北师大版初中九年级下册数学课件垂径定理PPT模板 (2)
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九年级数学北师大版(江西)下册课件：3.3 垂径定理.pptx (共23张PPT)
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 2:29:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
北师大版九年级下册垂径定理课件(共25张)
O
C AEB D
变式2:求如证图:,AA⌒CB=、B⌒CDD. 是⊙O的弦,且AB∥CD.
O
F
A
E
B
C
D
G
自学指点2:(4+2分钟)
(一)如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分 AB的直径CD,交AB于点M. 1.你能发现图中有哪些相等的量?并说明理由.
AB⊥CD
⌒⌒
AC=BC
C
A
M
B
⌒⌒
垂直于弦的 直径 平分这条 弦 ,并且平分 弦所对的 弧 .
几何语言:
∵∵在在⊙⊙OO中中,,C直D径是C直D径⊥,弦CDA⊥B 弦AB
C
∴ A⌒M=B⌒M
AC=BC
A
M
B
⌒⌒
O
AD=BD
D
应用: 方法:环绕已知弦构造直角三角形.
1.(202X•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点
C,AB=4,OC=1,则OB的长是
.
C
A
M
B
O
D
2.如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,
已知CD=20,CM=4,则AB的长为
.
解:连接OA ∵ CD=20 ∴ AO=CO=10
∴ OM=OC–CM =10–4=6
在⊙O中,直径CD⊥弦AB
∴ AB=2AM
在Rt△OMA中,AO=10,OM=6
根据勾股定理，
AM AO2 OM 2 102 62 8
E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径
是
.
4.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的
弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长
C AEB D
变式2:求如证图:,AA⌒CB=、B⌒CDD. 是⊙O的弦,且AB∥CD.
O
F
A
E
B
C
D
G
自学指点2:(4+2分钟)
(一)如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分 AB的直径CD,交AB于点M. 1.你能发现图中有哪些相等的量?并说明理由.
AB⊥CD
⌒⌒
AC=BC
C
A
M
B
⌒⌒
垂直于弦的 直径 平分这条 弦 ,并且平分 弦所对的 弧 .
几何语言:
∵∵在在⊙⊙OO中中,,C直D径是C直D径⊥,弦CDA⊥B 弦AB
C
∴ A⌒M=B⌒M
AC=BC
A
M
B
⌒⌒
O
AD=BD
D
应用: 方法:环绕已知弦构造直角三角形.
1.(202X•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点
C,AB=4,OC=1,则OB的长是
.
C
A
M
B
O
D
2.如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,
已知CD=20,CM=4,则AB的长为
.
解:连接OA ∵ CD=20 ∴ AO=CO=10
∴ OM=OC–CM =10–4=6
在⊙O中,直径CD⊥弦AB
∴ AB=2AM
在Rt△OMA中,AO=10,OM=6
根据勾股定理，
AM AO2 OM 2 102 62 8
E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径
是
.
4.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的
弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长
北师大版九年级下册数学《垂径定理》圆PPT课件
则DC的长为（ D）
A．5cm B．2.5cm C．2cm D．1cm
O
D
A
B
C
3.9 弧长及扇形的面积
复习旧知
1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
C=2πR
S=π
2.什么叫圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角
情境导入
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. （1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
20πcm
A
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
cm
新知讲解
（3）转动轮转n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米? A
归纳总结
O n°
2πR
πR
1°的圆心角所对的弧长是_3_6__0___,即_1_8__0__．
弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l=
nπR 180
新知讲解
注意：(1)用弧长公式l= 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆 心角的倍数，它是不带单位的. (2)区分弧、弧的度数、弧长三个概念．度数相等的弧，弧长不一定相等， 弧长相等的弧也不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
①CD是直径 ②CD⊥AB
可推得
③AM=BM, ④AC=BC, ⑤AD=BD,
新知探究
理 由： 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
新知探究
2 . 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过 点M.并且AM=BM.
27.3(2)-垂径定理及其推论PPT课件
④
⌒⌒
AM= MB
⌒⌒
AN= NB
8
推论3:
如果一条直线是弦的垂直平分线， 那么这条直线经过圆心,并且平分这条 弦所对的弧。
2021/7/23
9
M
垂径定理推论4
O
A
③ AC=BC ④ A⌒N= N⌒B
2021/7/23
C B
N
①直线MN过圆心O
② MN⊥AB
10
推论4: 如果一条直线平分弦和弦所对的一
5
M
垂径定理推论2
O
C A
N
1.直线MN过圆心
4.
