20100613线代期末试题
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
(完整版)线性代数-期末试题及答案
（2）求出该线性方程组的一个特解和其导出组的一个基础解系，表示出线性方程组的全部解。
八、（8分）设 为 的基础解系。证明 ， ， 也是 的基础解系。
线性代数期末试题答案
一、填空题（每小题2分，共20分）
1. 2. 3. 4. 5.
⑵ 当 时， ， ，此时线性方程组无解．
⑶ 当 时， ，此时线性方程组有无穷多组解．
此时，原线性方程组化为 因此，原线性方程组的通解为
或者写为
六、（10分）解：记向量组 对应矩阵为 并化为行阶梯形矩阵为
所以向量组 的秩为3
且它的一个最大无关组为： 或
七、（12分）解：（1）.
（2）.线性方程组的证明：只要证明 是线性无关即可，
令
线性无关，
只有零解，即 线性无关。
即 ， ， 也是 的基础解系。
. . . .
6.设 为 个未知数 个方程的线性方程组， 下列命题中正确的是（ ）.
.当 时， 有唯一解 .当 时， 有唯一解
.当 时， 有解 .当 时， 有无穷多解
7.若齐次线性方程组 有非零解,则 （ ）.
.1或2 .1或－2 .－1或2 .－1或－2
8.n阶矩阵A的秩 的充分必要条件是A中（ ）.
.所有的 阶子式都不等于零 .所有的 阶子式都不等于零
.有一个 阶子式不等于零 .有一个 阶子式不等于零,且所有 阶子式都等于零
9.设向量组 ，则 线性无关的充分必要条件是（）.
. 全不为0 . 不全为0 . 互不相等 . 不全相等
10.已知 为 的两个不同的解， 为其齐次方程组 基础解系， 为任意常数，则方程组 的通解可表成（ ）.
西安交通大学2010年线性代数期末考试试题(含答案)(K12教育文档)
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西安交通大学考试题课 程 线性代数与空间解析几何（A ）卷学 院专业班号 考 试 日 期 201015 日 姓 名 学 号一、单项选择题（每小题5分，共15分）(1）.设A 为三阶方阵,将A 的第2行加到第1行得矩阵B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得矩阵C ，记矩阵110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则 (A) 1C P AP -=. （B ） 1C PAP -=. (C ） T C P AP =. (D) T C PAP =. 【 】 （2). 设有线性方程组（I ） ：AX O =, (II ）:T A AX O =，则 （A ） (II ）的解是（I ）的解，(I ）的解也是(II)的解； (B) （II)的解是(I ）的解，但（I ）的解不是（II)的解; (C ） (I)的解不是(II)的解，（II)的解也不是(I)的解；(D ） （I)的解是（II)的解,但(II ）的解不是（I)的解；. 【 】 （3) 若n 阶方阵A 相似于对角阵，则(A) A 有n 个不同的特征值； (B) A 为实对称阵；(C ） A 有n 个线性无关的特征向量； （D) n r =)(A . 【 】 二、填空题(每小题5分,共15分)(1）。
2010—2011学年第二学期《线性代数B1》期末考试试卷及答案
五、（本题8分）
(1) 因为b1, b2, · · · , bn两两正交, 所以 bi, bj = δij · |bi|2 =
|bi|2 = 0, i = j,
0,
i = j.
设λ1b1 + λ2b2 + · · · + λnbn = 0, 用bi作内积得：λi bi, bi = 0 ⇒ λi = 0, i = 1, 2, · · · , n.
因为βj = n akjbk ⇒ βj = (b1, b2, · · · , bn) a1... j (j > r).
k=1
anj
所以βj (j > r)是β1, β2, · · · , βr的线性组合. 下面只要说明β1, β2, · · · , βr线性无关即可.
