切线长定理的应用
初中数学第六册切线长定理应用教案
初中数学第六册切线长定理应用教案是数学教学中比较重要的一部分，也是初中数学中比较难理解的一些知识点之一。
本篇文章将介绍有关切线长定理应用的教案，以帮助初中学生更好地理解并掌握这一知识点。
一、教学目标1、掌握切线长定理的基本概念和性质。
2、理解切线长定理的应用。
3、通过教学案例，让学生掌握切线长定理在实际问题中的运用方法。
二、教学内容本文的教学内容是初中数学第六册中有关切线长定理应用教案。
1、基本概念（1）圆的切线以点P为圆心，以PA（A为圆上任意一点）为半径作圆，与圆交于点B、C，则线段BC称为圆的切线。
（2）切线长定理切点P与切线上的两点A、B连线所组成的线段AB的长度相等，即PA=PB。
2、应用（1）两圆内切或外切若两圆内切或外切，则连接两圆切点，该线段即为两圆的外公切线或内公切线，其长度为两圆半径之差或之和。
（2）直线和圆的位置关系当一条直线与一个圆相交时，其切点到该圆心的距离等于该切点到该直线的距离。
（3）切线及切点的坐标在平面直角坐标系内，圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中（a,b）为圆心坐标，r 为半径。
则此圆上定点 M(x1, y1) 与圆上某点 P 的切线方程为：x1(x-x2)+y1(y-y2)=r²。
点P的坐标可用切线方程解得。
三、教学方法1、讲授法通过讲解切线长定理的基本概念和性质，配合实例让学生掌握切线长定理的应用方法和应用场景。
2、练习法通过练习题让学生进行切线长定理的应用练习，加深他们对该知识点的理解和掌握程度。
3、自学法给学生自学材料，有选择性地进行答疑和提问，组织学生讨论，使学生掌握切线长定理的应用方案。
四、教学重点难点1、切线长定理的基本概念和性质。
2、切线长定理在实际应用中的应用方式和技巧。
五、教学效果评估1、测验法对学生进行课后测验，测试他们对该知识点的掌握水平。
2、回顾法在下一次课堂上，让学生回顾切线长定理的应用情况，巩固他们的应用能力。
切线长定理及应用
A L B （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点
为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝
13cm。求AF，BD，CE。
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
O
P
B
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O 于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______.
O
A
B
C
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。
AD
OF
P
E B
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果 AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11cm,
AC= 6cm
AB= 9cm
A
2 F
E 4
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——
3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
例题选讲
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
x A x F 9﹣x
求证： PA PB, APO BPO
一、判断
初中数学第六册切线长定理用途教案
我们先来看看初中数学第六册中介绍的切线长定理是什么？切线长定理是指，如果在圆内任取一点P作一条直线与圆相交，交点分别为A、B，则AP、BP的乘积等于切线BC的平方，即AP × BP = BC^2。
接下来，我们来探讨一下切线长定理在实际生活中有哪些用途。
一、建筑工程
在建筑工程中，切线长定理常被应用于圆柱体的斜侧面上。
以一根圆柱形的管为例子，从管的一侧用尺子量出管径D，再从管的对边上，延长一条与对边平行的线段，用尺子测出该线段的长度L，那么根据切线长定理，我们就可以求出管的斜侧面长度H了。
H=√(L^2 - D^2)
切线长定理的应用，能够非常准确地计算出斜侧面长度，从而更好地指导建筑工程的完成。
二、机械制造
在机械制造中，切线长定理也有着重要的应用。
例如，在汽车发动机的齿轮齿条连接处，就需要应用到切线长定理。
由于齿轮锥与齿条倾角不同，因此需要利用切线长定理来计算出锥齿轮齿高。
通过计算锥齿轮齿高，我们可以精确的控制汽车的齿轮连接处，保证其工作的可靠性和稳定性。
三、科学研究
切线长定理在科学研究中也有着重要的应用。
例如，在医学领域中，我们利用切线长定理，可以计算出人体血液的流速。
当血管壁发生了弯曲，就会形成一个圆弧，我们可以利用切线长定理计算出这个圆弧上的切线长，搭配计时器，就能精确地计算出血液在圆弧上的流速了。
切线长定理在生活和科学研究中的应用是十分广泛的，它不仅解决了生活中的实际问题，还帮助我们更好地认识到圆形和直线的关系，为我们的学习和工作提供了很好的指导。
切线长定理课件
练习题1的解答：利用切 线长定理， CD=AB^2/2*OA=8^2/2* 5=16cm。
总结与回顾
切线长定理是一个重要的几何定理，可以应用于各种实际问题中。通过本课件的学习，你已经了解了切线长度 的定义、切线长定理的表述、应用场景和证明方法。希望你能够运用切线长定理解决更多的问题。
2
基于勾股定理
利用勾股定理和圆的性质，可以得以证明切线长定理。
举例说明切线长定理的应用
建筑设计
通过切线长定理，可以确定建筑 中圆形元素的尺寸和位置，使建 筑更美观。
光学折射
使用切线长定理可以计算光线在 界面上的折射角度，帮助设计光 学仪器。
机械工程
切线长定理
切线长定理是关于切线长度的一个重要定理，可以应用于许多实际问题中。 本课件将介绍切线长度的定义、表述、应用场景以及证明方法。
切线长度的定义