⌒⌒
AN= NB
2021/7/23
B
③②MAA⌒CNM=⊥=BM⌒ACBB
6
推论2 如果圆的直径平分弦所对的一条弧
那么这条直径垂直平分这条弦。
2021/7/23
7
M
垂径定理推论3
O
A
② MN⊥AB ③ AC=BC
2021/7/23
C B
N
①直线MN过圆心O
14
填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。
A
C
M
M D
C B
AB被点D平分.
N
2021/7/23
17
条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂 直于这条弦。
2021/7/23
北师大版九年级下册第三章垂径定理课件
O.
求证：EC＝DF
A EC
DF
例：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
C
E
A
G B
O
F
D
船能过拱桥吗
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
挑战自我 做一做
4.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD 于E， ∠ CEB=45°，DE=6㎝，CE=2 ㎝，求弦AB的长。
A
F
D
OEC
B
5、已知⊙O的半径为5，弦AB=8，
点P为弦AB上的一动点， 则OP的
取值范围是
。
6、已知⊙O的半径为6，OP=4，过
点P作⊙O的弦中，最长为
，
最短为
。
7、已知⊙O的半径为5，弦 AB∥CD， AB=6，CD=8，则 AB和CD之间的距离为 。
劣弧中点的距离为
。
3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、HG=6
A
H
G
D
EF=10,
N
AH=4， B E M ·
F
C
0
求BE的长.
解：过O作OM⊥BC于M，交AD于N， ∵矩形ABCD ， ∴AD∥BC， ∴ OM⊥ AD ∴ EM=1/2EF=5，HN=1/2HG=3 ∴AN=AH+HN=4+3=7， ∴ BM=7 ∴BE= BM- EM =7-5=2
。
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册
弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册
*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
数学【北师大版】九年级下册：3.3-垂径定理ppt教学课件
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
Байду номын сангаас翼 课件
学练优九年级数学下（BS） 教学课件
第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
数 学 精 品 课 件
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第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
北师大版数学九年级下册课件 垂径定理 (共15张PPT)
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中:
⌒=BC ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC ,
⑤
⌒ ⌒ AD=BD.
C
A
M└
●
B O
只要具备其中两个条件,就 可推出其余三个结论.
D
C
垂径定理及逆定理
条件
①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤
A
M└
●
B O
结论
命题
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
●
O
用旋转的方法即可解决这个 问题.
引入新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什 么? （2）你能发现图中有哪些等量关系?说一 说你的理由.
C
A
M└
●
B O
小明发现图中有: 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
例题解析
课内练习
• 1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. （ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
垂径定理ppt课件
连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
返回目录
5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
3.3 垂径定理 课件(共25张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册.ppt
课堂训练
3.（2023永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面 ，⊙O的半径为10cm,水的最深处到水面AB的距离为4cm,
则水面AB的宽度为16 cm.
课堂训练
4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在
第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，
0），⊙P的半径为 13 ，则点P的坐标为__(_3_,2_)___.
d2
a 2
2
O
课堂小结
垂径定理
内容 推论
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦 所对的弧. 知二推三： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧
辅助线
两条辅助线：连半径，作弦心距 构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程
课堂训练
1．下列说法正确的是( D ) A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心
课堂训练
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M， 下列结论不成立的是( D )
A．CM＝DM C．∠ACD＝∠ADC
B. C⌒B＝D⌒B D．OM＝MB
此图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线.
新知探究
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说 你的理由.
AM=BM，A⌒C=B⌒C，A⌒D=⌒BD.
理由：将图形沿CD折叠后这些量可以完全重合.
新知探究
试一试：能不能用所学过的知识证明你的结论？ 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并
新知探究
试一试： 根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵 州桥主桥拱半径的问题吗?
北师大版九年级数学下3.3垂径定理课件(共14张PPT)
1.判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × )
圆上任意两点间的部分叫圆叫做直径.
2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？是中心对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相 等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相 等吗？如果弦相等呢？
1.垂直于弦的直径与这条弦及这条弦所对的两条
.O
E
B
D
叠
合 法
3.结论提炼：
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧。
推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径
∴AM=BM，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C.
