切线长定理及应用
切线长定理及应用
A L B （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点
为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝
13cm。求AF，BD，CE。
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
O
P
B
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O 于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______.
O
A
B
C
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。
AD
OF
P
E B
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果 AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11cm,
AC= 6cm
AB= 9cm
A
2 F
E 4
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——
3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
例题选讲
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
x A x F 9﹣x
求证： PA PB, APO BPO
一、判断
初中数学第六册切线长定理用途教案
我们先来看看初中数学第六册中介绍的切线长定理是什么？切线长定理是指，如果在圆内任取一点P作一条直线与圆相交，交点分别为A、B，则AP、BP的乘积等于切线BC的平方，即AP × BP = BC^2。
接下来，我们来探讨一下切线长定理在实际生活中有哪些用途。
一、建筑工程
在建筑工程中，切线长定理常被应用于圆柱体的斜侧面上。
以一根圆柱形的管为例子，从管的一侧用尺子量出管径D，再从管的对边上，延长一条与对边平行的线段，用尺子测出该线段的长度L，那么根据切线长定理，我们就可以求出管的斜侧面长度H了。
H=√(L^2 - D^2)
切线长定理的应用，能够非常准确地计算出斜侧面长度，从而更好地指导建筑工程的完成。
二、机械制造
在机械制造中，切线长定理也有着重要的应用。
例如，在汽车发动机的齿轮齿条连接处，就需要应用到切线长定理。
由于齿轮锥与齿条倾角不同，因此需要利用切线长定理来计算出锥齿轮齿高。
通过计算锥齿轮齿高，我们可以精确的控制汽车的齿轮连接处，保证其工作的可靠性和稳定性。
三、科学研究
切线长定理在科学研究中也有着重要的应用。
例如，在医学领域中，我们利用切线长定理，可以计算出人体血液的流速。
当血管壁发生了弯曲，就会形成一个圆弧，我们可以利用切线长定理计算出这个圆弧上的切线长，搭配计时器，就能精确地计算出血液在圆弧上的流速了。
切线长定理在生活和科学研究中的应用是十分广泛的，它不仅解决了生活中的实际问题，还帮助我们更好地认识到圆形和直线的关系，为我们的学习和工作提供了很好的指导。
切线长定理及其应用
切线长定理及其应用一、基础知识总结1.内切圆和内心定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点,叫做三角形的内心.总结：判断一个多边形是否有内切圆，就是判断能否找到一个点到各边距离都 相等。
2.直角三角形的内切圆半径与三边关系（１）一个基本图形；（２）两个结论：1）四边形OECF 是正方形2）r=(a+b-c)∕2或r=ab ∕(a+b+c)（３）两个方法代数法（方程思想）；面积法3.切线长定义：过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段长叫做切线长。
4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的交角。
二、典型例题解析【例1】如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相交于点D 、E 、F ，且AB=9 cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长D E F O CB A 11212902a b c A B C A B C S s r p a b c p C r a b c ∆∠∠∠==++∠=︒=+-设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径（），其中（）；（），则（）【例2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE＝1， CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．【例3】如图，以等腰ABC∆中的腰A B为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作⊥，垂足为E．D E A C（I）求证：D E为⊙O的切线；（II）若⊙O的半径为5，60∠= ，求D E的长．B A C【例4】如上图等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是⌒BC的中点．（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线 CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△ BDE的面积．【例5】 已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使 ∠FCA ＝∠AOE ，交AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O 半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.F B DE O A C。
切线长定理课件
练习题1的解答：利用切 线长定理， CD=AB^2/2*OA=8^2/2* 5=16cm。
总结与回顾
切线长定理是一个重要的几何定理，可以应用于各种实际问题中。通过本课件的学习，你已经了解了切线长度 的定义、切线长定理的表述、应用场景和证明方法。希望你能够运用切线长定理解决更多的问题。
2
基于勾股定理
利用勾股定理和圆的性质，可以得以证明切线长定理。
举例说明切线长定理的应用
建筑设计
通过切线长定理，可以确定建筑 中圆形元素的尺寸和位置，使建 筑更美观。
光学折射
