最新沪科版九年级数学下24.4切线长定理ppt公开课优质课件

2.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
A
O
P
B
3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上
任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已 知PA=7，∠P=40°.则 ⑴ △PDE的周长是 ⑵ ∠DOE= 70° . 14 ； P C E B O D A
20 ° ,PB=
A
4 .
O
P
O
B C B 第2题 第1题 2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °,
∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 ° .
⌒ 3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，Q为AB 上一 点，过点Q作⊙O 的切线，交PA、PB点E、F，已知 PA=12cm,∠P＝56°.求：
讲授新课
一 切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左
图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过 圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ A O P B
O.
B A P
知识要点 1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间 的线段的长叫作这点到圆的 切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里？ ①切线是直线，不能度量. O P A
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分
别是圆外一点和切点，可以度量．
Fra Baidu bibliotek
问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点 A重合的点为B． OB是☉O的一条半径吗？ PB是☉O的切线吗？ PA、PB有何关系？ B
A O.
P
∠APO和∠BPO有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
A P
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB， ∴AC=BC.
典例精析 例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H. D
求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别 相切与点E、F、G、H， ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. A ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. H · O
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
第3课时 切线长定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）
导入新课
情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一 瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
知识要点 切线长定理: 过圆外一点作圆的两条 切线，两条切线长相等.圆 心与这一点的连线平分两条 O A
P
切线的夹角.
几何语言: PA、PB分别切☉O于A、B
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
推理验证 已知，如图PA、PB是☉O的两条
切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. B
A O.
P
想一想：若连结两切点A、B，AB交 OP于点M.你又能得出什么新的结论? 并给出证明. OP垂直平分AB. O.
A M P
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
想一想：若延长PO交⊙O于点C， 连结CA、CB，你又能得出什么新 的结论?并给出证明. CA=CB C O.
质知△OPA为直角三角形，从 而在Rt△OPA中由勾股定理易求 得半径． O
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O， 连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的 平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝ 180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O
Q
OP=5 3cm.
即铁环的半径为5 3cm.
练一练 1.PA、PB是☉O的两条切线，A、 B为切点，直线OP交☉O于点D、 E
A
E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC相等的角；
O C D B
P
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB
G
C F
E
B
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下 办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的 三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据， 进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得 PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆
心为O，连OA，OP，由切线性
A
1 ∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC. E 2 B 1 ∴∠COE=∠BOE= ∠AOC. 2 1 ∠DOE=∠DOC+∠COE= (∠AOC+∠COB)=70°. 2
O
方法归纳 切线长问题辅助线添加方法： （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
当堂练习
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果 AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= A
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的
两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=
90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点， ∴DC=DA.同理可得CE=CB. ∴S△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE= PA+PB=14. P ∵D，E是切线PA，PB上的点， D C