤波器，为使滤波器保持稳定，对滤波器系数进行舍 入量化处理时，至少应采用几位字长？：