切线长和切线长定理的应用

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初中数学第六册切线长定理用途教案

我们先来看看初中数学第六册中介绍的切线长定理是什么？切线长定理是指，如果在圆内任取一点P作一条直线与圆相交，交点分别为A、B，则AP、BP的乘积等于切线BC的平方，即AP × BP = BC^2。

接下来，我们来探讨一下切线长定理在实际生活中有哪些用途。

一、建筑工程
在建筑工程中，切线长定理常被应用于圆柱体的斜侧面上。

以一根圆柱形的管为例子，从管的一侧用尺子量出管径D，再从管的对边上，延长一条与对边平行的线段，用尺子测出该线段的长度L，那么根据切线长定理，我们就可以求出管的斜侧面长度H了。

H=√(L^2 - D^2)
切线长定理的应用，能够非常准确地计算出斜侧面长度，从而更好地指导建筑工程的完成。

二、机械制造
在机械制造中，切线长定理也有着重要的应用。

例如，在汽车发动机的齿轮齿条连接处，就需要应用到切线长定理。

由于齿轮锥与齿条倾角不同，因此需要利用切线长定理来计算出锥齿轮齿高。

通过计算锥齿轮齿高，我们可以精确的控制汽车的齿轮连接处，保证其工作的可靠性和稳定性。

三、科学研究
切线长定理在科学研究中也有着重要的应用。

例如，在医学领域中，我们利用切线长定理，可以计算出人体血液的流速。

当血管壁发生了弯曲，就会形成一个圆弧，我们可以利用切线长定理计算出这个圆弧上的切线长，搭配计时器，就能精确地计算出血液在圆弧上的流速了。

切线长定理在生活和科学研究中的应用是十分广泛的，它不仅解决了生活中的实际问题，还帮助我们更好地认识到圆形和直线的关系，为我们的学习和工作提供了很好的指导。

郭氏数学-圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

郭氏数学-圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥A B于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

切线长定理课件

练习题1的解答：利用切线长定理， CD=AB^2/2*OA=8^2/2* 5=16cm。
总结与回顾
切线长定理是一个重要的几何定理，可以应用于各种实际问题中。通过本课件的学习，你已经了解了切线长度的定义、切线长定理的表述、应用场景和证明方法。希望你能够运用切线长定理解决更多的问题。
2
基于勾股定理
利用勾股定理和圆的性质，可以得以证明切线长定理。
举例说明切线长定理的应用
建筑设计
通过切线长定理，可以确定建筑中圆形元素的尺寸和位置，使建筑更美观。
光学折射
使用切线长定理可以计算光线在界面上的折射角度，帮助设计光学仪器。
机械工程
切线长定理
切线长定理是关于切线长度的一个重要定理，可以应用于许多实际问题中。本课件将介绍切线长度的定义、表述、应用场景以及证明方法。
切线长度的定义
切线是与圆相切于一点且只与圆有此一点的直线。切线长度是指切线与圆的切点之间的距离。
切线长定理的表述
切线长定理指出，在同一个圆上，相同弧所对的切线长度相等。
在机械设计中，切线长定理可以帮助确定圆形零件的位置和运动轨迹。
练习题及答案解析
1 练习题1
2 练习题2
3 答案解析
如图所示，在圆O中，AB 是切线，CD是弦， AB=8cm，CD=10cm，求弦CD的长度。
已知圆O的半径为5cm，切线AB与弦CD相交于点E，且AB=7cm，求弦CD的长度。
切线长定理的应用场景
几何问题
切线长定理可以帮助我们解决关于圆的几何问题，例如确定切点的位置。
物理应用
在光学中，切线长定理可以用于计算光线在界面上的折射与反射。
工程设计
在建筑和机械设计中，切线长定理可以帮助我们确定圆形零件的尺寸和位置。

切线长定理及应用

切线长定理及应用切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在许多实际应用中发挥着重要的作用。

本文将介绍切线长定理的概念、证明以及一些实际应用。

一、切线长定理的概念切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出的切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