设λ1β1 + λ2β2 + · · · + λrβr = (β1, β2, · · · , βr) λ...1 = 0,
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—————————————————————————– 答 题 时 不 要 超 过 此 线 —————————————————————————–
得分 评卷人
五、（本题15分）
已知二次型Q(x1, x2, x3) = 3x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1x3。 (1) 写出二次型Q(x1, x2, x3)对应的矩阵A，和Q(x1, x2, x3)的矩阵式。 (2) 求正交变换P ，使x = P y把Q(x1, x2, x3)化为标准形。 (3) 二次型是正定的、负定的还是不定的，为什么？ (4) 指出Q(x1, x2, x3) = 1的几何意义。
=
。
(8) 设P3[x]为 次 数 小 于 等 于3的 实 系 数 多 项 式 全 体 构 成 的 线 性 空 间 。 定
线性代数期末考试 及答案
线性代数期末考试一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√) 解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T 的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是： 用正交变换化二次型Ax x T 为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型. 二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值.2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆；(C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3， 所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ). (A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221.解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T =,那么B C A 2=)，所以选(D) . 方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T-+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221, 所以选(D) . 方法3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T =，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ， 即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a . 5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2. 7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题 1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量. 解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(210420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量. 解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n n nn n n n nE A00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n, 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x x x x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y xA 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件. 解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00000101-1010101y x y xE A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1） 求A 的特征值与特征向量;（2） 求矩阵A .解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数； 1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则 ()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,， 即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-AP P ， 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为 2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(33335111)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++,所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似. 证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A 与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TTTTTB A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+， 而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A . 4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B T T T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x T T T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x T T +=λ， 而当0≠x 时，有0>x x T ， 0≥)()(Ax Ax T ， 从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x TTTλ，即矩阵B 为正定矩阵.。
线性代数期末考试试卷(doc 6页)
线性代数期末考试试卷(doc 6页)学院：专业：班级：2009-2010-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：2010.6.5一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列行列式的值不一定为零的是（）。
