圆的切线长定理课件
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切线长定理 -课件
CE=4cm,则BC= 11 cm , AC= 6 cm, AB= 9 cm .
A
2
F
E
4
C
B
7
D
切线长 定理
温故知新 新知探究 学以致用
实践运用 总结梳理
5、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切
点分别是A、B.Q为AB上一点，过Q点作
⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知
PA=12cm，△PEF的周长是（
由 BD+CD=BC 可得
总结梳理 B9-x D 13-x C
(13－x)+(9－x)＝14.
解得 x＝4.
因此 AF＝4，BD=5，CE=9.
切线长 定理
温故知新 新知探究 学以致用
实践运用 总结梳理
1、如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,
.
切线长 定理
温故知新 新知探究 学以致用 实践运用
总结梳理
1
切线长 定理
4
连接圆心和切点
是我们解决切线长 定理相关问题时常 用的辅助线
2
切线与切 线长区别
3 三角形的外 心和三角形 的内心
敬请指导
WELCOME TO GUIDE
）cm.
A. 12cm B. 24cm C.14cm
D. 8cm
A EO
Q
P
FB
切线长 定理
温故知新 新知探究 学以致用
实践运用
课后练习
总结梳理
1.如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°,点O是△ABC的内心，求 ∠BOC的度数.
A
·O
B
C
A
2
F
E
4
C
B
7
D
切线长 定理
温故知新 新知探究 学以致用
实践运用 总结梳理
5、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切
点分别是A、B.Q为AB上一点，过Q点作
⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知
PA=12cm，△PEF的周长是（
由 BD+CD=BC 可得
总结梳理 B9-x D 13-x C
(13－x)+(9－x)＝14.
解得 x＝4.
因此 AF＝4，BD=5，CE=9.
切线长 定理
温故知新 新知探究 学以致用
实践运用 总结梳理
1、如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,
.
切线长 定理
温故知新 新知探究 学以致用 实践运用
总结梳理
1
切线长 定理
4
连接圆心和切点
是我们解决切线长 定理相关问题时常 用的辅助线
2
切线与切 线长区别
3 三角形的外 心和三角形 的内心
敬请指导
WELCOME TO GUIDE
）cm.
A. 12cm B. 24cm C.14cm
D. 8cm
A EO
Q
P
FB
切线长 定理
温故知新 新知探究 学以致用
实践运用
课后练习
总结梳理
1.如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°,点O是△ABC的内心，求 ∠BOC的度数.
A
·O
B
C
湘教版2.5.3-切线长定理PPT
做一做
A
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. E O C D
P
（2）写出图中所有相等的角(直角除外)
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC；
B
∠AOC=∠BOC=∠CAP=∠CBP； ∠AOE=∠BOE.
（3）写出图中所有相等的边(半径除外)AC=BC, AP=BP,
试用文字语 言叙述你所 发现的结论
结论
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言表示: ∵PA、PB分别切⊙O于
A、B两点. ∴PA = PB
∠OPA=∠OPB
注意：切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD
的长为____２______。
3.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若
∠A=70°，则∠BOC的度数为（ Ｃ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
4.如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，
2.5.3 切线长定理
湘教版 九年级下册
探究 A
O
B
经过圆外一点作圆的切线，这 点和切点之间的线段的长，叫 做这点到圆的切线长。
P
如图，P是⊙O外一点， PA，PB是⊙O的两条切线，
我们把线段PA，PB叫做点
P到⊙O的切线长。
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别
（4）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AO︵C≌︵△BO︵C，︵△AC︵P≌ △︵BCP
3.7切线长定理(共14 公开课一等奖课件.ppt) 大赛获奖课件 公开课一等奖课件
已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O 的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切 线，求这两条切线的夹角及切线长．
E
O F
1 2P
李师傅在一家木料厂上班，工 作之余想对厂里的三角形废料进行 加工：裁下一块圆形用料，且使圆 的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮 他确定一下。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形。
PB叫做点P 到⊙O的切 线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 一点和切点，可以度量。
A 根据你的直观判断，
猜想图中PA是否等于
PB？∠1与∠2又有什
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
C
作三角形内切圆的方法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
A
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
M N
I
B
D
C
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于 点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
= 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
O长定理。 （2）三角形的内切圆
语文
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E
O F
1 2P
李师傅在一家木料厂上班，工 作之余想对厂里的三角形废料进行 加工：裁下一块圆形用料，且使圆 的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮 他确定一下。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形。
PB叫做点P 到⊙O的切 线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 一点和切点，可以度量。
A 根据你的直观判断，
猜想图中PA是否等于
PB？∠1与∠2又有什
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
C
作三角形内切圆的方法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
A
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
M N
I
B
D
C
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于 点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
= 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
O长定理。 （2）三角形的内切圆
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人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
切线长定理课件
D C
A
B
3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
A E
D
K F
B
C
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
。
P
O
B
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
O O·
P
B
选做题：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
E C
E
D
C
D
A · OFB来自A· OB
反思：在解决有关圆 A 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。 。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． A
O B P
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
O
。
P A
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。 B
。
O
P
A
A
B
3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
A E
D
K F
B
C
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
。
P
O
B
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
O O·
P
B
选做题：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
E C
E
D
C
D
A · OFB来自A· OB
反思：在解决有关圆 A 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。 。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． A
O B P
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
O
。
P A
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。 B
。
O
P
A
《29.4 切线长定理 第一课时》精品课件
(2)AC∥OP.