换句话说，如果从圆外一点引出一条切线，那么切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

二、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们可以利用几何推理和一些基本的几何定理。

首先，我们可以通过连接圆心、切点和圆上的一个点，构成一个直角三角形。

然后，利用勾股定理和相似三角形的性质，我们可以得出切线长定理的结论。

三、切线长定理的应用切线长定理在实际应用中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 圆的切线问题：切线长定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，例如确定切线的长度、判断两条切线是否相等等。

2. 几何建模：在几何建模中，切线长定理可以用于计算和确定物体表面的切线长度，从而帮助我们进行准确的建模和设计。

3. 光学问题：在光学问题中，切线长定理可以用于计算光线的传播路径和角度，从而帮助我们理解光的行为和性质。

4. 工程测量：在工程测量中，切线长定理可以用于计算和确定测量点与目标物之间的距离和位置关系，从而帮助我们进行精确的测量和定位。

5. 数学建模：在数学建模中，切线长定理可以用于建立数学模型，从而帮助我们解决各种实际问题，例如物体运动的轨迹、曲线的切线方程等。

总结：切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在圆的切线问题、几何建模、光学问题、工程测量和数学建模等领域都有着广泛的应用。

通过理解和应用切线长定理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的准确性和效率。

切线长定理

切线长定理一．重点：切线长定理及其应用难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．二．1、切线长的概念：经过圆外一点作，这点和之间的线段的长叫做切线长。

2.切线与切线长的区别与联系：3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条，它们的切线长，圆心和这一点的连线 4. 练习（1）如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交⊙O 于D 、E ，交AB 于E ．(1)写出图中所有的垂直关系．(2)写出图中所有的全等三角形．（2）已知：⊙O 的半径为3厘米，点P 和圆心O 的距离为6厘米，经过点P 和⊙O 的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．例题讲解：例1 已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径求证：AC//OPABC OP例2 圆外切四边形的两组对边的和相等．已知：如图，四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA和⊙O 分别相切于L 、M 、N ，P ．求证：AB+CD=AD+BC ．练习：1. 圆内接平行四边形是_____2.圆外切平行四边形是_______ 例题3.如图，某镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。

已知雕塑中心M 到道路三边AC 、BC 、AB 的距离相等，AC ⊥BC ，BC=30米，AC=40米。

请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M 离道路三边的距离有多远？A CB古镇镇商业镇工业区.M弦切角教学重点：弦切角定理及其应用是重点．教学难点：弦切角定理的证明是难点．一．探究1.弦切角的定义：顶点在，一边和圆，另一边和圆的角叫做弦切角。

2. 弦切角定理：弦切角等于 3、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么二．例题例1如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ,AD ⊥CE ,垂足为D 。

求证： AC 平分∠BAD例2、如图，已知AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 点C ,AD ⊥OB ,垂足为D 。

切线长定理及应用

切线长定理及应用切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出两条直线与圆相切，这两条直线的切线长相等。

这是一个非常重要的几何定理，其应用广泛，并被用于解决各种与圆相关的问题。

下面我将详细解释切线长定理及其应用。

首先，我们来证明切线长定理。

考虑一个圆C和直线L1与L2，L1和L2分别与圆C相切于点A和点B。

我们需要证明切线长AP等于切线长BP。

假设圆C的半径为r，圆心为O。

连接OA和OB，与切线AP和BP相交于点C 和点D。

根据切线与半径的性质，我们可以发现∠OAB = ∠OBA = 90度（因为OA和OB分别是切线AP和BP所在直线上的半径）。

因此，三角形OAB是等腰直角三角形，所以OA = OB = r。

另外，我们注意到OC = OD （根据切线与直径的性质），以及O为圆心，所以OC = OD = r。

因此，我们可以得出OC = OD = r，OA = OB = r，根据SSS（边-边-边）准则，三角形OAC和三角形OBD是全等的三角形。

根据全等三角形的定义，对应的角相等，因此∠OCA = ∠ODB。

又因为∠OCA =∠OAB（根据直角三角形性质），所以∠OAB = ∠ODB。

考虑直角三角形AOB和三角形BOC，他们共有角∠OBA和∠OAB。

又根据三角形内角和为180度的性质，我们知道∠OAB + ∠OBA + ∠OBA + ∠OCB = 180度（∠OBA + ∠OBA是两个直角）。

将前面得到的∠OAB = ∠OBA代入，我们可以得到2∠OBA + ∠OCB = 180度。

注意到∠OCB是圆心角，且∠BOA是圆周角，如果我们将∠OCB表示为α，将∠BOA表示为β，根据圆周角和圆心角的关系，我们知道α= 2β。

将α= 2β代入之前的等式，我们得到2∠OBA + 2∠OBA = 180度，化简之后得到4∠OBA = 180度，即∠OBA = 45度。

现在，考虑三角形OAB。

我们可以知道∠OAB = 45度，且OB = OA = r。

切线长和圆与圆的位置关系

切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1．定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1）（2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++；图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。

