最新沪科版九年级数学下24.4切线长定理ppt公开课优质课件
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初三下数学课件(沪科版)-《切线的判定》
例 2 ： 如 下 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， ∠ABT＝45° ，AT＝AB.求证：AT是 ⊙O的切线．
解析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可， 而 由 已 知 条 件 可 知 AT＝ AB， 所 以 ∠ABT ＝ ∠ATB ， 又 由 ∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°.
三 新知探究 1.点P为⊙O上任一点,过点P作直线 l 与⊙O相Biblioteka 切.作法: (1)连接OP
(2)过P点作OP的垂线
l
O
则直线l 即为所求.
为什么这样的直线就是圆的切线呢？
演示
P
l ll
证明： 由作图知,直线l 与⊙O有一个
公共点P,在直线上再任取一个不
O
P
同于P点的一点Q,
∵OQ>OP(斜边大于直角边)
(2)若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的 半径．
解析：(1)要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC 是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．
由已知易得：∠A＝30°，又由∠DCB＝∠A＝30°得： BC＝BD＝10答案：(1)CD与⊙O相切
理由：①C点在⊙O上(已知) ②∵AB是直径 ∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90° ∵∠A＝∠OCA且∠DCB＝∠A ∴∠OCA＝∠DCB ∴∠OCD＝90° 综上：CD是⊙O的切线．
由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB. 答案：∵AB＝AT，∠ABT＝45°. ∴∠ATB＝∠ABT＝45°. ∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ ATB＝90°. ∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．
例3：已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm，以点C为 圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
九年级下册数学精品课件24.4 第3课时 切线长定理
2019/5/17
12
例3 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B， 点 C 在⊙O上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度 20 度． 数是________ 解析：如图所示，连接OA、OB. ∠AOB＝2∠ACB＝ 140°. ∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， ∴O，A，B，P四点共圆，OP平分∠APB，∴∠APB＝ 180°－∠AOB＝180°－140° ＝40°＝2∠OPA. ∴∠OPA＝20°. 故答案为 20.
8
2019/5/17
2. 若PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么 新的结论? 请给出证明.
CA=CB 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线，点 A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. A ∴ △PCA ≌ △PCB， C O. ∴CA=CB.
B
2019/5/17
2019/5/17
13
练一练 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点， 在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、 PB 于点D、E. 已知△PDE的周长为14，∠P=40°. 则 (1) PA= 7 ； A (2) ∠DOE= 70° . D
P C E B
2019/5/17
问题2 沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？ 试着 自己证明.
PA = PB， ∠APO =∠BPO. 证明：连接OA，OB， ∵ PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得 OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP， ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
4
A
O.
B
2019/5/17
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例3 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B， 点 C 在⊙O上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度 20 度． 数是________ 解析：如图所示，连接OA、OB. ∠AOB＝2∠ACB＝ 140°. ∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， ∴O，A，B，P四点共圆，OP平分∠APB，∴∠APB＝ 180°－∠AOB＝180°－140° ＝40°＝2∠OPA. ∴∠OPA＝20°. 故答案为 20.
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2. 若PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么 新的结论? 请给出证明.
CA=CB 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线，点 A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. A ∴ △PCA ≌ △PCB， C O. ∴CA=CB.
B
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练一练 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点， 在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、 PB 于点D、E. 已知△PDE的周长为14，∠P=40°. 则 (1) PA= 7 ； A (2) ∠DOE= 70° . D
P C E B
2019/5/17
问题2 沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？ 试着 自己证明.
PA = PB， ∠APO =∠BPO. 证明：连接OA，OB， ∵ PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得 OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP， ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
4
A
O.
B
2019/5/17
沪科版数学九年级下册沪科版九年级数学下册24.4.4《切线长定理修正版》ppt课件
三、自学提纲 看书本上第37-38页内容,解决以下问题： 1.过圆外一点如何作圆的切线？ 2.切线长定义和切线长定理的内容是什么？ 3.阅读例5，总结圆外切四边形具有什么性质？ 4.完成课后练习1,2,3
灿若寒星
四、合作探究
1.从圆外一点作圆的切线,可以作几条?
已知:点P为⊙O外一点,过点P作直线与⊙O相切.