A．n阶行列式中，零的个数多于2n n-个；B．行列式中每行元素之和为a；C．行列式中两行元素完全相同；D．行列式中两行元素成比例。
2．若A是（），则A不一定为方阵。
A．初等矩阵；B．对称矩阵；C．可逆矩阵的转置矩阵；D．线性方程组的系数矩阵。
3．若A、B均为n阶方阵，则有（）。
A．()()(){}maxR A B R A R B+≥；B．()()(){}minR A B R A R B+≤；C．()()()R A B R A R B+>+；D．()()()R A B R A R B+≤+。
4．下列条件不是向量组12.nααα⋅⋅⋅线性无关的必要条件的是（）。
A．12.nααα⋅⋅⋅都不是零向量；B．12.nααα⋅⋅⋅中任意两个都不成比例；C．12.nααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其它向量线性表示；题号一二三四五总分：总分人：复核人：11 12 13 14 15 16 17 18得分签名得分12．已知111022003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -、()*1A -、1A -。
13．问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。
得分 得分14．设向量组()131T a α=，()223T b α=，()3121T α=，()4231T α=的秩为2，求,a b 。
15. 设n 维向量(),0,0,T a a α=⋅⋅⋅，0a <，且T A E αα=-⋅,11T A E a αα-=+⋅,求a 。
得分得分学院：专业：班级：四、解答题（10分）16．设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为()1111TP=,,，求矩阵A。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。
左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。
线性代数、概率论与数理统计试题及答案
2010线性代数试题及答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量组的线性相关性是指（）。
A. 至少有一个向量可以由其他向量线性表示B. 所有向量都为零向量C. 所有向量线性无关D. 向量组中存在非零向量答案：A2. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 行向量线性无关D. 行向量线性相关答案：B3. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（）。
A. 系数矩阵的行列式为0B. 系数矩阵的秩小于未知数的个数C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 系数矩阵的秩大于未知数的个数答案：B4. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为零矩阵，则（）。
A. A和B中至少有一个是零矩阵B. A和B都是零矩阵C. A和B的行列式都为0D. A和B的行列式乘积为0答案：A5. 向量组的秩是指（）。
A. 向量组中线性无关向量的最大个数B. 向量组中向量的最大个数C. 向量组中向量的最小个数D. 向量组中向量的平均个数答案：A6. 矩阵A的转置矩阵记作（）。
A. A'B. A^TC. A^HD. A^答案：B7. 矩阵A的特征值是指（）。
A. 矩阵A的对角线元素B. 矩阵A的非零特征向量C. 满足|A-λI|=0的λ值D. 矩阵A的行列式答案：C8. 矩阵A和矩阵B相似的充分必要条件是（）。
A. A和B的行列式相等B. A和B的秩相等C. A和B的特征值相同D. A和B的迹相等答案：C9. 矩阵A的逆矩阵记作（）。
A. A'B. A^TC. A^-1D. A^H答案：C10. 向量组的正交性是指（）。
A. 向量组中任意两个向量的数量积为0B. 向量组中任意两个向量的长度相等C. 向量组中任意两个向量的长度之和为1D. 向量组中任意两个向量的长度之积为1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵A的秩是指矩阵A的______。
答案：行向量或列向量线性无关的最大个数12. 矩阵A的迹是指矩阵A的______。
西安工业大学2010级线性代数期末考试卷和答案
西安工业大学2010级线性代数期末考试卷（A 卷）注意事项： （1）所有题一律在试卷上做答，第三至第七题要有计算或证明过程； （2）考试结束前10分钟不准交卷，由监考老师负责收卷。
一、填空题（每题3分，共18分）1.设12345,,,,A A A A A 都是41⨯列矩阵，而矩阵1345(,,,),A A A A A =2345(,,,)B A A A A = 且已知3||,2||==B A ，则=+|2|B A .2.设方阵A 满足方程O E A A =--232，则=-1A .3.已知向量组T )1,5,3,1(1-=α，T )4,3,1,2(--=2α,T t )7,,1,5(=3α线性相关，则=t .4. 已知四元非齐次线方程组b Ax =，3)(=A R ，321,,ηηη是它的三个解向量，其中T )2,0,2,1(21=+ηη，T)3,1,0,1(=+32ηη，则方程组通解是 .5.设A 是3阶方阵，且0|3|||||=+=+=-E A E A E A ,则|E A A 322+-|= ，)(A R = .6. 已知3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=为正定的，则参数t 的取值范围是 .二、选择题（每题3分，共18分）1. 设A 是3阶方阵，且2||=A ，则=+-|)21(|*1A A （ ）.)(A 32； )(B 2； )(C 5； )(D 125.2. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则（ ）.)(A n m >时，必有0≠AB ； )(B m n >时，必有0≠AB ； )(C n m >时，必有0=AB ； )(D m n >时，必有0=AB .3. 设γβα , ,线性无关， δβα , ,线性相关，则（ ）.)(A α必可由δ ,, γβ线性表示； )(B β必不可由δγα ,, 线性表示；)(C δ必可由γβα , , 线性表示； )(D δ不可由γβα, , 线性表示.4. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11334221t A ，B 为3阶非零矩阵，且0=AB ，则t 的值为（ ）. )(A 0； )(B 3； )(C 3-； )(D 无法确定.、5. 设321,,ααα均为三维列向量，32,αα线性无关，3212ααα-=，),,(321ααα=A ，kb ,52321ααα++=为任意常数，则线性方程组b Ax =的通解为（ ）.)(A TTk )1,2,1()5,2,1(-+； )(B T T k )5,2,1()1,2,1(+-； )(C TTk )5,2,1()1,2,1(+-； )(D T T k )1,2,1()5,2,1(-+.6. n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要件是（ ）．)(A A 是对称矩阵； )(B A 有n 个线性无关的特征向量；)(C A有n 个不同的特征值； )(D A 是正定矩阵.