探索新知
导引：(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝
1 2
∠APB，
而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝
1 2
∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证；
(2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也
可用同位角相等来证．
探索新知
证明：(1)∵PA，PB 分别切⊙O 于点A，B， ∴由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ 1 ∠APB，PA＝PB，
(2)如图②，当点E 运动至与点B 重合时，试判断CF 与BF 是否相等， 并说明理由．
课堂练习
(1)证明：如图，连接OD，OE.
∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1. ∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE. ∴△ODE 是等边三角形．∴∠ODE＝∠OED＝60°.
∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝
课堂练习
2 如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA，PB，切点分别 为A，B，点C 是劣弧AB上一点，过点C 的切线分别交PA， PB 于点M，N，若⊙O 的半径为2，∠P＝60°，则△PMN 的 周长为( C ) A．4 B．6 C．4 3 D．6 3
课堂练习
3 如图，AB 为半圆O 的直径，AD，BC 分别切⊙O 于A，B 两点， CD 切⊙O 于点E，AD 与CD 相交于点D，BC 与CD 相交于点C，连 接OD，OC，对于下列结论：①OD 2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD； ③OD＝OC；④S梯形ABCD＝12 CD·OA；⑤∠DOC＝90°. 其中正确的 结论是( A ) A．①②⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
∠OED＝60°.∴△AOD 和△BOE 是等边三角形． ∴∠OAD＝∠OBE＝60°. ∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°. ∴△CDE 是等边三角形． ∵DF 是⊙O 的切线， ∴OD⊥DF. ∴∠EDF＝90°－60°＝30°.∴∠DFE＝90°. ∴DF⊥CE. ∴CF＝EF.
圆的切线长定理 ppt课件
F
┗
┓
B
EC
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
G
D
C
H
F
O·
A
B
E
（1）图中有哪些相等的线段
（2）猜想四边形的两组对边怎样的关系
反思：圆的外切四边形的两组对边的和相等
已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点 O是内心，求∠BOC的度数。
A
O
B
C
1、四边形ABCD外切于⊙O
A
O· B
P
① PA=PB ② PO平分∠APB
一、判断
练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线,它们的长相等。
二、填空
(
)
如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50。
连结PO，则 ∠APO = 25 度。 A
0
P
B
切线长定理的基本图形的研究
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点， 直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。
经过圆外一点做圆的切线，这一点和切点之间的 线段的长，叫做这点到圆的切线长
A
O·
P
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？
观察与思考: PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？
A
O
·
P
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4
BA
则n=____ （2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 C
切线长定理_课件
练习 如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分别切 ⊙O于A，B，则PA＝_______，∠APB＝_____．
（1）3 厘米
练习 答案：25°
练习
补充题
如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和 B，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB 于点D、E． 试证： ⑴ △PDE 的周长是定值； ⑵ ∠DOE 的大小是定值． 答案： （1）PA+PB；
根据这个性质，你能确定圆心吗？
思考
如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用 料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点， 并且这个点到三条边的距离相等． 所以圆心I是角平分线的交点．
I
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆． 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做三角形的内心．
练习 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20cm，则 △ABC的周长为_4__0_c_m___．
提示：BD=BF，CE=CF
练习 如图，四边形ABCD四条边都与圆O相切，切点分别为E、F、 G、H，且AD=8，BC=18，求四边形ABCD的周长_5__2_____．
提示：切线长相等
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长， 叫做这点到圆的切线长．
思考
如图，已知直线PA，PB分别与⊙O相切，切点分别是A，B．在 半透明的纸上画出这个图形，沿着直线OP将图形对折． 猜想：线段 PA 与 PB 有什么关系？ ∠APO和∠BPO有什么关系？
思考
如图，已知直线PA，PB分别与⊙O相切，切点分别是A，B．在 半透明的纸上画出这个图形，沿着直线OP将图形对折．
5.7切线长定理 优秀课件
A
。
P
O
B
思考：过圆外一点可以做圆的几条切线？
A
在经过圆外一点
的切线上，这一点 和切点之间的线段
O·
P
的长叫做这点到圆
的切线长。
B
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
如图，经过点P引⊙O的两条切线，切点 分别是A、B两点，则切线长是_________.