3,圆外切等腰梯形上、下底分别是9cm和25cm,则其内 切圆面积为_________．
4,已知圆外切等腰梯形的中位线长为3cm,则腰长为__
A 4
P
8
O
灿若寒星
B
5、四边形ABCD外切于⊙O
（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4
BA
则n=____ （2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 C
补例:如图：从⊙O外的定点P作
⊙O
D
的 在弧两A条B上切任线取，一分点别C，切⊙O于点A
和 过点B，C作⊙O的切线，分别交PA、
C
O
PB于点D、E。
E
试证：⑴ △PDE的周长（PA+PB） 是定值
⑵ ∠DOE的大小是定值（∠AOB/2）
若∠P=40°，你能说出∠DOE的 度数吗？
灿若寒星
补例：如图,AB是⊙O的弦,BD切⊙O于点 B,OD⊥OA, 与AB相交于点C, 求证:BD=CD. 解：连接OB，则OB⊥BD
灿若寒星
祝同学们学习进步,天天快乐
灿若寒星
五,理解应用
1,⊙O的半径为4,点P到圆心的距离为8,过P作⊙O的两 条切线,则这两条切线的夹角为__________．
2,在梯形 ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,以 AB为直 径的半圆切 CD于点 M,若这个梯形的面积是10 cm2,周 长是14 cm,则半圆O的半径为_________
灿若寒星
四、合作探究
1.从圆外一点作圆的切线,可以作几条?
已知:点P为⊙O外一点,过点P作直线与⊙O相切.
3,圆外切等腰梯形上、下底分别是9cm和25cm,则其内 切圆面积为_________．
4,已知圆外切等腰梯形的中位线长为3cm,则腰长为__
A 4
P
8
O
灿若寒星
B
5、四边形ABCD外切于⊙O
（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4
BA
则n=____ （2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 C
补例:如图：从⊙O外的定点P作
⊙O
D
的 在弧两A条B上切任线取，一分点别C，切⊙O于点A
和 过点B，C作⊙O的切线，分别交PA、
C
O
PB于点D、E。
E
试证：⑴ △PDE的周长（PA+PB） 是定值
⑵ ∠DOE的大小是定值（∠AOB/2）
若∠P=40°，你能说出∠DOE的 度数吗？
灿若寒星
补例：如图,AB是⊙O的弦,BD切⊙O于点 B,OD⊥OA, 与AB相交于点C, 求证:BD=CD. 解：连接OB，则OB⊥BD
灿若寒星
祝同学们学习进步,天天快乐
灿若寒星
五,理解应用
1,⊙O的半径为4,点P到圆心的距离为8,过P作⊙O的两 条切线,则这两条切线的夹角为__________．
2,在梯形 ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,以 AB为直 径的半圆切 CD于点 M,若这个梯形的面积是10 cm2,周 长是14 cm,则半圆O的半径为_________
沪科版九年级下册数学 24.4 切切线的定义及判定定理线的定义及判定定理(共18张PPT)
半径的直线是圆的切线.
课堂小结
1.切线性质： ①切线和圆有且只有一个公共点 ②切线和圆心的距离等于半径 ③圆的切线垂直于经过切点的半径
2.能运用切线性质定理进行计算与证明 3.掌握常见的关于切线辅助线作法
首页
4.判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
归纳：
切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线. 符号表达：
O r Al
∵ OA是半径，l⊥OA，垂足为A，
∴ l是⊙O的切线.
判断:
1.过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2.与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径
几何符号语言： ∵AT是⊙O的切线，A为切点 ∴AT⊥OA
O
A
T
按图填空：(口答) (1)如果AB切⊙O于A， 那么 OA⊥ AB.
(2)如果半径OA⊥AB， 那么AB是切线 .
B A
O
(3)如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是
切点
活动2：探究切线的判定定理
DB O
A E C
题1与题2的证法有何不同?
O
A
C
B
D
BAΒιβλιοθήκη OE C(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心, 得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为： 连半径,证垂直. (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则 过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等 于半径长.简记为：作垂直,证半径.
3.如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为 圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交.求证：AB是⊙O的 切线.
课堂小结
1.切线性质： ①切线和圆有且只有一个公共点 ②切线和圆心的距离等于半径 ③圆的切线垂直于经过切点的半径
2.能运用切线性质定理进行计算与证明 3.掌握常见的关于切线辅助线作法
首页
4.判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
归纳：
切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线. 符号表达：
O r Al
∵ OA是半径，l⊥OA，垂足为A，
∴ l是⊙O的切线.