（1）求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。

解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们分别以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 分别平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。

切线长定理及其应用

切线长定理及其应用知识点一切线长定义及切线长定理1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段长叫作这点到圆的切线长.注意切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。

2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅（5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、F ，求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.【过关练习】1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )(1)AB+CD=AD;(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1B.2C.3D.4知识点二圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和.（如图，即AB +CD =AD +BC ）题型一四边形的内切圆计算【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。

切线的性质定理和判定定理

判定定理1
直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切。通过证明直线与圆的交点唯一，可以判定直线与圆相切。
判定定理2
圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切。利用点到直线的距离公式，可以计算出圆心到直线的距离，进而判定直线与圆的位置关系。
结合多种方法解决复杂问题
在解决复杂问题时，可以结合切线性质定理和判定定理，以及其他数学知识如三角函数、相似三角形等，建立方程或不等式组，逐步求解。
VS
利用直线与圆的公共点的个数来判断。若直线与圆只有一个公共点，则该直线为切线；若有两个公共点，则为割线。
04 判定定理三：切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线
切线的定义
从圆外一点引到圆上的线段，如果它的端点在圆上，则这条线段叫做圆的切线。
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径。
切线长的定义
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长分别是从该点到切点的线段的长度。
它们的切线长相等
切线长定理的表述
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
切线长定理的证明
由于两条切线都垂直于过切点的半径，因此它们与半径构成的直角三角形全等，从而得出切线长相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
01
公共点的存在表明割线与圆有交点，是判定割线与圆位置关系的重要依据。
割线长度大于切线长度
从圆外一点引两条线，一条是切线，一条是割线，则切线长小于割线长。
切线长是指从圆外一点引到圆上的切线段的长度，而割线长则是指从同一点引到圆上的割线段的长度。
割线与圆相切判定方法
利用圆心到直线的距离等于半径来判断。若圆心到直线的距离等于半径，则该直线为切线；若距离大于半径，则为割线。

切线长定理及其应用

知识点一切线长定义及切线长定理1. _____________________________________________________ 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和____________________________________________ 之间的线段长叫作这点到圆的切线长注意切线长和切线的区别和联系：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。

2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论:(1) △ PAB是等腰三角形；(2) OP 平分△ APB，即△ APO A BPO ；(3) 弧AM=弧BM ;(4)在Rt OAP和Rt OBP中，由AB OP，可通过相似得相关结论;如：OA2 OB2 OE OP, AP2 BP2 PE PO, AE2 BE2 OE EP(5)图中全等的三角形有对，分别是：题型一切线长定理的直接应用【例1】如图所示，AO的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P的两条切线与AO切于点E、F,求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，FA、PB、DE分别切A0于A、B、C, A O的半径长为6 cm, PO= 10 cm,求APDE的周长.切线长定理及其应用【例3】如图所示，△ ABC中，/ C=90 , AC=3 , AB=5 , D为BC边的中点，以AD上一点0为圆心的O0和AB、BC均相切，则O 0的半径为 ______________ .£4【过关练习】1•如图所示，PA、PB是AO的切线，A、B为切点，△ OAB=30°.( 1)求厶APB的度数.(2)当0A=3时,求AP的长•2•如图所示，已知PA、PB、DE分别切e 0于A、B、C三点，AO的半径为5cm, △ PED的周长为24cm , △ APB=50°求：(1) P0 的长；(2) △ EOD 的度数•3•如图，在直角梯形 ABCD 中,AB // CD,AB 丄BC,以BC 为直径的 △ 与AD 相切，点E 为AD 的中点，下列结论正确的个数是( )B1 2知识点二圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和 __________________ .（如图，即AB+CD=AD+BC ）题型一四边形的内切圆计算【例1】已知四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与AO 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。

