人教版数学七年级下册 第五章《5.1.1 相交线》课件(共48张PPT)

4．(2020·东营) 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，射线 OM 平
分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM 等于( A )
A．159°
B．161°
C．169°
D．138°
*5. 如图，∠AOC 与∠BOC 是邻补角，OE，OF 分别平分∠AOC
和∠BOC，当 OC 的位置发生变化时(不与直线 AB 重合)，那
解：∠AOC的邻补角是∠AOD，∠BOC；∠EOB的邻补角是 ∠BOF和∠AOE.
新知小结
判断两个角是不是邻补角，应从两个方面去看： 一看这两个角有没有公共边； 二看这两个角的另一边是否互为反向延长线．
巩固新知
1 邻补角是( D ) A．和为180°的两个角 B．有公共顶点且互补的两个角 C．有一条公共边且相等的两个角 D．有公共顶点且有一条公共边，另一边互为 反向延长线的两个角
人教版数学七年级下册
第五章
5.1.1 相交线
导入新知
北京立交桥
相交线
平行线
学习目标
1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形 中辨认．
2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过 程．
合作探究
知识点 1 邻补角的定义及性质
A
D
O
B C
如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交. 该公共点叫做两直线的交点直线AB、CD相交于点O.
2 下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是( D )
3 如图，∠1的邻补角是( B ) A．∠BOC B．∠BOE和∠AOF C．∠AOF D．∠BOC和∠AOF
4 【中考·柳州】如图，∠α的度数等于( A ) A．135° B．125° C．115° D．105°
合作探究 知识点 2 对顶角的定义及性质
A．②③
B．①②
C．③④
D．①④
邻补角既包含数量关系，又包含位置关系；补 角仅包含数量关系．
易错点：邻补角与补角区分不清.
课后练习
1．邻补角是成对出现的，其位置特征为： (1)有公共__顶__点____； (2)有一条__公__共__边__； (3)两角的另一边__互__为__反__向__延__长__线____． 其数量关系为___和__为__1_8_0_°__．
4 如图，三条直线交于点O，则∠1＋∠2＋∠3 等于( C ) A．90° B．120° C．180° D．360°
5 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分 ∠AOD，若∠DOE＝36°，则∠BOC的度数 为( A ) A．72° B．90° C．108° D．144°
归纳新知
1 知识小结
(1)求∠BOE 的度数； 解：因为∠AOC＝65°， 所以∠BOD＝∠AOC＝65°. 又因为∠BOE＋∠BOD＋∠DOF＝180°，∠DOF＝50°， 所以∠BOE＝180°－65°－50°＝65°.
(2)通过求∠AOF 的度数，你能发现射线 OA 有什么特殊性吗？ 解：因为∠AOF＝∠BOE＝65°，且∠AOC＝65°， 所以∠AOF＝∠AOC. 所以射线 OA 是∠COF 的平分线．
对顶角：有一个公共顶点一 个角的两边是另一个角的 两边的反向延长线，那么 这两个角互为对顶角.
C
2O
B
1 （ （ ）3
）
4 A
D
对顶角
两条直线相交出现对顶角
1.顶点相同.
2.角的两边互为反向延长线.
B
对顶角是成对出现的
C
2
1O
A
D
对顶角的性质: 对顶角相等. 为什么?
∠1=∠3 （或 ∠2=∠4）
*10. (中考·黔南州) 下面四个图形中，∠1＝∠2 一定成立的是 ( B)
【点拨】本题可以通过度量来判断，也可以直接由 “对顶角相等” 来判断．
11．如图，O 是直线 AB 上一点，OD 平分∠AOC，OE 平分
∠BOC. (1) 图中∠BOD 的邻补角为_∠__A_O_D___，
∠AOE 的邻补角为_∠__B__O_E__． (2)①如果∠COD＝25°，求∠BOE 的度数； 解：因为∠COD＝25°，所以∠AOC＝2×25°＝50°.
6．对顶角是成对出现的，其位置关系为： (1)___有__公__共__的__顶__点_____________________________________ ； (2)___两__个__角__的__两__边__互__为__反__向__延__长__线_______________________ ． 其数量关系为_____相__等_______． 互为对顶角的两个角相等，但相等的两个角不一定是对顶角．
解：说出邻补角与对顶角略．如果其中一个角是 35°，那么其他三个角分别是145°，35°， 145°；如果这个角是90°，那么其他三个角都 是90°；如果这个角是115°，那么其他三个角 分别是65°，115°，65°；如果这个角是m°， 那么其他三个角分别是180°－m°，m°， 180°－m°.
角
个公共顶点③有 一条公共边
互补 成对出现.
两个.
2 易错小结
如图，点O是直线AB上的任意一点，OC，OD，OE是过点O 的三条射线，若∠AOD＝∠COE＝90°，则下列说法：①与 ∠AOC互为邻补角的角只有一个；②与∠AOC互为补角的角 只有一个；③与∠AOC互为邻补角的角有两个；④与∠AOC 互为补角的角有两个．其中正确的是( D )
为180°.
例1 如图所示，直线AB，CD，
EF相交于点O，指出∠AOC， ∠EOB的邻补角．
导引：找一个角的邻补角时，可先固定一边，反向延长另一边， 则由固定的一边和另一边的反向延长线组成的角即是原角 的邻补角．∠AOC的邻补角有两个：固定射线OA，反向 延长射线OC得到∠AOD；固定射线OC，反向延长射线 OA得到∠BOC，它们都是∠AOC的邻补角．同理， ∠EOB的邻补角也有两个，为∠BOF和∠AOE.