切线是与圆相切于一点且只与圆有此一点的直线。切线长度是指切线与圆的切点之间的距离。
切线长定理的表述
切线长定理指出，在同一个圆上，相同弧所对的切线长度相等。
在机械设计中，切线长定理可以 帮助确定圆形零件的位置和运动 轨迹。
练习题及答案解析
1 练习题1
2 练习题2
3 答案解析
如图所示，在圆O中，AB 是切线，CD是弦， AB=8cm，CD=10cm，求 弦CD的长度。
已知圆O的半径为5cm， 切线AB与弦CD相交于点E， 且AB=7cm，求弦CD的长 度。
切线长定理的应用场景
几何问题
切线长定理可以帮助我们解决关于圆的几何问题，例如确定切点的位置。
物理应用
在光学中，切线长定理可以用于计算光线在界面上的折射与反射。
工程设计
在建筑和机械设计中，切线长定理可以帮助我们确定圆形零件的尺寸和位置。
切线长定理及应用
切线长定理及应用切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在许多实际应用中发挥着重要的作用。
本文将介绍切线长定理的概念、证明以及一些实际应用。
一、切线长定理的概念切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出的切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
换句话说，如果从圆外一点引出一条切线，那么切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
二、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们可以利用几何推理和一些基本的几何定理。
首先，我们可以通过连接圆心、切点和圆上的一个点，构成一个直角三角形。
然后，利用勾股定理和相似三角形的性质，我们可以得出切线长定理的结论。
三、切线长定理的应用切线长定理在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 圆的切线问题：切线长定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，例如确定切线的长度、判断两条切线是否相等等。
2. 几何建模：在几何建模中，切线长定理可以用于计算和确定物体表面的切线长度，从而帮助我们进行准确的建模和设计。
3. 光学问题：在光学问题中，切线长定理可以用于计算光线的传播路径和角度，从而帮助我们理解光的行为和性质。
4. 工程测量：在工程测量中，切线长定理可以用于计算和确定测量点与目标物之间的距离和位置关系，从而帮助我们进行精确的测量和定位。
5. 数学建模：在数学建模中，切线长定理可以用于建立数学模型，从而帮助我们解决各种实际问题，例如物体运动的轨迹、曲线的切线方程等。
总结：切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在圆的切线问题、几何建模、光学问题、工程测量和数学建模等领域都有着广泛的应用。
通过理解和应用切线长定理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的准确性和效率。
切线长定理及应用
切线长定理及应用切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出两条直线与圆相切，这两条直线的切线长相等。
这是一个非常重要的几何定理，其应用广泛，并被用于解决各种与圆相关的问题。
下面我将详细解释切线长定理及其应用。
首先，我们来证明切线长定理。
考虑一个圆C和直线L1与L2，L1和L2分别与圆C相切于点A和点B。
我们需要证明切线长AP等于切线长BP。
假设圆C的半径为r，圆心为O。
连接OA和OB，与切线AP和BP相交于点C 和点D。
根据切线与半径的性质，我们可以发现∠OAB = ∠OBA = 90度（因为OA和OB分别是切线AP和BP所在直线上的半径）。
因此，三角形OAB是等腰直角三角形，所以OA = OB = r。
另外，我们注意到OC = OD （根据切线与直径的性质），以及O为圆心，所以OC = OD = r。
因此，我们可以得出OC = OD = r，OA = OB = r，根据SSS（边-边-边）准则，三角形OAC和三角形OBD是全等的三角形。
根据全等三角形的定义，对应的角相等，因此∠OCA = ∠ODB。
又因为∠OCA =∠OAB（根据直角三角形性质），所以∠OAB = ∠ODB。
考虑直角三角形AOB和三角形BOC，他们共有角∠OBA和∠OAB。
又根据三角形内角和为180度的性质，我们知道∠OAB + ∠OBA + ∠OBA + ∠OCB = 180度（∠OBA + ∠OBA是两个直角）。
将前面得到的∠OAB = ∠OBA代入，我们可以得到2∠OBA + ∠OCB = 180度。
注意到∠OCB是圆心角，且∠BOA是圆周角，如果我们将∠OCB表示为α，将∠BOA表示为β，根据圆周角和圆心角的关系，我们知道α= 2β。
将α= 2β代入之前的等式，我们得到2∠OBA + 2∠OBA = 180度，化简之后得到4∠OBA = 180度，即∠OBA = 45度。
现在，考虑三角形OAB。
我们可以知道∠OAB = 45度，且OB = OA = r。
切线长定理及其应用
切线长定理及其应用知识点一 切线长定义及切线长定理1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.注意切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅（5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一 切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、F ，求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.【过关练习】1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )(1)AB+CD=AD;(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1B.2C.3D.4知识点二 圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。