第24章圆-《切线长定理》教案

3.切线长定理的应用：解决与圆的切线长度相关的问题，如求切线长、半径等；
4.实际案例：引入实际生活中与切线长定理相关的例子，如建筑设计、道路规划等。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，通过切线长定理的理解和应用，提升对圆的性质和图形关系的认识；
2.发展学生的逻辑思维和推理能力，通过切线长定理的证明过程，学会运用数学语言和符号进行严谨的ห้องสมุดไป่ตู้证；
(3)提供典型例题，如给定圆的半径和圆外一点，求解切线长度，或给定切线长度和圆外一点，求解圆的半径。
2.教学难点
-几何图形的构建和想象：对于一些空间想象能力较弱的学生，构建切线和圆的关系可能会是一个难点。
-证明过程的逻辑推理：切线长定理的证明涉及到多个几何概念和逻辑推理，学生可能难以理解。
-实际问题的数学建模：将切线长定理应用于解决实际问题时，学生可能不知道如何将现实问题转化为数学模型。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对切线长定理的概念和应用表现出较大的兴趣。通过引入日常生活中的实例，他们能够更好地理解抽象的几何定理。然而，我也注意到在教学中存在一些需要改进的地方。
首先，学生在理解切线长定理的证明过程中，对相似三角形的运用仍存在困难。在今后的教学中，我应更加注重引导学生逐步推导和解释证明步骤，使他们真正理解几何原理。此外，可以适当增加一些变式题目，让学生在不同情境下运用相似三角形的性质，提高他们的灵活运用能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

切线的性质及切线长定理的运用

2121切线的性质及切线长定理的运用新洲区实验中学管慧焰教学目标：1.巩固切线的性质和切线长定理，并能运用其解决相关问题；2.培养学生用综合法、分析法分析解决问题的习惯，提高分析解决问题的能力。

教学过程一、复习切线的性质和切线长定理如图PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，直线PO交AB 与E ,交⊙O 于I 、C ，直线AO 与PB交于点D.1. 垂直关系：OA ⊥PA (DA ⊥PA)，OB ⊥PB ，AB ⊥PO ， AI ⊥AC ，IB ⊥BC ；2.相等的线段：AO=BO=IO=OC ，PA=PB ，AE=BE ，AC=BC ，IA=IB ；3.相等的角：①∠APO=∠BPO=∠BAO=∠ABO =∠APB=∠DOB②∠PAB=∠PBA=∠AOP=∠BOP=∠ACB =2∠IAE=2∠PAI=2∠IBE=2∠PBI =2∠ACP=2∠CAO=2∠BCP=2∠CBO4.相似三角形：①射影定理的相似(4组）；②△DBO ∽△DAP ； ③△PAI ∽△PCA ，△PBI ∽△PCB二、例题选讲例1、如图，在RtΔABC中，∠ACB=900，以AC上一点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB切于点D，与AC的另一个交点为E，BO的延长线交⊙O于F，且CF∥AB。

（1）求∠A的度数；（2）求sin∠ABE的值。

例2、如图，AB为⊙O的直径，PC切⊙O于C，交直线AB与P，D为半圆的中点， CD交AB于E。

（1）求证：PC=PE；（2）例3、如图，在Rt ΔABC 中∠ACB=900，以AC 上一点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AB 切于点D ，与AC 的另一个交点为E ，作CF ⊥AB 于F ，交OB 于G ，P 为半圆⌒CE 的中点，DP 交CE 于M.（1) 求证：CG=OC ；的面积。

求，若CPM ,1325GF 5CG )2(∆==三、课后反思：。

切线长定理的证明及其运用

周长。
易证EQ=EA, FQ=FB,
A
E
O
PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
Q
∴周长为24cm
P
B
F
结论拓展1、
已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、 C、D为切点。求证：AC=BD
A C
O·
P
D B
结论拓展2、
P· ·O
A
P·
·O
问题2、经过圆外一点P，作已知⊙O的切线可以作几条？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
1
O
M2
⌒
P
B
关键是作辅助线~
根据图形判断：猜想图中PA是否等于 PB？∠1与∠2又有什么关系？
已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点；证明：PA=PB, ∠APO=∠BPO A
（3 ）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（判定定理）
证明一条直线是圆的切线的常见的两种方法：
1、“有交点、连半径，证垂直”
2、“无交点、作垂直，证半径”
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
探究问题1：经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？
P ·O
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
A
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB △ACP≌△BCP.
E
O
D
C
P
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)

