切线长定理课件
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5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明.
B
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
E C
E
D
C
D
A ·O
F
B
A
·O
B
小
结：
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 B ∵PA、PB分别切⊙O于A、B E
。
O
C D
A
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB P OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
问题1、经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
P· · O A P · · O
P·
· O
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的 切线？
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的 切线？ A
。
P
O
B
思考：假设切线PA已作出，A为切点， 则∠OAP=90°,连接OP，可知A在怎样 的圆上?
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
O O·
P
B
一、切线长定义 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长。
A
· O
P
切线与切线长的区 别与联系：
B
（1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
。
B P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC ∠OPA=∠OPB
A D P E ·O
C
B
例3.如图，△ABC中,∠C =90º,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r. A
D
O
B
F
E
C
选做题：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
。
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。 B
例1.PA、PB是⊙O的两条切线， A、B为切点，直线OP交于⊙O E 于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形
A O
C D B
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的相似三角形 △AOC∽ △BOC∽ △POA∽△POB∽ △PAC∽PBC （5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （6）若PA=4、PD=2，求半径OA
。
O
P
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
我们学过的切线，常有 六个 五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
试说明圆的外切四边形的两组 对边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和相等．
反思：在解决有关圆的 切线长问题时，往往需 要我们构建基本图形。
反思：在解决有关圆 A 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。 。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
例2.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B， 并与圆O的切线分别相交于C、D，• 已知 PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明.
B
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
E C
E
D
C
D
A ·O
F
B
A
·O
B
小
结：
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 B ∵PA、PB分别切⊙O于A、B E
。
O
C D
A
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB P OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
问题1、经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
P· · O A P · · O
P·
· O
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的 切线？
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的 切线？ A
。
P
O
B
思考：假设切线PA已作出，A为切点， 则∠OAP=90°,连接OP，可知A在怎样 的圆上?
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
O O·
P
B
一、切线长定义 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长。
A
· O
P
切线与切线长的区 别与联系：
B
（1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
。
B P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC ∠OPA=∠OPB
A D P E ·O
C
B
例3.如图，△ABC中,∠C =90º,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r. A
D
O
B
F
E
C
选做题：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
。
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。 B
例1.PA、PB是⊙O的两条切线， A、B为切点，直线OP交于⊙O E 于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形
A O
C D B
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的相似三角形 △AOC∽ △BOC∽ △POA∽△POB∽ △PAC∽PBC （5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （6）若PA=4、PD=2，求半径OA
。
O
P
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
我们学过的切线，常有 六个 五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
试说明圆的外切四边形的两组 对边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和相等．
反思：在解决有关圆的 切线长问题时，往往需 要我们构建基本图形。
反思：在解决有关圆 A 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。 。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
例2.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B， 并与圆O的切线分别相交于C、D，• 已知 PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数