切线长定理及应用

A 16cm C 12cm A B D D C E B P 14cm 8cm
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆 的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作 ⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝ 10cm， 求△PED的周长。 A O F B
D
P
E
数学探究 思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？ 你还能得出什么结论？ A
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
D
A
abc r . 2
●
O
┓
┗ F
B
E
C
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为 a,b,c. A 求内切圆⊙O的半径r. D F
●
O
2S r . abc
A
E O
Q
P F B
知识拓展 4.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半 径是_______. 1 5.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为 1cm,则此三角形的周长是_______. 22cm
知识小结 直角三角形的外接圆与内切圆AAbFra bibliotekC B
c
O B
a 斜边中点 ， 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________ 斜边的一半 半径为___________. 三角形内部， 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________ a+b-c 半径r=___________. 2
切线长定理
数学探究 如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条 切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A 重合的点为B。 A 问题： O 1.OB是⊙O的一条半径吗？
2.PB是⊙O的切线吗？
3.PA、PB有何关系？
P
B
4.∠APO和∠BPO有何关系？
数学探究 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长叫做切线长。 A
A
D
O
E
三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。 B
F
C
（1）找出图中所有相等的线段 N D C DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM P O M
A
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O 分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边 的关系。
F
B
7
D
例3、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N， 求证：AB+CD=AD+BC。 D M C
N
O A P Q
B
思考
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I
D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心
试一试：如图△ABC中，∠C＝90，AC＝6， BC＝8，三角形三边与⊙O均相切，切点分别 是D、E、F，求⊙O的半径。
A F
D C E O B
巩固练习：
1、如图，一圆内切于四边形ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形的周长为( ) （A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56
D C
C
课前训练 1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、 B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 A OA的长.
E
O
C B
D
P
知识拓展 2.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线， PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为 切点。求证：AC=BD A C O· D B P
A D E O
B
C
A
A
b
C B
c
O B
a 斜边中点 ， 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________ 斜边的一半 半径为___________. 三角形内部， 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________ a+b-c 半径r=___________. 2
C
知识拓展 3.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线， 交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°, 求：△PEF的周长和∠EOF的大小。
· O ·
B
·
P
切线长和切线的区别和联系:
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上 的一条线段的长，可以度量。
· O ·
B
A
·
P
切线长定理 从 圆外一点可以引 圆的两条切线， 它们的切线长相 等，这一点和圆 心的连线平分两 条切线的夹角。
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为 ⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO 求证： PA PB, APO BPO
（3）图中全等三角形
3
对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长 为 cm，两切线的夹角等于 60 度
3 3
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， 试求半径OA的长。
E
A
x
O C D
P
B
PA2 OA2 OP2
即：4
2
x
2

x 2
2
解得： x=
3cm

半径OA的长为3cm
C
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。 A O F B E D P
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果 AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11cm, AC= 6cm AB= 9cm 2 A E 4 C
一、判断
练习
）
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 二、填空 (1)如图PA、PB切圆于A、B两点， APB 50 连结PO，则 APO 25 度。 A O P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
13﹣x
9﹣ x
随堂训练 1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °, 点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。 A
O
1 ∠ BOC= 90°+ ∠ A 2
B
C
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内 心，求∠ BOC的度数。
知识拓展 拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆
（2）填空：AB+CD = AD+BC B L （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点 为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝ 13cm。求AF，BD，CE。
· O ·E
B
·
P
已知：如图PA、PB是⊙ O的两 条切线，A、B为切点。直线OP 交⊙ O于D、E，交AB于C。 E
A P
O C D
（1）图中互相垂直的关系 3 有 B 对，分别是 OA PA, OB PB, OP AB （2）图中的直角三角形有 6 等腰三角形有 2 个，分别是
个，分别是
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． A
O B P
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
1 S r a b c . 2
B
E
┓
C
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为—— 3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
例题选讲 例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。 x E A x O F 9﹣ x B D 13﹣x C
A
B
3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
A E
D
K F
B
C
4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC， AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于 E．已知AB=8，边BC比AD大6， 求边AD、BC的长。
A
O P
M B
C
试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA， PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。 ∠C＝50， ①求∠APB的度数 ②求证：AC∥OP。 A C O B
P
试一试：如图1，一个圆球放置在V形架中。图 2是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线， 切点分别是A、B。如果⊙O的半径为 cm 2 ， 3 且AB=6cm，求∠ACB。 O A B
x F y
B O
解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则 A AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm x+y=13