使用切线长定理可以计算光线在 界面上的折射角度，帮助设计光 学仪器。
机械工程
切线长定理
切线长定理是关于切线长度的一个重要定理，可以应用于许多实际问题中。 本课件将介绍切线长度的定义、表述、应用场景以及证明方法。
切线长度的定义
切线是与圆相切于一点且只与圆有此一点的直线。切线长度是指切线与圆的切点之间的距离。
切线长定理的表述
切线长定理指出，在同一个圆上，相同弧所对的切线长度相等。
在机械设计中，切线长定理可以 帮助确定圆形零件的位置和运动 轨迹。
练习题及答案解析
1 练习题1
2 练习题2
3 答案解析
如图所示，在圆O中，AB 是切线，CD是弦， AB=8cm，CD=10cm，求 弦CD的长度。
已知圆O的半径为5cm， 切线AB与弦CD相交于点E， 且AB=7cm，求弦CD的长 度。
切线长定理的应用场景
几何问题
切线长定理可以帮助我们解决关于圆的几何问题，例如确定切点的位置。
物理应用
在光学中，切线长定理可以用于计算光线在界面上的折射与反射。
工程设计
在建筑和机械设计中，切线长定理可以帮助我们确定圆形零件的尺寸和位置。
切线长定理及应用
切线长定理及应用切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在许多实际应用中发挥着重要的作用。
本文将介绍切线长定理的概念、证明以及一些实际应用。
一、切线长定理的概念切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出的切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
换句话说，如果从圆外一点引出一条切线，那么切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
二、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们可以利用几何推理和一些基本的几何定理。
首先，我们可以通过连接圆心、切点和圆上的一个点，构成一个直角三角形。
然后，利用勾股定理和相似三角形的性质，我们可以得出切线长定理的结论。
三、切线长定理的应用切线长定理在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 圆的切线问题：切线长定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，例如确定切线的长度、判断两条切线是否相等等。
2. 几何建模：在几何建模中，切线长定理可以用于计算和确定物体表面的切线长度，从而帮助我们进行准确的建模和设计。
3. 光学问题：在光学问题中，切线长定理可以用于计算光线的传播路径和角度，从而帮助我们理解光的行为和性质。
4. 工程测量：在工程测量中，切线长定理可以用于计算和确定测量点与目标物之间的距离和位置关系，从而帮助我们进行精确的测量和定位。
5. 数学建模：在数学建模中，切线长定理可以用于建立数学模型，从而帮助我们解决各种实际问题，例如物体运动的轨迹、曲线的切线方程等。
总结：切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在圆的切线问题、几何建模、光学问题、工程测量和数学建模等领域都有着广泛的应用。
通过理解和应用切线长定理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的准确性和效率。
切线长定理及应用
切线长定理及应用切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出两条直线与圆相切，这两条直线的切线长相等。
这是一个非常重要的几何定理，其应用广泛，并被用于解决各种与圆相关的问题。
下面我将详细解释切线长定理及其应用。
首先，我们来证明切线长定理。
考虑一个圆C和直线L1与L2，L1和L2分别与圆C相切于点A和点B。
我们需要证明切线长AP等于切线长BP。
假设圆C的半径为r，圆心为O。
连接OA和OB，与切线AP和BP相交于点C 和点D。
根据切线与半径的性质，我们可以发现∠OAB = ∠OBA = 90度（因为OA和OB分别是切线AP和BP所在直线上的半径）。
因此，三角形OAB是等腰直角三角形，所以OA = OB = r。
另外，我们注意到OC = OD （根据切线与直径的性质），以及O为圆心，所以OC = OD = r。
因此，我们可以得出OC = OD = r，OA = OB = r，根据SSS（边-边-边）准则，三角形OAC和三角形OBD是全等的三角形。
根据全等三角形的定义，对应的角相等，因此∠OCA = ∠ODB。
又因为∠OCA =∠OAB（根据直角三角形性质），所以∠OAB = ∠ODB。
考虑直角三角形AOB和三角形BOC，他们共有角∠OBA和∠OAB。
又根据三角形内角和为180度的性质，我们知道∠OAB + ∠OBA + ∠OBA + ∠OCB = 180度（∠OBA + ∠OBA是两个直角）。
将前面得到的∠OAB = ∠OBA代入，我们可以得到2∠OBA + ∠OCB = 180度。
注意到∠OCB是圆心角，且∠BOA是圆周角，如果我们将∠OCB表示为α，将∠BOA表示为β，根据圆周角和圆心角的关系，我们知道α= 2β。
将α= 2β代入之前的等式，我们得到2∠OBA + 2∠OBA = 180度，化简之后得到4∠OBA = 180度，即∠OBA = 45度。
现在，考虑三角形OAB。
我们可以知道∠OAB = 45度，且OB = OA = r。
切线长定理及其应用
切线长定理及其应用知识点一 切线长定义及切线长定理1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.注意切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅（5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一 切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、F ，求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.【过关练习】1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )(1)AB+CD=AD;(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1B.2C.3D.4知识点二 圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。
切线长定理课件
切线长定理的再一个推论
总结词
切线长定理的再一个推论是，若两圆在 同一直线上相切，则它们的切线互相平 行。
VS