三、（1）（6分）计算行列式1130023200000243210000011-的值；（2）（6分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=510230113A ，且矩阵A , X 满足AX = A + 2X , 求矩阵X . 四、设向量组)4,2,1,1(1-=α,)2,1,3,0(2=α,)14,7,0,3(3=α,)10,5,1,2(4=α. （1）（6分）求向量组4321,,,αααα的秩，并说明4321,,,αααα是否线性相关？ （2）（6分）求向量组4321,,,αααα的一个最大线性无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表出.五、（15分）设方程组⎪⎩⎪⎨⎧23213213211λλλλλ=++=++=++x x x x x x x x x , 试问λ分别为何值时，(1)方程组有唯一解； (2)方程组无解；(3)方程组有无穷多解,并求出通解表示式.六、(15分) 设二次型),,(321x x x f =322322212334x x x x x -++，用正交变换将f 化为标准形.七、（1）（5分）已知向量组n ααα,,,21 线性无关，向量组n βββ,,,21 满足：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=--111322211ααβααβααβααβn n n n n， 分别讨论当3=n 和4=n 时，n βββ,,,21 是否线性相关？（2）（5分）设n 阶方阵A 满足下面三个条件：(1)A A T = ；(2)A A =2；(3)0≠A ，证明：A 是正定矩阵.西安工业大学2010级线性代数期末考试试题答案2011年6月29日注意事项： （1）所有题一律在试卷上做答，第三至第七题要有计算过程； （2）考试结束前10分钟不准交卷，由监考老师负责收卷。
(完整版),西安交通大学2010年线性代数期末考试试题(含答案),推荐文档
(3).已知是四元方程组AX b =的三个解，其中且123,,ηηη()3r A =，则方程组AX b =的通解为1223(1,2,3,4),(4,4,4,4)T T ηηηη+=+=三、(12分) 证明两直线,异面；求两直线间的距1:4l x y z ==-2:l x y z -==离；并求与都垂直且相交的直线方程。
12,l l 四、(12分)线性方程组123113112112x x x λλλλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,λ求出该方程组的结构式通解.五、(12分). 已知二次曲面方程可经过正交2222224x ay z bxy xz yz +++++=变换化为柱面方程，求的值及正交矩阵P.'''x x y P y z z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22'4'4y z +=,a b 六、(12分) 设,矩阵满足，其中为三阶单位矩101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X 2AX I A X +=+I 阵，求矩阵X .七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1)矩阵，线性空间1123130101111432A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥---⎣⎦求的基与维数.{}4|V b b F Ax =∈，方程组=b 有解V (2) 设,在的基下的矩()3T L R ∈T 3R 123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα=-=-=阵为 ，求在基下的101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T βββ===矩阵.八、(10分)设是维列向量组，矩阵12,,,n ααα n 111212122212T T T n T T T n T T Tn n n n A αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明线性无关的充要条件是对任意维列向量，方程组12,,,n ααα n b 均有解。
【大学期末考试复习题】厦门大学20100613线代期末试题及答案
1一．（填空题（每小题4分，共20分）1．令1,0,3,5,2,8,6,9,TTA B 则61TA B，286900624182710403045TAB。
2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，123,,是它的三个解向量，且12(2,6,3),T23(6,8,5),T则该线性方程组的通解是(1,3,3/2)(8,14,2),.TTk kR 3. 设123625tAt t 的行向量线性相关，则实数t 满足的条件是313,61.22tt或4．令ii A 是三阶矩阵A 的元素ii a 的代数余子式（i=1，2，3），若A 的特征值为3，4，5，则112233A A A ___47_______.5．若101020105A c c 是正定矩阵，则c 的取值范围为____0C_______.二．选择题（每小题3分，共15分）1.设A 、B 均为n 阶正交矩阵，则_____（3）_______. （1）A+B 为正交矩阵（2）A-B 为正交矩阵（3）BAB 为正交矩阵（4）kAB 为正交矩阵(k>0为实数)2．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵O ADB O的逆矩阵是____（2）________.（1）11A O OB（2）11O B AO厦门大学2009级《线性代数A 》课程试卷参考答案主考教师：试卷类型：（A 卷） 2010.06.13。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1.下列哪一个不是线性空间？A. 实数集RB. 矩阵的集合M(n,R)C. 正实数集R+D. 空集答案：C2.下列关于线性变换的叙述，正确的是（）A. 线性变换保持向量的长度不变B. 线性变换保持向量的方向不变C. 线性变换保持向量的数量积不变D. 线性变换保持向量的线性组合关系不变答案：D3.若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（）A. 2α1，3α2，4α3 线性相关B. 2α1+3α2，4α3 线性无关C. α1+α2，α2+α3，α3+α1 线性无关D. α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性相关答案：C4.设A是3阶矩阵，且|A|=5，则|2A|=（）A. 10B. 25C. 50D. 125答案：D5.下列关于线性方程组的叙述，正确的是（）A. 如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，则方程组一定有解B. 如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，则方程组一定有唯一解C. 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组一定有解D. 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组一定无解答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6.若向量组α1，α2，α3线性无关，则其极大线性无关组所含向量的个数为______。
