结构化学习题答案

满足线性算符的要求，是线性算符。
i
d dx
, 1
exp[ix],
* 1
exp[ix]
* 1
1d
exp
ix(i
d) dx
exp[ix]dx
eix (i d )eixdx dx
eixi eix idx
x
*
1(1) d
exp[
ix]{(i
d dx
)
exp[
ix]}*
dx
exp[ix]{(i
d dx
此能级差对应于吸收光谱的最大波长，应用一维势箱 粒子的能级表达式即可求出该波长
)
exp[ix]}dx
eix[(i d )eix ]dx dx
eix (i) eix (i)dx
x
exp
ix(i
d dx
)
exp[ix]dx
exp[
ix]{(i
d dx
)
exp[
ix]}*
dx
d2 dx2
, 1
exp[
ix],
* 1
exp[ ix]
* 1
1d
exp
ix(
d2 dx2
)
exp[
解：根据de Broglie关系式：
(a)
h mv
6.626 10 10 k
10 34 J g 0.01m
s
s
1
6.626 10 22 m
(b) h h
p 2mT
6.6261034 J s
2 1.6751027 kg 0.1eV 1.6021019 J (eV )1
9.0431011 m
E hc (2n 1) h2
8ml 2
1
l
(2n 1)h
8mc
2
1
(2 4 1) 6.6261034 J s 460109 m 2
8 9.1091031kg 2.998108 m s1
1120pm
计算结果与按分子构型参数估算所得 结果吻合
1.17 设粒子处在0-a范围内的一维无限深势阱中运动，其状态可用波函数
x
exp
ix(i
d dx
)
exp[ix]dx
exp[
ix]{(i
d dx
)
exp[
ix]}*
dx
1.12 下列函数中，哪几个是算符
d2 dx2
的本征函数？若是，求出本征值
ex ,sin x,2 cos x, x3,sin x cos x
解：d 2 dx2
ex
1 ex , ex是
d2 dx2
的本征函数，本征值为
(x) 4 sin x cos2 x
aa
a
表示，试估算 （1）该粒子能量的可能测量值及相应的概率； （2）能量平均值
解（1）利用三角函数的性质，直接将ψ(x)展开
(x) 4 sin x cos2 x 2 sin x (1 cos 2x )
aa
a aa
a
2 (sin x 1 sin 3x 1 sin x)
第一章 习题
1.1 将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长 λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红
光的频率、波数以及以kJ/mol为单位的能量。
解 c 2.998 108 m s1 4.469 1014 s1
670 .8nm
a a2 a 2 a
1 2 sin x 1
2a a 2
1 2
1
1 2
3
2 sin 3x
aa
只有2种可能的能量值：E1=h2/(8ma2),概率P1=c12=1/2 E3= 9h2/(8ma2),概率P3=c32=1/2
(2) 能量平均值为：
c12 E1
c32 E3
5h2 8ma 2
1.19 若在下一离子中运动的π电子可用一维 势箱近似表示其运动特征：
(c) h h
p 2meV
6.6261034 J s
2 9.1091031kg 1.6021019 C 300V
7.081011m
1.10 请指出下列算符中的线性算符 和线性自轭算符
x, d , d 2 , log, sin, dx dx2
,i d dx
解：由线性算符和线性自轭算符的定义可知：
d d2 x, dx , dx2
为线性算符，i
d dx
,
d2 dx2
为线性自轭算符
f (x), g(x), x( f g) xf xg
பைடு நூலகம்
f (x), g(x), d ( f g) df dg
dx
dx dx
f (x), g(x),
d2 dx 2
(f
g)
d2 f dx 2
d2g dx 2
1
1 670.8 107
cm
1.491104
cm1
E hN A 6.6261034 J s 4.4691014 s1 6.0231023 mol1
178.4kJ mol1
1.4 计算下述粒子的德布罗意波的波长： （a）质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s-1的尘埃 （b）动能为0.1ev的中子 （c）动能为300ev的自由电子
是 d2 的本征函数，本征值为 dx2
1
1.17链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长 波460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模
型估算其长度
解：该分子共有4对π电子，形成离域π键，当分子 处于基态时，8个π电子占据能级最低的前4个分 子轨道，当分子受到激发时，π电子由能级最高 的被占轨道（n=4)跃迁到能级最低的空轨道 （n=5),激发所需要的最低能量为△E=E5-E4,而与 此能量对应的吸收峰既长波460nm处的第一个强 吸收峰，按一维势箱粒子模型，可得
• 估计这一势箱的长度l=1.3nm，根据能级 公式En=n2h2/8ml2，估算π电子跃迁时所 吸收的光的波长，并与实验值510.0nm比 较
解：该离子共有10个π电子，当离子处于基态时，这些 电子填充在能级最低的前5个π型分子轨道上。离子受 到光的照射，π电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁 所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的能级差。
1
d2 dx2
sin
x
1
s
in
x,
sin
x是
d2 dx2
的本征函数，本征值为
1；
d2 dx2
2
cos
x
2
cos
x,2
cos
x是
d2 dx2
的本征函数，本征值为
1
d2 dx2
x3
6x
cx3, x3不是
d2 dx2
的本征函数
ddx22（sinx cos x) (sin x cos x), sin x cos x
ix]dx
eix d (eix i)dx dx
eix i (eix i)dx
x
*
1(1) d
exp[
ix]{(
d2 dx2
)
exp[
ix]}*
dx
exp[
ix]{(
d2 dx2
)
exp[
ix]}dx
eix{ d [eix (i)]}dx dx
eix (i) eix (i)dx
eix (i) [eix (i)]dx