详细描述
这个推论是切线长定理的进一步应用。当 两圆在同一直线上相切时，它们的切线不 仅长度相等，而且平行。这个推论在解决 涉及直线和圆的问题时非常有用，特别是 在几何证明和解析几何中。通过掌握这个 推论，学生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，提高解决几何问题的能力。
切线长定理的另一个推论
总结词
切线长定理的另一个推论是，若两圆相切于同一点，则该点的切线与两圆心的连线垂直 。
详细描述
这个推论说明了当两圆在同一点相切时，该点的切线与两圆心的连线之间此，该点的切
线与两圆心的连线互相垂直。这个推论在证明几何定理和解决几何问题时非常有用。
切线长定理在数学、物理、工程等领 域有着广泛的应用，通过学习和掌握 这个定理，我们可以更好地理解和应 用相关领域的知识。
通过本次课件的学习，我们深入了解 了切线长定理的证明过程和实际应用 ，掌握了利用切线长定理解决实际问 题的技巧和方法。
展望
随着数学和其他学科的发展，切线长定理的应用范围将会更加广泛，我 们可以通过不断学习和探索，深入了解这个定理的更多应用和推广。
切线长定理的证明方法二
利用三角形的全等定理进行证明。首先，作辅助线连接圆心和切点，将切线分为两段。然后，根据三角形的全等定理，证明三 角形全等，从而得到切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理的证明方法三
利用向量进行证明。首先，根据向量的数量积公式，向量的数 量积等于两向量的模长乘以其夹角的余弦值。然后，利用切线 的性质，切线和半径垂直，从而夹角为90度。结合数量积公式 ，可以证明切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理及其应用
知识点一切线长定义及切线长定理1. _____________________________________________________ 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和____________________________________________ 之间的线段长叫作这点到圆的切线长注意切线长和切线的区别和联系：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论:(1) △ PAB是等腰三角形；(2) OP 平分△ APB，即△ APO A BPO ；(3) 弧AM=弧BM ;(4)在Rt OAP和Rt OBP中，由AB OP，可通过相似得相关结论;如：OA2 OB2 OE OP, AP2 BP2 PE PO, AE2 BE2 OE EP(5)图中全等的三角形有对，分别是：题型一切线长定理的直接应用【例1】如图所示，AO的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P的两条切线与AO切于点E、F,求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，FA、PB、DE分别切A0于A、B、C, A O的半径长为6 cm, PO= 10 cm,求APDE的周长.切线长定理及其应用【例3】如图所示，△ ABC中，/ C=90 , AC=3 , AB=5 , D为BC边的中点，以AD上一点0为圆心的O0和AB、BC均相切，则O 0的半径为 ______________ .£4【过关练习】1•如图所示，PA、PB是AO的切线，A、B为切点，△ OAB=30°.( 1)求厶APB的度数.(2)当0A=3时,求AP的长•2•如图所示，已知PA、PB、DE分别切e 0于A、B、C三点，AO的半径为5cm, △ PED的周长为24cm , △ APB=50°求：(1) P0 的长；(2) △ EOD 的度数•3•如图，在直角梯形 ABCD 中,AB // CD,AB 丄BC,以BC 为直径的 △ 与AD 相切，点E 为AD 的中点，下列结论 正确的个数是( )B1 2知识点二圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和 __________________ .（如图，即AB+CD=AD+BC ）题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与AO 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。
圆的切线长定理及其推论
圆的切线长定理及其推论一、引言圆是数学中重要的几何概念之一，它具有许多独特的性质和定理。
本文将重点介绍圆的切线长定理及其推论，通过详细的阐述和推导，帮助读者更好地理解和应用这一定理。
二、圆的切线长定理圆的切线长定理是指：若直线与圆相切，则切线的长度等于切点到圆心的距离的平方根乘以2。
证明：设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为圆的半径，切点为P(x₀, y₀)。
设直线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
由于直线与圆相切，所以切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线与圆相切，所以直线只有一个交点，即判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²解得：b=r√(k²+1)由直线方程y=kx+b，可得直线长度为：l=√(1+k²)由此可得切线的长度为：2l=2√(1+k²)即圆的切线长定理成立。
三、圆的切线长定理的推论根据圆的切线长定理，我们可以得出以下推论：推论1：若直线过圆的直径中点，则直线与圆相切。
证明：设直线方程为y=kx+b，过圆的直径中点，则直线过圆心，即切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线过圆的直径中点，所以切点的坐标满足圆的方程，即有：x₀²+y₀²=r²将x₀²+y₀²=r²代入直线方程，得到：(1+k²)x₀²+2kbx₀+b²-r²=0由于直线方程与圆的方程有唯一交点，所以判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²由于直线方程过圆心，即切线的长度为0，所以有：b=0解得：k=0即斜率为0，即直线垂直于x轴，即直线过圆的直径中点。
切线长定理(用)
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
解得
r＝
a＋b－c
2
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的 内切圆的半径 r＝ 或r＝