答案：37.设A是3阶矩阵，且|A|=4，则|A的逆矩阵|=______。
答案：1/48.若线性方程组Ax=b有解，则系数矩阵A的秩r(A)与增广矩阵B的秩r(B)满足关系______。
答案：r(A)=r(B)9.设A是n阶对称矩阵，则A的转置矩阵A^T______。
答案：等于A10.线性空间V的维数等于______。
答案：V中极大线性无关组所含向量的个数三、计算题（每题10分，共30分）11.已知向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，判断向量组是否线性相关，并说明理由。
答案：线性相关。
因为α3=α1+α2，所以向量组线性相关。
线性代数考试题及答案解析
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。
2、闭卷考试。
评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。
(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a 【 】5.设矩阵A 与B 等价，则有(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R >__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r >【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是(A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量(B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例(C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示(D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值(C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量空间的基是一组线性无关的向量，下列哪组向量不是基？A. {(1,0), (0,1)}B. {(1,1), (1,0)}C. {(1,2,3), (4,5,6)}D. {(1,2,3), (0,1,0), (0,0,1)}答案：B2. 矩阵A的行列式为0，下列哪个说法是正确的？A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A的所有特征值都是0D. A的秩小于其行数或列数答案：B3. 对于矩阵A，其转置矩阵记作A^T，下列哪个说法是错误的？A. (A^T)^T = AB. (A+B)^T = A^T + B^TC. (AB)^T = B^T A^TD. (AB)^T = A^T B^T答案：D4. 矩阵A的特征值λ满足以下哪个方程？A. det(A - λI) = 0B. det(A + λI) = 0C. det(A - λI) = 1D. det(A + λI) = 1答案：A5. 线性方程组Ax=b有解的条件是？A. A是可逆的B. b是A的列向量的线性组合C. A的秩等于增广矩阵的秩D. A的秩小于增广矩阵的秩答案：C6. 矩阵A的秩是？A. A中非零行的最大数量B. A中非零列的最大数量C. A中线性无关行的最大数量D. A中线性无关列的最大数量答案：D7. 两个向量α和β线性相关，下列哪个说法是正确的？A. α和β共线B. α和β垂直C. α和β正交D. α和β不共线答案：A8. 矩阵A的迹是？A. A的对角线元素之和B. A的非对角线元素之和C. A的转置的对角线元素之和D. A的转置的非对角线元素之和答案：A9. 矩阵A的逆矩阵记作A^(-1)，下列哪个说法是错误的？A. AA^(-1) = A^(-1)A = IB. (A^(-1))^(-1) = AC. (A^T)^(-1) = (A^(-1))^TD. (AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)答案：D10. 向量空间的维数是？A. 空间中所有向量的个数B. 空间中线性无关向量的最大个数C. 空间中向量的坐标个数D. 空间中向量的长度答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果矩阵A的行列式为2，那么矩阵2A的行列式是______。
2013级线性代数期末考试题(A卷)答案
2013—2014学年第一学期线性代数课程期末考试试卷参考答案（A 卷）一、（每小题2分，共8小题）1 错；2 对；3 对；4 C ；5 B ；6 B ；7 A ；8 B二、行列式计算 （本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）1、计算四阶行列式1110110110110111D =.解：根据行列式的性质，原行列式等于：1(234)21311/3414*3/211103333110111012101110110111011111111111110100103*3*21011010001111003*(1)*1*(1)*(1)*(1)32r r r r r r r r r r r D +++---==-==--=----=-分分分2、计算n 阶行列式11111222(2)1233123n n>.解：根据行列式的性质，原行列式等于：12111110111001100011n n r r r r ---==原式6分2分三、矩阵X ，A ，B 满足3AX X B =+,其中 （本题共8分）301050303A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222369B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 。
解：由 3AX X B =+ 可得：(3)A E X B -= 2分又因为 0010203003A E ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭-= 且它是可逆矩阵 1分所以 1(3)X A E B -=- 1分通过计算可得：1001/301/20100(3)A E -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭- 2分所以 123111111X ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭= 2分四、当a 取何值时，线性方程组：1232312343133(1)0x x x ax x x x a x ---+==+++=⎧⎪⎨⎪⎩无解，有惟一解，有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解。
（本题14分） 解：方程组的增广矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---01313301141a a 。
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一．（填空题（每小题4分，共20分）
1． 令 ()()1,0,3,5,2,8,6,9,T
T
A B ==-则T A B =_______， T AB =______________.