A
。
POB若从Fra bibliotekO外的一B
点引两条切线PA，PB，
切点分别是A、B，连 结OA、OB、OP，你能
。
O
P
发现什么结论？并证
明你所发现的结论。
A
PA = PB
切线长定理
从圆外
B
一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等。
。
P
O
几何语言:
A
∵PA，PB是⊙O的切线 ∴PA = PB
1. 2.
从⊙O外的一点引两
r abc 2
A
F
D O·
CE
B
1.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并 与圆O的切线分别交于C、D，切点为点E， 已知PA=7cm，求△PCD的周长．
A
D
P
·O
E
C B
课本44 T1
2.如图，△ABC中,∠C=90º ,它的内切圆O 分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F， 且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.
B
条切线PA，PB，你还
能发现哪些结论？
。
O
M
P
A
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要 我们构建基本图形。
。
P
O
B
思考：过圆外一点可以做圆的几条切线？
A
在经过圆外一点
的切线上，这一点 和切点之间的线段
O·
P
的长叫做这点到圆
的切线长。
B
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
如图，经过点P引⊙O的两条切线，切点 分别是A、B两点，则切线长是_________.
A
。
POB若从Fra bibliotekO外的一B
点引两条切线PA，PB，
切点分别是A、B，连 结OA、OB、OP，你能
。
O
P
发现什么结论？并证
明你所发现的结论。
A
PA = PB
切线长定理
从圆外
B
一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等。
。
P
O
几何语言:
A
∵PA，PB是⊙O的切线 ∴PA = PB
1. 2.
从⊙O外的一点引两
r abc 2
A
F
D O·
CE
B
1.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并 与圆O的切线分别交于C、D，切点为点E， 已知PA=7cm，求△PCD的周长．
A
D
P
·O
E
C B
课本44 T1
2.如图，△ABC中,∠C=90º ,它的内切圆O 分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F， 且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.
B
条切线PA，PB，你还
能发现哪些结论？
。
O
M
P
A
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要 我们构建基本图形。
圆的切线长定理28页PPT文档
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如
果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,A1C1= AB= 6cm
9cm
A
2 F
E 4
7
C
B
D
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB
于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）
A
M I
B
D
C
与三角形各边都相切的角形的 内心
这个三角形叫做圆的外切三角形
A
D
三角形的内心就是三角形的三个内角角 F 平分线的交点
I
三角形的内心到三角形的三边的距离
相等
B
┐ E
C
归纳
三角形的内切圆可以作出一个，因为三角形 三个内角的平分线交于一点，这点即为圆心，这 点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径， 圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出 一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle）．
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做三角形的内心（incenter）．
读一读P119 10
四边形与圆的位置关系
• 如果四边形的四条边都与一个圆相 A 切,这圆叫做四边形的内切圆.这个 四边形叫做圆的外切四边形.
B
D ●O
C
n我们可以证明圆外切四边的一个重要性质: n1.圆外切四边形两组对边的和相等.
已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点 O是内心，求∠BOC的度数。
A
O
B
C
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
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A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、 PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.