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
。
2
A
3
B
C
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
A
O
C
D
P
B
E
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
M
试一试
A
P
O
。
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
24.2.4切线长定理
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
推理验证
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. A
证明：∵PA切☉O于点A， O.
P
∴ OA⊥PA.
B
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
24.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. （难点）
讲授新课
一 切线长定理及应用
互动探究
问题1 我们已经学习了过圆上一点作已知圆的切线(如 左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线 呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
想一想：若连结两切点A、B，AB交
A
OP于点M.你又能得出什么新的结论? O. M
并给出证明.
P
OP垂直平分AB.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
想一想：若延长PO交⊙O于点C， A
求证：AB+CD=AD+BC. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O H
分别相切与点E、F、G、H，
G C
O· F
A
EB
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
初中数学 切线长定理的应用有哪些
初中数学切线长定理的应用有哪些
切线长定理是初中数学中与圆相关的一个重要定理，它有广泛的应用。
下面我将详细介绍切线长定理的几个常见应用。
1. 判断切线的长度相等：
-已知一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，判断这两条切线的长度是否相等。
根据切线长定理可得：如果两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
2. 求解切点坐标：
-已知一个圆的方程及一条切线的方程，求解切点的坐标。
根据切线长定理的性质可得：切点的坐标可以通过将切线的方程与圆的方程联立求解得到。
3. 求解切线的斜率：
-已知一个圆的方程及切点的坐标，求解切线的斜率。
根据切线长定理的性质可得：切线的斜率可以通过切点的坐标和圆的方程求解得到。
4. 判断切线与其他直线的关系：
-已知一个圆和一条直线，判断这条直线与圆的关系。
根据切线长定理可得：如果一条直线与圆相交于一个点，并且这个点是圆的切点，那么这条直线是圆的切线。
5. 解决圆的切线问题：
-切线长定理可以用于解决与圆的切线相关的问题。
例如，求解切线的长度、判断切线的存在与位置关系、求解切线与角的关系等。
切线长定理在初中数学中有广泛的应用，可以帮助我们解决与切线和圆相关的问题，判断切线的长度相等、求解切点的坐标和切线的斜率，判断切线与其他直线的关系，以及解决圆的切线问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的性质和运用几何知识进行推理和分析。
希望以上内容能够满足你对切线长定理应用的了解。
圆的切线长定理
圆的切线长定理圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。
这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机图形学等。
本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。
一、圆的切线长定理的表述圆的切线长定理可以用以下方式表述：如果在圆上有一点P，并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点，那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。
即PA * PB = PT^2，其中T是切点。
二、圆的切线长定理的证明要证明圆的切线长定理，可以使用几何推理和三角关系。
设圆的半径为r，圆心为O，切点为T，切线与圆心连线为OT。
连接OA、OB，得到△OAT和△OBT两个直角三角形。
由正弦定理可得：sin∠OAT = r / OTsin∠OBT = r / OT又因为∠OAT和∠OBT是互余角（补角），即∠OAT + ∠OBT = 90°，所以sin∠OAT = cos∠OBT。
将上述两个等式代入PA * PB = PT^2，得到：r * r = PA * PB因此，圆的切线长定理得证。
三、圆的切线长定理的应用圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。
以下是一些具体应用：1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。
如果已知圆的半径和切线与圆的位置，可以通过切线长定理计算切线的长度。
2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。
通过已知切点和切线长度，可以确定切线的位置，从而求解与圆相切的直线方程。
3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。
通过已知切线长度和切点，可以计算切线与圆心连线的长度。
4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。
例如，判断两个圆是否相切，可以通过切线长定理计算切线的长度，从而判断圆是否相切。
圆的切线长定理是几何学中的重要定理，它描述了切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置的关系。
通过应用该定理，我们可以解决各种与圆相关的问题，从而推动几何学的发展和应用。
小专题(十四) 切线长定理的变式与应用
