统计描述和推论1

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练习与思考题P71-72：
•作业：2、5、6、7、8、11 •其它：练习
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单元总结：
•1. 心理与教育统计学研究的主要内容有哪些？ •2. 为什么要学习心理与教育统计学？ •3.次数分布表的制作分为哪几步？ •4. 解释下列概念：随机变量 样本 统计量 参数 随机现象
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均数 方差 标准差 偏度系数 峰度系数
2 1＝0 2＝0
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•正态分布曲线表的编制与使用： 正态曲线下各对应的横坐标处与平均数之间的面积即个体 概率及密度函数值（Y值）可根据Z值 的变化用积分公式加 以计算（如下式），公式中的为X轴上无限小的区间。由于 不同的编制者，有的从Z为无限小开始计算，有的Z=0开始 计算，所制作的正态分布曲线表也就不同。
•正态分布
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•描述统计与推论统计的关系： 前面介绍的统计方法是对研究所获资料进行一般性描述， 但科学研究的任务更重要的是根据所获资料去推论由其所代表 的总体的一般性情况。由于研究中所获数据多为随机数据或随 机变量，因此，根据随机变量去推论由它们所构成的总体，就 要依赖描述随机变量规律性变化的理论即概率论为基础。 •概率的含义：
•表达式：
P X C p q
X n X
n X
n! p X qn X X ! n X !
X 0,1, 2,, n
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•二项分布表达式的由来： •以抛硬币为例：抛3次硬币，出现的可能结果分布如 下（p代表正面，q代表反面）： ppp, ppq, pqq, qqq, qqp, qpp, pqp, qpq 出现的结果可分成四类，即：p3、3 p2 p1 、 3p1 p2 、 p3 ，它们恰好是根据二项式定理对（p+q）3进行推 导的展开式，若进行N次观察，则出现的各种可能结 果就可用二项式定理（p+q）n的展开式加以对应描述， 二项展开式的各项系数也可用杨辉三角直接求出。 二项分布图的性质： 当P=Q时，不管N多大，呈对称分布；当N 很大时，接 近正态分布； 当P不等于Q且N较小时，图形呈偏态：偏的方向取决于 大师教育 P与Q相比睡大睡小 www.dashikaoyan.com
•正态分布：连续性随机变量的概率分布
•正态分布的函数
10
NFra Baidu bibliotekY e 2
2 2
Frequency
X
2
8
6
4
2
0 154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173
height(cm)
•或写成标准正态分布的形式：
9. 什么是四分位距？如何计算？
10. 什么是百分位距？百分等级？两者之间是什么关系？ 11. 当一组数据呈正态分布时，全距、平均差、四分位距与标 准差之间具有怎样的关系？ 12. 差异量的作用是什么？
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Chapter Five Probability and Distribution •概率的含义 •二项分布
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•概率分布：指用数学方法（函数）对随机变量取值的分布情况 加以描述。 •概率分布的类型： •离散分布与连续分布 •离散分布：随机变量取孤立的值时的概率分布，如二项 分布；
•连续分布：连续随机变量的概率分布；如正态分布
•经验分布与理论分布： •经验分布：根据观察或实验所获得的饿数据而编制的次 数分布或相对频率分布； •理论分布：一指随机变量概率分布的函数—数学模型； 二指按某种数学模型计算出的总体次数分布；
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8
Frequency
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•正态分布曲线的性质： •以过平均数的点为轴，两侧对称，均数、中数、众数三 者相等，此点Y至最大，左右相当的饿间距面积相等； •中央点最高向两侧下降，先里后外，拐点位于正负一个 标准差处，曲线两端无限延伸，但最终不与基线相交； •正态曲线下的面积为，以平均数为界，左右各占0.5， 每一横坐标的值是其所对应面积与总面积的比值，是其 所代表的随机变量的出现概率； •正态分布的形态取决于平均数和标准差； •正态部分中各差异量的值 都有固定的比率（见P155）； •正态分布中的标准差与概率之间具有一定的数量关系： 即正负一个标准差包含68.26%的面积；正负一个标准差 包含95%的面积；正负一个标准差包含99%的面积。 •依标准分数性质，标准正态分布均数为0， 标准差为1
•若已知正态曲线下中央部分的概率，Z分数
•求概率密度Y
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•正态分布理论在测验上的应用： •化等级评定为测量数据； •在能力评定或等级分组时确定人数；
•确定录取线；
•确定测验题目的难易程度：化百分数为Z分数 •化原始分数为标准分数（Z或T） •练习与作业（P96-98）
•5. 什么是集中量？包含哪些计算指标？
•6. 当一组数据呈正态分布时，中枢、均数与众数之间具有怎 样的关系？ •7. 请分别写出下列统计量的基本计算公式：均数 加权平均数 •8.请分别写出下列统计量的基本计算公式：平均差 标准差 标准分数 偏态量 峰态量
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•基本随机变量分布与抽样分布： •基本随机变量分布：理论分布中描述构成总体的基本变 量的分布； •抽样分布：样本统计量的理论分布；样本统计量如平均 数、两平均数之差、方差、标准差、相关系数、回归系 数、百分比率等等是基本随机变量的函数，即统计量是 由基本随机变量计算而来的，故抽样分布又称为基本随 机变量函数的分布。
Starting Salary
200
100
Frequency
Std. Dev = 6967.98 Mean = 26064.2 0 N = 1100.00
0 0. 50 62 0.0 50 57 .0 0 50 52 0.0 50 47 0.0 50 42 0.0 50 37 .0 0 50 32 0.0 50 27 0.0 50 22 .0 0 50 17 0.0 50 12 0 . 00 75
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•二项分布：
•二项分布试验：指满足下列条件的试验： •一次试验只有两种可能结果，即成功或失败；
•各次试验相互独立，即各次试验之间互不影响；
•各次试验中成功的概率或失败的概率相等 •二项分布函数： •含义：描述在N次试验中成功事件出现不同次数的概率 分布。
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3名教师对50位学生的等级总评定
等级 甲 乙 丙 5 20 20 0.10 0.40 0.40
评分教师 10 15 15 0.20 0.30 0.30 15 20 10 0.30 0.40 0.20
丁
总计
5
0.10
10
0.20
5
0.10
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•后验概率：在对随机现象进行N次观察时，组成该随机现 象的随机事件之一随机事件A出现的次数为M次，随着观测 次数的不断增加，随机事件A发生的可能性逐渐稳定在M/N 附近，该值就被用来描述随机事件A在该随机现象中有规律 地出现的可能性大小，即随机事件A发生的概率，表示为：
m P A n 大师教育 www.dashikaoyan.com
N Y e 2
Z2 2
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20
Frequency
15
10
5
0 153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173
longth(cm)
10
8
Frequency
6
4
2
0 154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173
X
N i 1
i
X