2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，123,,βββ是它的 三个解向量，且12(2,6,3),T ββ+=-23(6,8,5),T ββ+=-则该线性方 程组的通解是__________.
3. 设123625t A t t ⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
的行向量线性相关，则实数t 满足的条件是 _________.
4．令ii A 是三阶矩阵A 的元素ii a 的代数余子式（i =1，2，3），若A 的特征值为3，4，5，则112233A A A ++=__________.
5．若1
01020105A c c ⎛⎫ ⎪
=+ ⎪ ⎪-⎝⎭
是正定矩阵，则c 的取值范围为 ___________.
二． 选择题（每小题3分，共15分）
1. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，则____________. （1）A+B 为正交矩阵 （2）A-B 为正交矩阵
（3） B AB 为正交矩阵（4）k AB 为正交矩阵(k >0为实数)
厦门大学2009级《线性代数A 》课程试卷
学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿
主考教师： 试卷类型：（A 卷） 2010.06.13
2．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵 O A D B O ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的逆矩阵是____________.
（1）1
1A O O B --⎛⎫
⎪⎝⎭ （2）11O B A O --⎛⎫
⎪⎝⎭ （3） 1
1B O O
A --⎛⎫
⎪⎝⎭ （4）11
O A B
O --⎛⎫ ⎪⎝⎭
3． 设α与β是线性无关的单位向量，则α与β的内积必 ____________.
（1） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<1
4.设A 为n 阶可逆矩阵，1*,,T A A A -分别是A 的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若ξ是A 的特征向量，则下列命题中的不正确的是________.
（1）ξ是T A 的特征向量 （2）2ξ是1A -的特征向量 （3）3ξ是*A 的特征向量
（4） 4ξ是kA 的特征向量（k 为常数）
5.设222623222,000222000A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则____ ____. （1）A 与B 是相似的且是合同的 （2）A 与B 是相似的但不是合同的 （3）A 与B 不是相似的但是合同的 （4）A 与B 不是相似的也不是合同的
三．（15分）试求五元齐次线性方程组
123451234512345
330,
30,0x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪
-++-+=⎨⎪+++-=⎩
的解空间V(作为5R 的子空间)的一组规范（标准）正交基。
四．（12分）求矩阵120250113A ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
的特征值和特征向量，并计算9
A 的 特征值。
五．（16分）令()()()1231,,1,,1,1,1,2,1T T T
k k k ααα===--- ,(1,2,1)T k β=---,
问k 为何值时
（1） 向量β不能由向量组123,,ααα线性表示；
（2） 向量β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一； （3） 向量β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法不唯一，
并求其一般表达式.
六.(12分)设三元二次型2221231231223(,,)2322,f x x x x x x x x x x =+--+试求一个
可逆线性变换x Py =的将此二次型化为规范型.
七.(10分)令A 为n 阶正定矩阵，证明：（1）存在n 阶实可逆矩阵P,使得;T A P P =为（2）对任意n 阶实对称矩阵B,存在n 阶实可逆矩阵Q 使得T Q AQ 与T Q BQ 均为对角矩阵.。