小专题(十四) 切线长定理的变式与应用类型1 “单个”切线长定理方法归纳：通常利用切线长相等以及圆外这点与圆心的连线平分两切线的夹角解决问题．1．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，若OP ＝4，PA ＝23，则∠APB 的度数为(A )A ．60°B ．90°C ．120°D ．无法确定类型2 “两个”切线长定理方法归纳：常常利用圆心与圆外两点构成直角三角形解决问题．2．已知：如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，且AB ∥CD ，BO ＝6，CO ＝8，求OF 的长．解：∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，∴∠EOB ＝∠BOF ，∠COF ＝∠COG ，OF ⊥BC.∵AB ∥CD ，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°.又∵BO ＝6，CO ＝8，∴BC ＝10.∵S △BOC ＝12OB·OC ＝12BC·OF ， ∴OF ＝245.类型3 “三个”切线长定理方法归纳：如图1中，有结论△PDE 的周长＝2PA ＝2PB.如图2中，有结论AE ＝AF ＝b ＋c －a 2；BF ＝BD ＝a ＋c －b 2；CD ＝CE ＝a ＋b －c 2. 特殊的，如图3，当∠C ＝90°时，r ＝a ＋b －c 2(或ab a ＋b ＋c)．3．如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C.若AD＝8，则△ABC的周长是(C)A．8 B．10C．16 D．不能确定4．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4 cm，则Rt△MBN的周长为8_cm．5．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，且AC＝13，AB＝12，∠ABC＝90°，求⊙O的半径长．解：在Rt△ABC中，∵AC＝13，AB＝12，∴BC＝132－122＝5.∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别切于点D，E，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD＝OE.又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEOD为正方形．∴BD＝BE＝OD.设⊙O的半径长为r，则BE＝BD＝r，AD＝AB－BD＝12－r，CE＝BC－BE＝5－r，∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，∴AF＝AD＝12－r，CF＝CE＝5－r.∴12－r＋5－r＝13.解得r＝2.即⊙O的半径长为2.类型4“四个”切线长定理方法归纳：圆的外切四边形的两组对边的和相等．6．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(D)A．8 B．9 C．10 D．11。
直线与圆的位置关系切线长定理
直线与圆的位置关系切线长定理在几何学中，直线与圆的位置关系一直是一个重要的研究课题。
其中，切线长定理是直线与圆的位置关系中的一个重要定理，它在解决直线与圆的位置关系问题时起着至关重要的作用。
本文将介绍切线长定理的定义、推导过程及其应用。
一、切线长定理的定义切线长定理是指直线与圆的位置关系中，一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度关系。
具体来说，切线长定理可以表述为：一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度平方等于切点到圆心的距离的平方减去圆的半径的平方。
切线长定理可以用公式表示为：PT^2 = PC^2 - r^2其中，PT表示切线与切点之间的长度，PC表示切点到圆心的距离，r表示圆的半径。
二、切线长定理的推导切线长定理的推导可以通过几何方法和代数方法来进行。
这里我们将介绍一种代数方法的推导过程。
假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。
直线的方程为y = kx + c，其中k为直线的斜率，c为直线的截距。
首先，我们要找到直线与圆相切的条件。
直线与圆相切的条件是直线与圆的切点只有一个，也就是直线与圆的方程组有且只有一个解。
将直线方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程：(x-a)^2 + (kx+c-b)^2 = r^2解这个方程，得到直线与圆相切的条件：Δ = (k^2+1)(c-b)^2 - (1+k^2)(a^2+b^2-r^2) = 0其中，Δ为方程的判别式。
当Δ=0时，直线与圆相切。
接下来，我们要求出切线与切点之间的长度。
设直线与圆的切点为P(x0, y0)，则切点到圆心的距离为：PC^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2切线与切点之间的长度为：PT^2 = (x-x0)^2 + (y-y0)^2将直线方程代入PT^2的表达式中，得到：PT^2 = (x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2将PT^2和PC^2代入切线长定理的公式中，得到：(x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2 - r^2 化简上式，得到切线长定理的公式：PT^2 = PC^2 - r^2三、切线长定理的应用切线长定理在解决直线与圆的位置关系问题时起着重要作用。
《切线长定理》
与其他几何定理的区别
切线长定理是一个关于圆的定理，而其他几 何定理可能涉及不同的图形和结构。
05
切线长定理的现实意义和 价值
在教育中的意义和价值
要点一
强化几何概念的理解
切线长定理是几何学中的基本定理之一，对于学生理解 几何概念，尤其是与圆和切线相关的概念有重要帮助。
要点二
培养逻辑推理能力
通过证明和应用切线长定理，可以培养学生的逻辑推理 和证明能力，提高其思维严谨性。
切线长定理在其他领域的应用
物理学
在物理学中，切线长定理可以用于解决与 速度、加速度和力相关的物理问题。
工程学
在工程学中，切线长定理可以用于解决与 图形、结构和力学相关的设计问题。
与其他数学定理的关系和区别
与圆的性质定理的关系
切线长定理是圆的性质定理的一个推论，它 可以用于证明其他与圆有关的定理。
评价
切线长定理是几何学中的基础定理之一，它揭示了圆的 切线与半径之间的关系，为解决许多几何问题提供了重 要的工具。
未来研究的方向和展望
研究方向
