整数集

2.2整数集

我们已经知道，两个自然数的和是一个自然数，两个自然数之积是一个自然数，即自然数集关于加法运算与乘法运算是封闭的。但是，对于两个自然数的差与商未必是一个自然数。为使减法与除法能够实施，我们必须对自然数集进行扩充，这一节中，我们仅讨论如何将自然数集扩充为整数集，使得减法运算能够实施。

2.2.1整数的定义

为方便计，我们记扩大的自然数集为Z+。

下面，我们来定义整数集Z。

为此，我们在Z +×Z +={（m，n）| m，n Z+}上定义一个关系R：

（m1 ，n1）R（m2 ，n2）m1+ n2= m2+ n1

我们来证明关系R是一等价关系。

（1）反身性：（m，n）Z+×Z+，因m + n = m + n故（m，n）R（m，n）

（2）对称性：若（m1 ，n1）R（m2 ，n2），即有m1+ n2= m2+n1 ，m2+n1 = m1+n2 ，即（m2 ，n2）R（m1 ，n1）

（3）传递性：若（m1 ，n1）R（m2 ，n2），（m2 ，n2）R（m3 ，n3），由定义有m1+ n2= m2+ n1，m2+n3= m3+n2，两式相加可得m1+n2+m2+n3= m2+n1+m3+n2

由此得m1+ n3= m3+ n1 ，即（m1 ，n1）R（m3 ，n3）

所以，R是Z +×Z+中的一个等价关系。

由于R是Z+×Z+中的一个等价关系，因此可以用R把Z+×Z+分成等价类，从而可以得到商集Z+×Z +/R。我们称此商集为整数集Z，即Z =Z +×Z +/R。

我们记[m，n]={（k，l）Z +×Z +|（k，l）R (m，n)},

于是Z ={[m，n] |(m，n) Z+}。

例如[2,1]={（1，0），（2，1），（3，2），（4，3），…}，[1，3]={（0，2），（1，3），（2，4），（3，5），…}。我们给出下面的图示：

在图2-1中，同一条线上的各点的坐标属于同一等价类，这个等价类表示一个整数。

可以在整数集Z中如下规定序：

[m1 ，n1 ]≤[m2 ，n2 ]m1 + n2 ≤ m2 + n1

易见，（Z ，≤）为全序集。

设[m，n]，[k，l ]Z，那么下面三种情况有且仅有一种情况成立：

[m，n]< [k，l ]，[m，n]= [k，l ]，[m，n] >[k，l ]

对于如上规定的序可见

[m1 ，n]≤[m2 ，n]m1≤m2 ；

[m，n1 ] ≤[m，n2 ] n1 ≥n2。

由此即可见，（Z ，≤）不是良序集。

2.2.2整数的运算

定义2.2.1整数z =[ m+ p，n+ q ]叫做整数z1=[m，n]与整数z2=[p，q]的和，即[m，n]+ [p，q]=[ m+ p，n + q ]。求两个整数和的运算叫做加法。

定义2.2.2整数z =[ mp + nq，mq + np ]叫做整数z1=[m，n]与整数z2=[p，q]的积，即[m，n]• [p，q]= [mp + nq，mq + np]。求两个整数积的运算叫做乘法。

上面定义的运算是对于等价类定义的运算.下面我们证明，上述类运算的结果与代表元的选择无关。

定理2.2.1如果（m′，n′）R（m，n），（p′，q′）R（p，q）

（1）（（m′，n′）+（p′，q′））R（（m，n）+（p，q））

（2）（m′，n′）•（p′，q′）R（m，n）•（p，q）

证明：（1）由已知条件有m′+ n = n′+ m，p′+ q = q′+ p，从而有m+ p′+ n + q = n′+ q′+ m + p，也就是（m′+ p′，n′+ q′）R（m+ p，n+ q）。

按照加法的定义有

（（m′，n′）+（p′，q′））R（（m，n）+（p，q））

现在来证明（2），事实上，因（m′，n′）R（m，n）

m′+ n = n′+ m

上式分别乘以p′与q′得

m′p′+ np′= n′p′+ mp′，m′q′+ nq′= n′q′+ mq′。

将此二等式相另有

m′p′+ np′+ m′q′+ nq′= n′p′+ mp′+ n′q′+ mq′。

于是有

（m′p′+ n′q′，n′p′+ m′q′）R（mp′+ nq′，np′+ mq′），

也就是（m′，n′）（p′，q′）R（m，n）（p′，q′）。

同理，由（p′，q′）R（p，q），可得

（m，n）（p′，q′）R（m，n）（p，q）。

由R的传递性知（m′，n′）（p′，q′）R（m，n）（p，q）。

定理2.2.1表明：整数的加法与乘法的结果是存在且唯一的.

为了定义减法，先来证明下面的定理。

定理2.2.2对于[m，n ]，[p，q] Z ，存在唯一的[x，y] Z , 使[m，n ]+ [x，y]= [p，q]。

证明：因

[m，n ]+ [x，y]= [p，q]

[m+ x，n +y]= [p，q]

m + x+ q= n + y + p

x+（m+ q）= y +（n+ p）

[x，y]= [n+ p，m+ q] Z。

此即证明了[x，y]的存在性，下面来证唯一性。

设[k，l ] Z也满足

[m，n ]+ [k，l ]= [p，q]。

如同上面的证明一样，有

此即表明，唯一性得证。

定义 2.2.3整数叫做整数与整数的差，记作-＝

。求两个整数差的运算叫做减法。

显然，减法运算在整数集Z中是封闭的。

由整数的加法的定义，我们容易证明如下的算律和性质：

（1）加法交换律：+＝+

事实上+＝

＝＝+

（2）加法结合律：

（3）对整数加法来说，Z有零元存在。

事实上，任意的整数，有整数使得

+=＝。

所以由相同自然数组成的数对就是Z中的零元

（4）对整数加法来说，Z中的每个元素都有负元素存在。

因为+＝＝0，所以是的负元素，或称为相反数，记作＝-。

与互为相反数。

（5）在整数加减运算中，减去一个整数等于加上这个整数的相反数。

事实上，-＝＝+

＝+。

进一步地，由＝-，我们有