判断:
1.过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2.与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径
几何符号语言： ∵AT是⊙O的切线，A为切点 ∴AT⊥OA
O
A
T
按图填空：(口答) (1)如果AB切⊙O于A， 那么 OA⊥ AB.
(2)如果半径OA⊥AB， 那么AB是切线 .
B A
O
(3)如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是
切点
活动2：探究切线的判定定理
DB O
A E C
题1与题2的证法有何不同?
O
A
C
B
D
BAΒιβλιοθήκη OE C(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心, 得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为： 连半径,证垂直. (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则 过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等 于半径长.简记为：作垂直,证半径.
3.如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为 圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交.求证：AB是⊙O的 切线.
沪科版九年级下册数学 24.4.3 切线长定理 (共16张PPT)
A．2
B．3
C． 3
D．2 3
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的 人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的 那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定 的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生 什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行
24.4+第四课时+切线长定理+ 课件 2023—2024学年沪科版九年级下册
图15
起航加油
随堂演练
课后达标
23
拓展延伸
8.（陕西中考）如图16， ⊙ O 的半径为3， C 是 ⊙ O 外一
点，且 OC = 6 .过点 C 作 ⊙ O 的两条切线 CB ， CD ，切点
分别为 B ， D ，连接 BO 并延长交切线 CD 于点 A ． （1）求 AD 的长.
解：如图86，连接 OD. ∵ BC ， CD 为 ⊙ O 的两条 切线， ∴ OB ⊥ BC ， OD ⊥ AC ， CD = BC.
∴ ∠DOC = ∠BOC = 60∘， CD = BC = 3 3.
∴ ∠DOA = 180∘ − ∠DOC − ∠BOC = 60∘.
图86
∵ ∠DOC = ∠DOA = 60∘， OD = OD， ∠ODC = ∠ODA = 90∘， ∴
△ ODC ≌△ ODA ASA .
∴ AD = CD = 3 3 ．
图16
起航加油
随堂演练
课后达标
26
图15
【问题拓展】 请同学们用不同于“问题分析”中的方法与思路，计算 AD
的长.
起航加油
随堂演练
课后达标
22
解： ∵ AB ， BC ， CD ， AD 分别与 ⊙ O 相切于点E， F ， G ， H ， ∴ AE = AH ， BE = BF , CF = CG ， DG = DH , ∵ AB = 10 ， BC = 7 ， CD = 8 ， ∴ AB = AE + BE = 10① ； BC = BF + CF = 7 ，即 BE + CF = 7② ； CD = CG + DG = 8 ，即 CF + DG = 8③. ① + ② + ③ , 得 AE + 2 BE + CF + DG = 25. ∵ BE + CF = 7, ∴ AE + DG = 11. ∵ AD = AH + DH = AE + DG ， ∴ AD = 11 .
起航加油
随堂演练
课后达标
23
拓展延伸
8.（陕西中考）如图16， ⊙ O 的半径为3， C 是 ⊙ O 外一
点，且 OC = 6 .过点 C 作 ⊙ O 的两条切线 CB ， CD ，切点
分别为 B ， D ，连接 BO 并延长交切线 CD 于点 A ． （1）求 AD 的长.
解：如图86，连接 OD. ∵ BC ， CD 为 ⊙ O 的两条 切线， ∴ OB ⊥ BC ， OD ⊥ AC ， CD = BC.
∴ ∠DOC = ∠BOC = 60∘， CD = BC = 3 3.
∴ ∠DOA = 180∘ − ∠DOC − ∠BOC = 60∘.
图86
∵ ∠DOC = ∠DOA = 60∘， OD = OD， ∠ODC = ∠ODA = 90∘， ∴
△ ODC ≌△ ODA ASA .
∴ AD = CD = 3 3 ．
图16
起航加油
随堂演练
课后达标
26
图15
【问题拓展】 请同学们用不同于“问题分析”中的方法与思路，计算 AD
的长.