【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. ∴ PE+EQ=PA=12cm PF+FQ=PB=PA=12cm ∴周长为24cm
O B C
例2、（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那
么这个正三角形的边长为（ ）
A．2
B．3
C．
3
D．
2 3
例3、已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它的内切 圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F,求 AF、BD和CE的长。
A
F
E
B
D
C
例4.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是
∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究：
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交 E AB于C。
A
O
C D B
P
（1）写出图中所有的垂直关系 （2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
A D I B ┐ E F
这个三角形叫做圆的外切三角形 三角形的内心就是三角形的三个 内角角平分线的交点 三角形的内心到三角形的三边的 距离相等
C
三角形的外接圆：
A
三角形的内切圆：
A
O B C B
I
D
C
三角形的外心
三角形的内心
例1：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点O是 等，弧相 等，垂直关系提供了理 论依据。必须掌握并能 灵活应用。
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面 截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽 可能大呢？ 这个圆与三边都相切， A 叫这个三角形的内切圆 A
D. B C
.F .
E C
B
问题：如图△ABC，要求画△ABC的内
切圆，如何画？ 已知：△ABC 求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法： 1 、作∠ B 、∠ C 的平分线 BM 、 CN，交点为I 2、过点I作ID⊥BC，垂足为D N 3、以I为圆心，ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆
A
M I D C
B
与三角形各边都相切的圆
叫做三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心
24.2.2
直线和圆的位置关系
切线长定理
1、如何过⊙O上一点P画出⊙O的切线？
2、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 3、这样的切线能画出几条？ 4、如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
O
A
130°
B
50°
P
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A
∴∠OAP=∠OBP=90° ∵OA=OB，OP=OP
O ·
1 2
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
P
∴PA=PB ∠ 1 =∠ 2
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，
它们的切线长相等，
这一点和圆心的连线平分两条切线的 夹角。
符号表示
A
O ·
1 2
P
B
PA = PB PA、PB分别切⊙O于A、B
A
O·
P
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？ 切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是线段的长， 这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量
观察与思考:
PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？
A
O ·
P
B
① PA=PB ② PO平分∠APB
连结OA、OB、 ∵PA、PB与⊙O相切，点A、 B是切点
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中相等的圆弧
（5）写出图中所有的等腰三角形
△ABP， △AOB
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
反思：在解决有关圆 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。
A
。
O
P B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. ∴ PE+EQ=PA=12cm PF+FQ=PB=PA=12cm ∴周长为24cm
O B C
例2、（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那
么这个正三角形的边长为（ ）
A．2
B．3
C．
3
D．
2 3
例3、已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它的内切 圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F,求 AF、BD和CE的长。
A
F
E
B
D
C
例4.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是
∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究：
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交 E AB于C。
A
O
C D B
P
（1）写出图中所有的垂直关系 （2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
A D I B ┐ E F
这个三角形叫做圆的外切三角形 三角形的内心就是三角形的三个 内角角平分线的交点 三角形的内心到三角形的三边的 距离相等
C
三角形的外接圆：
A
三角形的内切圆：
A
O B C B
I
D
C
三角形的外心
三角形的内心
例1：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点O是 等，弧相 等，垂直关系提供了理 论依据。必须掌握并能 灵活应用。
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面 截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽 可能大呢？ 这个圆与三边都相切， A 叫这个三角形的内切圆 A
D. B C
.F .
E C
B
问题：如图△ABC，要求画△ABC的内
切圆，如何画？ 已知：△ABC 求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法： 1 、作∠ B 、∠ C 的平分线 BM 、 CN，交点为I 2、过点I作ID⊥BC，垂足为D N 3、以I为圆心，ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆
A
M I D C
B
与三角形各边都相切的圆
叫做三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心
24.2.2
直线和圆的位置关系
切线长定理
1、如何过⊙O上一点P画出⊙O的切线？
2、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 3、这样的切线能画出几条？ 4、如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
O
A
130°
B
50°
P
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A
∴∠OAP=∠OBP=90° ∵OA=OB，OP=OP
O ·
1 2
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
P
∴PA=PB ∠ 1 =∠ 2
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，
它们的切线长相等，
这一点和圆心的连线平分两条切线的 夹角。
符号表示
A
O ·
1 2
P
B
PA = PB PA、PB分别切⊙O于A、B
A
O·
P
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？ 切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是线段的长， 这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量
观察与思考:
PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？
A
O ·
P
B
① PA=PB ② PO平分∠APB
连结OA、OB、 ∵PA、PB与⊙O相切，点A、 B是切点
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中相等的圆弧
（5）写出图中所有的等腰三角形
△ABP， △AOB
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
反思：在解决有关圆 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。
A
。
O
P B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点