在未来的研究中，可以进一步探讨切线长定理的应用，例如在三角函数、极坐标 系、光学、工程等领域的应用。同时，可以研究切线长定理与其他几何定理之间 的联系和区别。
展望
随着科学技术的发展，几何学的研究和应用将会更加深入和广泛。未来可以期待 在应用领域取得更多的突破，例如在计算机图形学、机械设计、建筑设计等领域 的应用。同时，对于切线长定理本身的研究也可以进一步深化和完善。
感谢您的观看
THANKS
在工程学中的应用
设计中的黄金分割原理 建筑学中的结构分析和优化
机械工程中的传动和润滑系统设计
04
切线长定理的推广和扩展
《切线长定理》教学课件
PART 04
切线长定理的拓展
REPORTING
WENKU DESIGN
相关定理的介绍
切线长定理
切线与弦的性质定理
切线长定理是几何学中的一个基本定 理，它指出从圆外一点引圆的两条切 线，它们的切线长相等。
定理内容
切线长定理的内容是，一个三角 形的三条外接圆的切线长度相等 。
重要性及应用
重要性
切线长定理是几何学中的基础定理之 一，它在证明其他几何定理、解决几 何问题以及理解几何概念等方面具有 重要作用。
应用
切线长定理在几何学、三角学、解析 几何等领域都有广泛的应用，例如在 解决三角形面积问题、三角形外接圆 问题等方面都有重要的应用。
切线与弦的性质定理是关于切线与弦 的关系的定理，它包括切线与弦的距 离、切线与弦的平行关系等。
切线性质定理
切线性质定理是关于切线的性质和性 质的定理，它包括切线的性质、切线 与半径的关系等。
相关定理的证明
切线长定理的证明
切线长定理可以通过圆周角定理、三角形中位线定理等几何定理 进行证明。
切线性质定理的证明
定理的推论
总结词：丰富多样
详细描述：根据切线长定理，我们可以推导出多个重要的几何结论。例如，当两个圆相切时，它们的切线长度相等；当一个 圆与一个直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；当一个圆与一个斜线相切时，圆心到斜线的垂足与圆心和切点的连 线形成一个直角三角形等。
PART 03
切线长定理的应用
定理证明
切线长定理可以通过勾股定理进行 证明，利用圆的性质和勾股定理的 逆定理来推导。
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例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆 的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作 ⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝ 10cm， 求△PED的周长。 A O F B
D
P
E
数学探究 思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？ 你还能得出什么结论？ A
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
D
A
abc r . 2
●
O
┓
┗ F
B
E
C
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为 a,b,c. A 求内切圆⊙O的半径r. D F
●
O
2S r . abc
A
E O
Q
P F B
知识拓展 4.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半 径是_______. 1 5.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为 1cm,则此三角形的周长是_______. 22cm
知识小结 直角三角形的外接圆与内切圆AAbFra bibliotekC B
c
O B
a 斜边中点 ， 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________ 斜边的一半 半径为___________. 三角形内部， 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________ a+b-c 半径r=___________. 2
切线长定理
数学探究 如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条 切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A 重合的点为B。 A 问题： O 1.OB是⊙O的一条半径吗？
2.PB是⊙O的切线吗？
3.PA、PB有何关系？
P
B
4.∠APO和∠BPO有何关系？
数学探究 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长叫做切线长。 A
A
D
O
E
三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。 B
F
C
（1）找出图中所有相等的线段 N D C DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM P O M
A
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O 分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边 的关系。
F
B
7
D
例3、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N， 求证：AB+CD=AD+BC。 D M C
N
O A P Q
B
思考
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I
D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心
试一试：如图△ABC中，∠C＝90，AC＝6， BC＝8，三角形三边与⊙O均相切，切点分别 是D、E、F，求⊙O的半径。
A F
D C E O B
巩固练习：
1、如图，一圆内切于四边形ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形的周长为( ) （A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56
D C
C
课前训练 1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、 B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 A OA的长.
E
O
C B
D
P