4.弧如(右即图图所中示⌒C，D ，一点条O公是路C⌒的D 的转圆弯处心是) ，一其段圆中 CD=600m，E为C⌒D上一点，且OE⊥CD，垂足 为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3 垂径定理
学习目标: 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其 逆定理，并能合理利用垂径定理及其逆 定理解决实际问题. 学习重点：利用圆的轴对称性研究垂径 定理及其逆定理. 学习难点：垂径定理及其逆定理的证明， 以及应用时如何添加辅助线.
1.什么是弦？什么是弧？什么是直径？
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
垂径定理 (共17张ppt)九年级下学期数学北师大版
10 O
16
A
C
B
例2、如图，一条公路的转弯处是一段弧(即图中CD，点O是CD 所在圆的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足 为F，EF=90m，求这段弯路的半径。
解：连接 OC .
设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m .
∵ OE⊥CD
∴ CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
在Rt△OCF 中 ， OC2 = CF2 + OF2
即 R2 = 3002 +（R – 90）2.
解得 R = 545.
答，这段弯路的半径为 545 m.
CE FD
O
练一练
3.已知⊙0的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则
圆心到弦AB的距离为( D )
A. 8cm B. 5cm C. 9cm D. 12cm
求证：AB⊥CD， AC= BC，AD= BD。
证明：连接OA、OB， 则OA=OB
D
∵CD平分AB, ∴AM=BM， 在△OAM和△OBM中
OA=OB， AM=BM，
O
AM B C
OM=OM
∴AB⊥CD，
∴△OAM≌△OBM
∴AC= BC
∴∠AMO=∠BMO =90°
AD= BD
新知归纳
垂径定理的逆定理：
证明：连接OA、OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中 ∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM， ∠AOC=∠BOC
└
D
O
AM B C
∴AC= BC ∵∠AOD=180°-∠AOC ∴∠AOD=∠BOD
北师大版九年级数学下册课件：3.3 垂径定理(共15张PPT)
2/3/
O B P
A
5.船能过拱桥吗
• 3 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2 米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶 部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里, 此货船能顺利通过这座拱桥吗？
• 相信自己能独 立完成解答.
2/3/2016
船能过拱桥吗
• 解:如图,用 AB 表示桥拱, 所在圆的圆心为 O,半径为Rm, AB 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 AB 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. AB 由题设得 1
⑵
2/3/2016
a 2 r d ( ) 2
2 2
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 1 1 2 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.92 1.52 3.6. 2/3/2016 DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
M A B C A A O E C D D B
. O
.
.O
B N
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结 半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
A C
E D
B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
A
O B P
A
5.船能过拱桥吗
• 3 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2 米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶 部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里, 此货船能顺利通过这座拱桥吗？
• 相信自己能独 立完成解答.
2/3/2016
船能过拱桥吗
• 解:如图,用 AB 表示桥拱, 所在圆的圆心为 O,半径为Rm, AB 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 AB 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. AB 由题设得 1
⑵
2/3/2016
a 2 r d ( ) 2
2 2
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 1 1 2 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.92 1.52 3.6. 2/3/2016 DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
M A B C A A O E C D D B
. O
.
.O
B N
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结 半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
A C
E D
B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
A
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D
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
知识应用
• 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
B
D
C
O
A
知识应用
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是 CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，
且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。
垂径定理
北师大版初中九年级下册数学课件
汇报人：XXX
目录
复习巩固
01.
课堂讨论
03.
新课导入
02.
延伸拓展
04.
复习巩固
问题情境
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古 代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说 一说你理由．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
C
（2） 线段： AE=BE
O
弧： AC BC, AD BD
通过上面的问题我们就能得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． A
·
E B
D
活动三 验证
C E
F
O
D
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
∵OE⊥CD
CF 1 CD 1 600 300
2
2
根据勾股定理，得
OC²=CF²+OF² 即 R²=300²+(R-90)². 解这O
D
所以，这段弯路的半径为545m.
活动五 应用练习 AB
垂径定理
北师大版初中九年级下册数学课件
汇报人：XXX
已知：直径CD，弦AB且CD⊥AB垂足为M，
求证：AM=BM， AC BC，AD BD
分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等． 因此，只要连结OA、OB 。
证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB。
在Rt△OAM和Rt△OBM中
OA OB
OM OM
∴Rt△OAM≌Rt△OBM
（5）平分弦所对的劣弧
几何语言表达
垂径定理：
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
Ｃ
Ｏ
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｄ
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=BC⌒, ⑤A⌒D=BD⌒.
