切线长定理及其应用

切线长定理及其应用

知识点一 切线长定义及切线长定理

1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.

注意切线长和切线的区别和联系:

切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。

2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.

推论：

（1）△PAB 是等腰三角形；

（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；

（3）弧AM=弧BM ；

（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；

如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅

（5）图中全等的三角形有

对，分别是：

题型一 切线长定理的直接应用

【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、

F ，求这两条切线的夹角及切线长.

【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．

【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.

【过关练习】

1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.

2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.

3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )

(1)AB+CD=AD;

(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1

B.2

C.3

D.4

知识点二 圆外切四边形

1、四边形的内切圆定义：

四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.

2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和

.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算

【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。

【例2】圆外切四边形相邻三边的比是3:4:5，四边形的周长是48，则四边形各边的长是多少？

【例3】如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别于△O相切于E、F、G三点，过点D作△O的切线交BC于点M，切点为N，则DM 的长为.

【过关练习】

1.如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（）

A．50B．52C．54D．56

2.如图，△O的外切梯形ABCD中，若AD△BC，那么△DOC的度数为（）

A．70°B．90°C．60°D．45°

课后练习

【补救练习】

1.如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（）

A.150°

B.130

C.155°

D.135°

2.如图，PA、PB是△O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2，那么△AOB等于（）A．90°B．100°C．110°D．120°

3、如图所示，PA、PB分别切△O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，△APB=30°，则△ACB=（）

4、如图，PA、PB、DE分别切△O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到△O的切线长为8cm，则Δ PDE的周长为（）

A. 16cm

B. 14cm

C.12cm

D.8cm

5、圆外一点P，引PA、PB分别切△O于点A、B，C为优弧AB上一点，若△ACB=α，则△APB=.

6、如图所示，PA、PB是△O的两条切线，A，B为切点，求证：2△ABO=△APB.

7、如图所示，四边形ABCD外切于△O，且AB=16，CD=10，求四边形ABCD的周长.

【巩固练习】

1、从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离是.

2、如图所示，AB是△O的直径，点C为△O外一点，CA，CD是△O的切线，A，D为切点，连接BD、AD，若△ACD=30°，则△DBA大小是（）

A.15°

B.30°

C.60°

D.75°

3、如图1，一个圆球放置在V型架中，图2是它的平面示意图，CA、CB都是△O的切线，切点分别是A、

B，如果△O

4、如图所示，EB、EC是△O的两条切线，B、C是切点，A、D是△O上两点，如果△E=46°，△DCF=32°，求△A的度数.

6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC 比AD大6，求边AD、BC的长。

7、如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数.

8、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。∠C＝50，

①求∠APB的度数②求证：AC∥OP。