知识拓展 2.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线， PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为 切点。求证：AC=BD A C O· D B P
A D E O
B
C
A
A
b
C B
c
O B
a 斜边中点 ， 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________ 斜边的一半 半径为___________. 三角形内部， 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________ a+b-c 半径r=___________. 2
C
知识拓展 3.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线， 交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°, 求：△PEF的周长和∠EOF的大小。
· O ·
B
·
P
切线长和切线的区别和联系:
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上 的一条线段的长，可以度量。
· O ·
B
A
·
P
切线长定理 从 圆外一点可以引 圆的两条切线， 它们的切线长相 等，这一点和圆 心的连线平分两 条切线的夹角。
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为 ⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO 求证： PA PB, APO BPO
（3）图中全等三角形
3
对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长 为 cm，两切线的夹角等于 60 度
3 3
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， 试求半径OA的长。
E
A
x
O C D
P
B
PA2 OA2 OP2
即：4
2
x
2
x 2
2
解得： x=
3cm
半径OA的长为3cm
C
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。 A O F B E D P
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果 AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11cm, AC= 6cm AB= 9cm 2 A E 4 C
一、判断
练习
）
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 二、填空 (1)如图PA、PB切圆于A、B两点， APB 50 连结PO，则 APO 25 度。 A O P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
13﹣x
9﹣ x
随堂训练 1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °, 点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。 A
O
1 ∠ BOC= 90°+ ∠ A 2
B
C
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内 心，求∠ BOC的度数。
知识拓展 拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆
（2）填空：AB+CD = AD+BC B L （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点 为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝ 13cm。求AF，BD，CE。
· O ·E
B
·
P
已知：如图PA、PB是⊙ O的两 条切线，A、B为切点。直线OP 交⊙ O于D、E，交AB于C。 E
A P
O C D
（1）图中互相垂直的关系 3 有 B 对，分别是 OA PA, OB PB, OP AB （2）图中的直角三角形有 6 等腰三角形有 2 个，分别是
个，分别是
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． A
O B P
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
1 S r a b c . 2
B
E
┓
C
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为—— 3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
例题选讲 例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。 x E A x O F 9﹣ x B D 13﹣x C
A
B
3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
A E
D
K F
B
C
4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC， AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于 E．已知AB=8，边BC比AD大6， 求边AD、BC的长。
A
O P
M B
C
试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA， PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。 ∠C＝50， ①求∠APB的度数 ②求证：AC∥OP。 A C O B
P
试一试：如图1，一个圆球放置在V形架中。图 2是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线， 切点分别是A、B。如果⊙O的半径为 cm 2 ， 3 且AB=6cm，求∠ACB。 O A B
x F y
B O
解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则 A AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm x+y=13