7．(2020·南充) 如图，两直线交于点 O，若∠1＋∠2＝76°，则 ∠1＝___3_8____度．
8．(2020·北京) 如图，AB 和 CD 相交于点 O，则下列结论正确
的是( A )
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠1＞∠4＋∠5 D．∠2＜∠5
9．(中考·邵阳) 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，已知 ∠AOD＝160°，则∠BOC 的大小为( D ) A．20° B．60° C．70° D．160°
Baidu Nhomakorabea
新知小结
对顶角和邻补角经常在求角的度数的题目中同 时用到，只要分清楚对顶角、邻补角的性质，就是 对顶角相等、邻补角互补，此类题目容易解答.
巩固新知
1 如图，取两根木条a，b,将它们钉在一起，并把它 们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型.你 能说出其中的一些邻补角与对顶角吗？两根木条 所成的角中，如果∠α=35°，其他三 个角各等于 多少度？如果∠α等于90°，115°，m°呢
2．(中考·河池) 如图，点 O 在直线 AB 上，若∠BOC＝60°，则
∠AOC 的大小是( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3．如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，则∠COF 的邻补角
是( C )
A．∠EOC
B．∠DOF
C．∠EOC 和∠DOF D．∠DOF 和∠AOC
13．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠AOD，OF 平 分∠BOD.
(1)若∠AOC＝50°，求∠DOF，∠DOE 和∠EOF 的度数．
解：由对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝50°. 因为 OF 平分∠BOD， 所以∠DOF＝12∠BOD＝12×50° ＝25°.
因为 OE 平分∠AOD， ∠AOD＝180° －∠AOC＝180° －50° ＝130° ， 所以∠DOE＝12∠AOD＝12×130° ＝65°. 所以∠EOF＝∠DOF＋∠DOE＝25° ＋65° ＝90°.
A
2
D
1O3
4
B
C
∠1和∠2也是直线AB、CD相交得到的，它 们不仅有一个公共顶点O，还有一条公共边OA， 像这样的两个角叫做邻补角 . ∠2与∠3，∠3与∠4，∠1与∠4都是邻补角.
邻补角 1.有一条公共边 2.角的另一边互为反向延长线.
A 2
D
1
3
O4
C
B
邻补角的性质： 邻补角互补，即互为邻补角的两个角之和
(2)当∠AOC 的度数变化时，∠EOF 的度数是否变化？若不变，
求出其值；若变化，说明理由． 解：当∠AOC 的度数变化时，∠EOF 的度数不变． 理由如下：因为 OF 平分∠BOD，所以∠DOF＝12∠BOD. 因为 OE 平分∠AOD，所以∠DOE＝12∠AOD. 所以∠EOF＝∠DOF＋∠DOE＝12∠BOD＋12∠AOD＝ 12(∠BOD＋∠AOD)＝12∠AOB＝90°.
2 如图，小强和小丽一起玩跷跷板，横板AB绕O 上下转动，当小强从A到A′的位置时， ∠AOA′＝45°，则∠BOB′的度数为____4_5_°__， 理由是_____对__顶__角__相__等_____.
3 如图，直线AB，CD交于点O，下列说法中，错 误的是( C ) A．∠AOC与∠BOD是对顶角 B．∠AOE与∠BOE是邻补角 C．∠DOE与∠BOC是对顶角 D．∠AOD与∠BOC都是∠AOC的邻补角
么∠EOF 的度数( )
A．不变，始终都等于 90° B．逐渐变大
C．逐渐变小
D．无法确定
【点拨】因为 OE，OF 分别平分∠AOC 和∠BOC，所以∠EOC
＝12∠AOC，∠COF＝12∠BOC.
因为∠AOC 与∠BOC 是邻补角， 所以∠AOC＋∠BOC＝180°. 所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝12∠AOC＋12∠BOC＝ 12(∠AOC＋∠BOC)＝90°. 故当 OC 的位置发生变化时(不与直线 AB 重合)，∠EOF 的度数 始终不变，都是 90°. 【答案】A
解：直线AB与CD相交于O点 由邻补角的定义，可得 ∠1+∠2=180° ∠2+∠3=180 所以：∠1=∠3 同样的道理 ∠2=∠4
C 2O
B
1 （ （ ）3 ）
4 A
D
例2 如图，∠1与∠2是对顶角的是( C )
导引：判断两个角是不是对顶角，要紧扣对顶角的定义， A图中∠1和∠2的顶点不同；B图中∠1和∠2的两 边都不是互为反向延长线；C图中的∠1和∠2符合 定义；D图中∠1和∠2有一条公共边．
角的 名称
特征
性质 相同点
不同点
对顶
①两条直线相交 面成的角②有一
对顶角 都是两直
对顶角没有公共边而
角 个公共顶点③没 相等 线相交而 邻补角有一条公共边；
有公共边
成的角， 两条直线相交时，一
①两条直线相交
公都共有顶一点个，个有的对顶角有一个，
邻补 面成的角②有一 邻补角 它们都是 而一个角的邻补角有
所以∠BOC＝180°－50°＝130°.
所以∠BOE＝12∠BOC＝65°.
②如果∠COD＝60°，求∠BOE 的度数． 解：因为∠COD＝60°， 所以∠AOC＝120°. 所以∠BOC＝180°－120°＝60°. 所以∠BOE＝12∠BOC＝30°.
12．如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，如果∠AOC＝65°， ∠DOF＝50°.
新知小结
判断两个角是否互为对顶角的方法： 一看它们有没有公共顶点； 二看这两个角的两边是否互为反向延长线，实质就 是看这两个角是否是两条直线相交所成的没有公共 边的两个角．
合作探究
例3 如图，直线a, b相交，∠1 = 40°， 求∠2, ∠3, ∠4的度数.
解：由邻补角的定义，得 ∠2 = 180°-∠1 = 180°-40°=140°； 由对顶角相等，得 ∠3= ∠1=40° ， ∠4= ∠2 = 140°.