考研高数总复习高阶导数(讲义)
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k 0 k n n ( n k )
v
(k )
莱布尼兹公式
例6
设 y x e , 求y
2 2x
( 20 )
.
解 设u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y ( 20 ) (e 2 x )( 20 ) x 2 20(e 2 x )(19 ) ( x 2 ) 20( 20 1) 2 x (18 ) (e ) ( x 2 ) 0 2! 20 2 x 2 19 2 x 2 e x 20 2 e 2 x 20 19 18 2 x 2 e 2 2! 220 e 2 x ( x 2 20 x 95)
2x f ( 0) (1 x 2 ) 2
x0
2( 3 x 2 1) 0; f (0) (1 x 2 ) 3
x0
Biblioteka Baidu 2.
例2
设 y x ( R), 求y ( n) .
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
(4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(e x ) ( n ) e x
(5) (ln x )
(n)
( 1)
n 1
( n 1)! xn
1 (n) n n! ( ) ( 1) n 1 x x
1 (5) , 求y . 2 x 1 1 1 1 1 解y 2 ( ) x 1 2 x 1 x 1
2.4 高阶导 数
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) f ( t )
加速度a是速度v对时间t的变化率
a( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
函数 f ( x )的 n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0).
解
y
1 1 x2
y (
1 2x ) 2 1 x (1 x 2 ) 2
2 2x 2 ( 3 x 1) y ( ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )( n ) a x ln n a (a 0) ( n) n ( 2) (sin kx ) k sin(kx n ) 2 ( n) n ( 3) (cos kx ) k cos(kx n ) 2
例3 设 y ln(1 x ), 求y ( n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2
2! y (1 x ) 3 y
(4)
3! (1 x ) 4
y
(n)
( 1)
n 1
( n 1)! (1 x ) n
( n 1, 0! 1)
例7 设 y
y
(5)
1 5! 5! [ ] 6 6 2 ( x 1) ( x 1) 1 1 60[ ] 6 6 ( x 1) ( x 1)
例8 设 y sin6 x cos6 x, 求y ( n ) .
2 3 2 3 解 y (sin x ) (cos x )
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y , 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ( x ), y , 2 或 2 dx dx
一般地, 函数 f ( x )的 n 1阶导数的导数称为
(sin x cos x )(sin x sin x cos x cos x )
2 2 4 2 2 4
(sin2 x cos2 x )2 3 sin2 x cos2 x
3 2 3 1 cos 4 x 1 sin 2 x 1 4 4 2 5 3 cos 4 x 8 8 3 n ( n) y 4 cos(4 x n ). 8 2
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu)( n) Cu( n)
( 3) ( u v )
(n)
u v nu
(n)
( n 1 )
n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k! C u
1 (100) 练习：设函数y 2 ，求y x 1
练习：设函数y ln(1 2x 3x )，求y
2 ( n)
作业：第106页 1; 3; 4; 6
例4
设 y sin x, 求y ( n) . 解 y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) y sin( x n ) 2 (n) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2
解 y x 1
y ( n) ( 1)( n 1) x n (n 1)
若 为自然数n, 则
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
v
(k )
莱布尼兹公式
例6
设 y x e , 求y
2 2x
( 20 )
.
解 设u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y ( 20 ) (e 2 x )( 20 ) x 2 20(e 2 x )(19 ) ( x 2 ) 20( 20 1) 2 x (18 ) (e ) ( x 2 ) 0 2! 20 2 x 2 19 2 x 2 e x 20 2 e 2 x 20 19 18 2 x 2 e 2 2! 220 e 2 x ( x 2 20 x 95)
2x f ( 0) (1 x 2 ) 2
x0
2( 3 x 2 1) 0; f (0) (1 x 2 ) 3
x0
Biblioteka Baidu 2.
例2
设 y x ( R), 求y ( n) .
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
(4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(e x ) ( n ) e x
(5) (ln x )
(n)
( 1)
n 1
( n 1)! xn
1 (n) n n! ( ) ( 1) n 1 x x
1 (5) , 求y . 2 x 1 1 1 1 1 解y 2 ( ) x 1 2 x 1 x 1
2.4 高阶导 数
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) f ( t )
加速度a是速度v对时间t的变化率
a( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
函数 f ( x )的 n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0).
解
y
1 1 x2
y (
1 2x ) 2 1 x (1 x 2 ) 2
2 2x 2 ( 3 x 1) y ( ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )( n ) a x ln n a (a 0) ( n) n ( 2) (sin kx ) k sin(kx n ) 2 ( n) n ( 3) (cos kx ) k cos(kx n ) 2
例3 设 y ln(1 x ), 求y ( n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2
2! y (1 x ) 3 y
(4)
3! (1 x ) 4
y
(n)
( 1)
n 1
( n 1)! (1 x ) n
( n 1, 0! 1)
例7 设 y
y
(5)
1 5! 5! [ ] 6 6 2 ( x 1) ( x 1) 1 1 60[ ] 6 6 ( x 1) ( x 1)
例8 设 y sin6 x cos6 x, 求y ( n ) .
2 3 2 3 解 y (sin x ) (cos x )
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y , 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ( x ), y , 2 或 2 dx dx
一般地, 函数 f ( x )的 n 1阶导数的导数称为
(sin x cos x )(sin x sin x cos x cos x )
2 2 4 2 2 4
(sin2 x cos2 x )2 3 sin2 x cos2 x
3 2 3 1 cos 4 x 1 sin 2 x 1 4 4 2 5 3 cos 4 x 8 8 3 n ( n) y 4 cos(4 x n ). 8 2
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu)( n) Cu( n)
( 3) ( u v )
(n)
u v nu
(n)
( n 1 )
n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k! C u
1 (100) 练习：设函数y 2 ，求y x 1
练习：设函数y ln(1 2x 3x )，求y
2 ( n)
作业：第106页 1; 3; 4; 6
例4
设 y sin x, 求y ( n) . 解 y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) y sin( x n ) 2 (n) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2
解 y x 1
y ( n) ( 1)( n 1) x n (n 1)
若 为自然数n, 则
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)