起航加油
随堂演练
课后达标
22
解： ∵ AB ， BC ， CD ， AD 分别与 ⊙ O 相切于点E， F ， G ， H ， ∴ AE = AH ， BE = BF , CF = CG ， DG = DH , ∵ AB = 10 ， BC = 7 ， CD = 8 ， ∴ AB = AE + BE = 10① ； BC = BF + CF = 7 ，即 BE + CF = 7② ； CD = CG + DG = 8 ，即 CF + DG = 8③. ① + ② + ③ , 得 AE + 2 BE + CF + DG = 25. ∵ BE + CF = 7, ∴ AE + DG = 11. ∵ AD = AH + DH = AE + DG ， ∴ AD = 11 .
沪科版九年级数学下册课件24.4.3切线长定理
2.如图，已知点O是△ABC 的外心，且∠ABC= 50 °,
∠ACB= 70 °,则∠BOC= 120 °.
课堂小测
3.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB
新知探究
2.PA，PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
∴∠DOC=∠DOA=
1 2
∠AOC.
∴∠COE=∠BOE= 1 ∠BOC.
2
∠DOE=∠DOC+∠COE= 1 (∠AOC+∠BOC)=70°.
2
新知探究
方法归纳 切线长问题辅助线添加方法： （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
课堂小结
切线长
原理
切线长定 理
新知探究
知识要点
切线长定理:
A
过圆外一点作圆的两条切线，
两条切线长相等.圆心与这一点
O
P
的连线平分两条切线的夹角.
几何语言: PA，PB分别切☉O于A，B
B PA = PB
∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
新知探究
推理验证
已知，如图PA，PB是☉O的两条切线，
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
∴ OP=5 3cm.
故铁环的半径为 5 3cm.
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20 ° ,PB=
A
4 .
O
P
O
B C B 第2题 第1题 2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °,
∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 ° .
⌒ 3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，Q为AB 上一 点，过点Q作⊙O 的切线，交PA、PB点E、F，已知 PA=12cm,∠P＝56°.求：
质知△OPA为直角三角形，从 而在Rt△OPA中由勾股定理易求 得半径． O
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O， 连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的 平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝ 180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O
Q
OP=5 3cm.
即铁环的半径为5 3cm.
练一练 1.PA、PB是☉O的两条切线，A、 B为切点，直线OP交☉O于点D、 E
A
E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC相等的角；
O C D B
P
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB
讲授新课
一 切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左
图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过 圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ A O P B
O.
B A P
知识要点 1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间 的线段的长叫作这点到圆的 切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里？ ①切线是直线，不能度量. O P A
A
1 ∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC. E 2 B 1 ∴∠COE=∠BOE= ∠AOC. 2 1 ∠DOE=∠DOC+∠COE= (∠AOC+∠COB)=70°. 2
O
方法归纳 切线长问题辅助线添加方法： （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
当堂练习
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果 AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= A
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的
两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=
90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点， ∴DC=DA.同理可得CE=CB. ∴S△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE= PA+PB=14. P ∵D，E是切线PA，PB上的点， D C
知识要点 切线长定理: 过圆外一点作圆的两条 切线，两条切线长相等.圆 心与这一点的连线平分两条 O A
P
切线的夹角.
几何语言: PA、PB分别切☉O于A、B
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
推理验证 已知，如图PA、PB是☉O的两条
切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. B
A P
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB， ∴AC=BC.
典例精析 例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H. D
求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别 相切与点E、F、G、H， ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. A ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. H · O
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
第3课时 切线长定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一 瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
2.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
A
O
P
B
3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上
任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已 知PA=7，∠P=40°.则 ⑴ △PDE的周长是 ⑵ ∠DOE= 70° . 14 ； P C E B O D A
A O.
P
想一想：若连结两切点A、B，AB交 OP于点M.你又能得出什么新的结论? 并给出证明. OP垂直平分AB. O.
A M P
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
想一想：若延长PO交⊙O于点C， 连结CA、CB，你又能得出什么新 的结论?并给出证明. CA=CB C O.
G
C F
E
B
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下 办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的 三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据， 进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得 PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆
心为O，连OA，OP，由切线性
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分
别是圆外一点和切点，可以度量．
问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点 A重合的点为B． OB是☉O的一条半径吗？ PB是☉O的切线吗？ PA、PB有何关系？ B
A O.
P
∠APO和∠BPO有何关系？
（利用图形轴对称性解释）