切线长定理及其应用

切线长定理及其应用
知识点一 切线长定义及切线长定理
1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.
注意切线长和切线的区别和联系:
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。

2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.
推论：
（1）△PAB 是等腰三角形；
（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；
（3）弧AM=弧BM ；
（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；
如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅
（5）图中全等的三角形有
对，分别是：
题型一 切线长定理的直接应用
【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、
F ，求这两条切线的夹角及切线长.
【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．
【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.
【过关练习】
1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.
2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.
3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )
(1)AB+CD=AD;
(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1
B.2
C.3
D.4
知识点二 圆外切四边形
1、四边形的内切圆定义：
四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.
2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和
.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算
【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。

【例2】圆外切四边形相邻三边的比是3:4:5，四边形的周长是48，则四边形各边的长是多少？
【例3】如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别于△O相切于E、F、G三点，过点D作△O的切线交BC于点M，切点为N，则DM 的长为.
【过关练习】
1.如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（）
A．50B．52C．54D．56
2.如图，△O的外切梯形ABCD中，若AD△BC，那么△DOC的度数为（）
A．70°B．90°C．60°D．45°
课后练习
【补救练习】
1.如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（）
A.150°
B.130
C.155°
D.135°
2.如图，PA、PB是△O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2，那么△AOB等于（）A．90°B．100°C．110°D．120°
3、如图所示，PA、PB分别切△O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，△APB=30°，则△ACB=（）
4、如图，PA、PB、DE分别切△O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到△O的切线长为8cm，则Δ PDE的周长为（）
A. 16cm
B. 14cm
C.12cm
D.8cm
5、圆外一点P，引PA、PB分别切△O于点A、B，C为优弧AB上一点，若△ACB=α，则△APB=.
6、如图所示，PA、PB是△O的两条切线，A，B为切点，求证：2△ABO=△APB.
7、如图所示，四边形ABCD外切于△O，且AB=16，CD=10，求四边形ABCD的周长.
【巩固练习】
1、从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离是.
2、如图所示，AB是△O的直径，点C为△O外一点，CA，CD是△O的切线，A，D为切点，连接BD、AD，若△ACD=30°，则△DBA大小是（）
A.15°
B.30°
C.60°
D.75°
3、如图1，一个圆球放置在V型架中，图2是它的平面示意图，CA、CB都是△O的切线，切点分别是A、
B，如果△O
4、如图所示，EB、EC是△O的两条切线，B、C是切点，A、D是△O上两点，如果△E=46°，△DCF=32°，求△A的度数.
6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC 比AD大6，求边AD、BC的长。

7、如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数.
8、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。

∠C＝50，
①求∠APB的度数②求证：AC∥OP。

【拔高练习】
1、如图,P为△O的直径BA延长线上的一点,PC与△O相切,切点为C,点D是△O上一点,连接PD.已知
PC=PD=BC.下列结论:(1)PD与△O相切;(2)四边形PCBD是菱形;(3)PO=AB;(4)△PDB=120°.
其中正确的个数为()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
2、如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆△O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（）
A．5B．10C．7.5D．4
3、已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC=FE；
④CE•FB=AB•CF．其中正确的只有（）
A．①②B．②③④C．①③④D．①②④
4、如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）
A．12 B．24 C．8 D．6
5、如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P为（）A．35°B．45°C．60°D．70°
6、如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC 与⊙O的交点，连接AF。

（1）求证：CB是⊙O的切线。

（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积。