4
N S x4
-3或1
f X
k i 1
i
X

4
N S x4
3
P75 P25 ku 2 P90 P 10
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Y
O
X
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Y
O
X
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height(cm)
•当样本均数等于总体均数时，可写成：
1 0 Y e 2
•当标准差为1时，
1 1 0 Y e 0.3989 2 2
即Y的最大值为0.3989
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曲线为频数（频 率）曲线，略呈钟型， 两头低，中间高，左 右对称，近似数学上 的正态曲线（normal curve），故称这种分 布为正态分布 （normal distribution）。
•举例：凭猜测回答2道是非题，答对1题的可能性有多大？ 至少答对1题的可能性有多大？全猜对的可能性多大？ ×× ×√ √√ 1/4 1/4 1/4
√×
1/4
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•乘法定理： •两个独立事件同时发生的概率等于这两个事件各自出现 概率的乘积。 •独立事件指一个事件的出现对另一个事件的出现不发生 影响。 •公式表示为：
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Y
X O
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Y
X O
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•峰态量(kurt)：Ku以0.263为判断值，小于为高狭峰，大于为低 阔峰； u以0为判断标准，大于0为高狭峰，小于0为低阔峰。
1
P X a
1 e 2
a
X 2
2 2
dx
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•正态分布曲线表的使用： •依据Z分数求概率P； •某分数与平均数之间的概率；如Z72=0.8
•求Z分数以上或以下的概率；
•求两个分数之间的概率； •从概率P求Z分数； •已知从平均数开始的概率值，求Z值； •求两端的概率值；
二项分布图的平均数与标准差：当其接近正态分布时： •平均数：
np
•标准差：
npq
•二项分布的应用： •用来判断成功事件出现的概率；
•判断试验结果的机遇性与真实性的界限。如回答10 道四择一的选择题，如何判断学生的回答是真实的 而非猜测？ •练习与作业P96-97：1--5 大师教育 www.dashikaoyan.com
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•公式表示为：
P A B P A PB
•可推广为：
P A1 A2 An P A1 P A2 P An
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P AB P A PB
P A1 A2An P A1 P A2 P An
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•举例：甲射手击中目标的概率为0.9，乙射手击中目标 的概率为0.8，问甲乙两人同时击中目标的概率为多少？ 击中目标的概率为多少？
•先验概率或古典概率：指对满足下列条件的随机事件发生 可能性的描述，如掷色子或抛硬币： •试验的每一种可能结果（称为基本事件）是有限的； •每一个基本事件出现的可能性相等； •概率的性质： •公理性质：
•任何一个随机事件都是非负的；
•必然事件的概率为1； •不可能事件的概率为0； •加法定理： •两个互不相容的事件之和的概率为两个事件概率之和。