初中数学切线长定理的应用有哪些

初中数学切线长定理的应用有哪些
切线长定理是初中数学中与圆相关的一个重要定理，它有广泛的应用。

下面我将详细介绍切线长定理的几个常见应用。

1. 判断切线的长度相等：
-已知一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，判断这两条切线的长度是否相等。

根据切线长定理可得：如果两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。

2. 求解切点坐标：
-已知一个圆的方程及一条切线的方程，求解切点的坐标。

根据切线长定理的性质可得：切点的坐标可以通过将切线的方程与圆的方程联立求解得到。

3. 求解切线的斜率：
-已知一个圆的方程及切点的坐标，求解切线的斜率。

根据切线长定理的性质可得：切线的斜率可以通过切点的坐标和圆的方程求解得到。

4. 判断切线与其他直线的关系：
-已知一个圆和一条直线，判断这条直线与圆的关系。

根据切线长定理可得：如果一条直线与圆相交于一个点，并且这个点是圆的切点，那么这条直线是圆的切线。

5. 解决圆的切线问题：
-切线长定理可以用于解决与圆的切线相关的问题。

例如，求解切线的长度、判断切线的存在与位置关系、求解切线与角的关系等。

切线长定理在初中数学中有广泛的应用，可以帮助我们解决与切线和圆相关的问题，判断切线的长度相等、求解切点的坐标和切线的斜率，判断切线与其他直线的关系，以及解决圆的切线问题。

在应用切线长定理时，需要注意定理的性质和运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对切线长定理应用的了解。

切线长与圆与圆的位置关系

切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在通过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1．概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的心里，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1）（2）图（1）中，设a b c ，，别离为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++；图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。

（1）求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。

解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分 ∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们别离以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 别离平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。

直线与圆的位置关系切线长定理

直线与圆的位置关系切线长定理在几何学中，直线与圆的位置关系一直是一个重要的研究课题。

其中，切线长定理是直线与圆的位置关系中的一个重要定理，它在解决直线与圆的位置关系问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍切线长定理的定义、推导过程及其应用。

一、切线长定理的定义切线长定理是指直线与圆的位置关系中，一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度关系。

具体来说，切线长定理可以表述为：一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度平方等于切点到圆心的距离的平方减去圆的半径的平方。

切线长定理可以用公式表示为：PT^2 = PC^2 - r^2其中，PT表示切线与切点之间的长度，PC表示切点到圆心的距离，r表示圆的半径。

二、切线长定理的推导切线长定理的推导可以通过几何方法和代数方法来进行。

这里我们将介绍一种代数方法的推导过程。

假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。

直线的方程为y = kx + c，其中k为直线的斜率，c为直线的截距。

首先，我们要找到直线与圆相切的条件。

直线与圆相切的条件是直线与圆的切点只有一个，也就是直线与圆的方程组有且只有一个解。

将直线方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程：(x-a)^2 + (kx+c-b)^2 = r^2解这个方程，得到直线与圆相切的条件：Δ = (k^2+1)(c-b)^2 - (1+k^2)(a^2+b^2-r^2) = 0其中，Δ为方程的判别式。

当Δ=0时，直线与圆相切。

接下来，我们要求出切线与切点之间的长度。

设直线与圆的切点为P(x0, y0)，则切点到圆心的距离为：PC^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2切线与切点之间的长度为：PT^2 = (x-x0)^2 + (y-y0)^2将直线方程代入PT^2的表达式中，得到：PT^2 = (x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2将PT^2和PC^2代入切线长定理的公式中，得到：(x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2 - r^2 化简上式，得到切线长定理的公式：PT^2 = PC^2 - r^2三、切线长定理的应用切线长定理在解决直线与圆的位置关系问题时起着重要作用。