课堂检测
练习
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
D
O
A
E
B
C
A
O
E
C
D
B
B
E
A
O
C
AE
B
D
A
CE
O
B
D
O
A
E
B
C
活 动 四 验证垂径定理的逆定理
实验发现
沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你有发现了什么？ 由此你能得到什么结论？
结论：
圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，
又是一个中心对称图形,其对称轴是任意一条
过圆心的直径．
A
C
·O
E B
D
新课导入
活动二 探索发现
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，
OP=3，则⊙O的半径为
.
3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽
AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是
.
第1题
第2题
第3题
延伸拓展
小结:
A
.
O
C
B
O.
A
E AC
D
B
M
D B
.O
N
解决弦时常用的辅助线：
过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，根据垂径定理、勾 股定理可解决：弦长、半径、弦心距、弓形高。
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交 AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
由 ① CD是直径
A
●
B
M
② AM=BM
●O
可推得
③CD⊥AB, ④ ⑤AA⌒⌒CD==BB⌒⌒CD,.
平分弦（不是直径）的直径
.
∴AM=BM ∠AOD=∠BOD.
AD BD
∵∠AOD=180°-∠AOC, ∠BOD=180°-∠BOC
∴AOD=∠BOD°. AC BC
C
O·
M
A
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
结论
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
1、如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经 过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根 据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．
解：在图中
AD
A1 ABB =1 337.47.184.7,，CD=7.2，
22
C
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
A
D
B
R
O
活动六 达标测试
1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BCDB.则下列结
论错误的是（ ）
A、AD BDB、AF=BF C、OF=CF D 、 ∠DBC=90°
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
知识应用
• 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
B
D
C
O
A
知识应用
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是 CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，
且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。
垂径定理
北师大版初中九年级下册数学课件
汇报人：XXX
目录
复习巩固
01.
课堂讨论
03.
新课导入
02.
延伸拓展
04.
复习巩固
问题情境
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古 代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说 一说你理由．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
C
（2） 线段： AE=BE
O
弧： AC BC, AD BD
通过上面的问题我们就能得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． A
·
E B
D
活动三 验证
C E
F
O
D
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
∵OE⊥CD
CF 1 CD 1 600 300
2
2
根据勾股定理，得
OC²=CF²+OF² 即 R²=300²+(R-90)². 解这O
D
所以，这段弯路的半径为545m.
活动五 应用练习 AB
垂径定理
北师大版初中九年级下册数学课件
汇报人：XXX
已知：直径CD，弦AB且CD⊥AB垂足为M，
求证：AM=BM， AC BC，AD BD
分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等． 因此，只要连结OA、OB 。
证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB。
在Rt△OAM和Rt△OBM中
OA OB
OM OM
∴Rt△OAM≌Rt△OBM
（5）平分弦所对的劣弧
几何语言表达
垂径定理：
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
Ｃ
Ｏ
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｄ
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=BC⌒, ⑤A⌒D=BD⌒.
课堂检测
练习
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
D
O
A
E
B
C
A
O
E
C
D
B
B
E
A
O
C
AE
B
D
A
CE
O
B
D
O
A
E
B
C
活 动 四 验证垂径定理的逆定理
实验发现
沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你有发现了什么？ 由此你能得到什么结论？
结论：
圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，
又是一个中心对称图形,其对称轴是任意一条
过圆心的直径．
A
C
·O
E B
D
新课导入
活动二 探索发现
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，
OP=3，则⊙O的半径为
.
3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽
AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是
.
第1题
第2题
第3题
延伸拓展
小结:
A
.
O
C
B
O.
A
E AC
D
B
M
D B
.O
N
解决弦时常用的辅助线：
过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，根据垂径定理、勾 股定理可解决：弦长、半径、弦心距、弓形高。
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交 AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
由 ① CD是直径
A
●
B
M
② AM=BM
●O
可推得
③CD⊥AB, ④ ⑤AA⌒⌒CD==BB⌒⌒CD,.
平分弦（不是直径）的直径
.
∴AM=BM ∠AOD=∠BOD.
AD BD
∵∠AOD=180°-∠AOC, ∠BOD=180°-∠BOC
∴AOD=∠BOD°. AC BC
C
O·
M
A
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
结论
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
1、如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经 过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根 据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．
解：在图中
AD
A1 ABB =1 337.47.184.7,，CD=7.2，
22
C
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
A
D
B
R
O
活动六 达标测试
1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BCDB.则下列结
论错误的是（ ）
A、AD BDB、AF=BF C、OF=CF D 、 ∠DBC=90°