切线长定理课件
切线长定理的再一个推论
总结词
切线长定理的再一个推论是，若两圆在 同一直线上相切，则它们的切线互相平 行。
VS
详细描述
这个推论是切线长定理的进一步应用。当 两圆在同一直线上相切时，它们的切线不 仅长度相等，而且平行。这个推论在解决 涉及直线和圆的问题时非常有用，特别是 在几何证明和解析几何中。通过掌握这个 推论，学生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，提高解决几何问题的能力。
切线长定理的另一个推论
总结词
切线长定理的另一个推论是，若两圆相切于同一点，则该点的切线与两圆心的连线垂直 。
详细描述
这个推论说明了当两圆在同一点相切时，该点的切线与两圆心的连线之间此，该点的切
线与两圆心的连线互相垂直。这个推论在证明几何定理和解决几何问题时非常有用。
切线长定理在数学、物理、工程等领 域有着广泛的应用，通过学习和掌握 这个定理，我们可以更好地理解和应 用相关领域的知识。
通过本次课件的学习，我们深入了解 了切线长定理的证明过程和实际应用 ，掌握了利用切线长定理解决实际问 题的技巧和方法。
展望
随着数学和其他学科的发展，切线长定理的应用范围将会更加广泛，我 们可以通过不断学习和探索，深入了解这个定理的更多应用和推广。
切线长定理的证明方法二
利用三角形的全等定理进行证明。首先，作辅助线连接圆心和切点，将切线分为两段。然后，根据三角形的全等定理，证明三 角形全等，从而得到切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理的证明方法三
利用向量进行证明。首先，根据向量的数量积公式，向量的数 量积等于两向量的模长乘以其夹角的余弦值。然后，利用切线 的性质，切线和半径垂直，从而夹角为90度。结合数量积公式 ，可以证明切线长的平方等于半径的平方和。
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前石畔学校郭海平
已知一条切线时，常有五个性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
A
B
P
O。
切线长定理
（如图）
教学目标知识目标：
1、理解切线长定理，懂得定理的产生过程；
2、会灵活运用切线长定理探究一些结论，并应
用定理解题。
能力目标：
探求问题，寻求结论
重点：
切线长定理的应用
难点：
定理的探求、延伸
阅读课文P118，思考下列问题：1、什么叫做圆外一点到圆的切线长？
2、切线长定理的内容是什么？
3、这个定理是怎样证明的？
A
B
P
O。
切线长定理
PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB。
P
A
B
O
C
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。
思考：由切线长定理
可以得出哪些结论？
若已知圆的三条切线呢？
A
B
C
D
E
F
设△ABC 的BC=a ，CA=b ，AB=c ，内切圆I 和BC 、AC 、AB 分别相切于点D 、E 、F
.I
x
y
z
y+z=a x+z=b x+y=c
分析：设AF=x ，BD=y ，CE=z
x
y
z
已知：在△ABC 中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，求AF 、BD 和CE 的长。
比一比看谁做得快
.
A
B
C
a
b c r
r =
a+b-c 2
例：直角三角形的两直角边分别是5cm ，
12cm 则其内切圆的半径为
______。
D C
E O
如图：从⊙O 外的定点P 作⊙O
的两条切线，分别切⊙O 于点A
和B ，
⑵∠DOE的大小是定值在弧AB 上任取一点C ，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E 。
试证：⑴△PDE 的周长是定值（PA+PB ）
（∠AOB/2）
若∠P=40°，你能说出∠DOE 的度数吗？
B F 如图：AE 、BF 分别切⊙O 于A 、
B ，且AE∥BF，EF 切⊙O 于
C 。
试证：⑴AB 是⊙O 的直径⑵OE⊥OF
⑶OC 是AE 、BF 的
比例中项⑷若⊙O 的半径为6，点C 分半圆为1：2两部分，求AE 、BF 的长。
若以BF 、BA 所在的直线分别为x 轴、y 轴，B 为原点，请求出EF 所在直线的函数解析式。
x y
B F ⑷若⊙O 的半径为6，点
C 分半圆为1：2两部分，求AE 、BF 的长。
若以BF 、BA 所在的直线分别为
x 轴、y 轴，B 为原点，请求出EF 所在直线的函数解析式。
x
y
D 想一想
圆的外切四边形具有什么性质？
圆的外切四边形的
两组对边的和相等。
例：等腰梯形各边都与⊙O 相切，⊙O 的直径为6cm ，
等腰梯形的腰等于8cm ，则
梯形的面积为_____。
若已知圆的四条切线呢？
8
68
通过这节课的复习，你有什么收获或体会？
关于切线长定理，你还有什么不明白的问题？
P
A
B
O
P
A
B
C O
检测1、填空：已知⊙O的半径为3cm，
点P和圆心O的距离为6cm，经过点
P有⊙ O的两条切线，则切线长为
______cm。
这两条切线的夹角为
_____度。
2、证明题：已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB 为⊙ O 的切线，A和B 是切点，BC是直径求证：AC∥OP 60
证明：连结AB
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB ∠OPA=∠OPB
∴OP⊥AB
又∵BC为⊙O的直径
∴AC⊥AB
∴AC∥OP
⑴P120 2 试证：点D是△PAB的内心
⑵P120 3。