初三数学切线长定理及其应用知识精讲人教实验版五四制

初三数学切线长定理及其应用知识精讲人教实验版五四制【同步教育信息】一. 本周教学内容：切线长定理及其应用二. 重点、难点：重点：切线长定理以及应用难点：切线长定理的题设、结论三. 具体内容：1. 切线长：经过圆外一点向圆引两条切线，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两切线的夹角。

【典型例题】[例1] 如图，⊙O分别切△ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC=a，CA=b，AB=c，（1）求AD、BE、CF的长；（2）若∠C=90°，求△ABC内切圆半径r。

解：（1）∵⊙O切△ABC三边AB、BC、CA于D、E、F∴AD=AF，BD=BE，CE=CF∴2CF BDACABAFAD--+==2CE BEACAB--+=2BCACAB-+=∵BC=a，CA=b，AB=c∴2acb AD -+ =同理2bca BE -+=2cba CF -+=（2）连结OE、OF∵⊙O与AB、BC切于D、E ∴OE⊥BC，OF⊥AC∵ ∠C=90° ∴ 四边形OECF 为矩形又∵ OE=OF ∴ 四边形OECF 为正方形 ∴ OE=OF=CE=CF由（1）知2cb a CF CE -+== ∴ 内切圆半径2cb a r -+=[例2] 如图，⊙O 切△ABC 的边BC 于D ，切AB 、AC 延长线于E 、F ，△ABC 的周长为18，求AE 。

解：由已知得CF=CD ，BD=BE ，AE=AF ∴ AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD=AB+AC+CF+BE=AE+AF=2AE ∵ △ABC 周长为18 ∴ 92=++=BCAC AB AE[例3] 如图，在ABC Rt ∆中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，DB 为半径作⊙D ，求证：（1）AC 是⊙O 切线；（2）AB+EB=AC 。

《切线长定理》

与其他几何定理的区别
切线长定理是一个关于圆的定理，而其他几何定理可能涉及不同的图形和结构。
05
切线长定理的现实意义和价值
在教育中的意义和价值
要点一
强化几何概念的理解
切线长定理是几何学中的基本定理之一，对于学生理解几何概念，尤其是与圆和切线相关的概念有重要帮助。
要点二
培养逻辑推理能力
通过证明和应用切线长定理，可以培养学生的逻辑推理和证明能力，提高其思维严谨性。
切线长定理在其他领域的应用
物理学
在物理学中，切线长定理可以用于解决与速度、加速度和力相关的物理问题。
工程学
在工程学中，切线长定理可以用于解决与图形、结构和力学相关的设计问题。
与其他数学定理的关系和区别
与圆的性质定理的关系
切线长定理是圆的性质定理的一个推论，它可以用于证明其他与圆有关的定理。
评价
切线长定理是几何学中的基础定理之一，它揭示了圆的切线与半径之间的关系，为解决许多几何问题提供了重要的工具。
未来研究的方向和展望
研究方向
在未来的研究中，可以进一步探讨切线长定理的应用，例如在三角函数、极坐标系、光学、工程等领域的应用。同时，可以研究切线长定理与其他几何定理之间的联系和区别。
展望
随着科学技术的发展，几何学的研究和应用将会更加深入和广泛。未来可以期待在应用领域取得更多的突破，例如在计算机图形学、机械设计、建筑设计等领域的应用。同时，对于切线长定理本身的研究也可以进一步深化和完善。
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THANKS
在工程学中的应用
设计中的黄金分割原理建筑学中的结构分析和优化
机械工程中的传动和润滑系统设计
04
切线长定理的推广和扩展

圆的切线和切线长定理的运用

圆的切线和切线长定理的运用学习目标：（知识与技能）1、理解并掌握切线、切线的判定及其性质。

2、掌握切线长的定理，并能够利用切线长等概念，切线长定理解决有关问题。

3、三角形的内切圆半径r与边长的关系。

（过程与方法）1、通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。

2、通过变式训练，发展学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

重点：灵活运用切线长定理解决相关问题。

难点：切线长定理及其相关知识的综合运用，教法：探究法、归纳法。

学法：学生互动学习，合作探究。

教学过程：活动一：情景导入（九年级上册第97页思考）如图1，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且使圆的面积尽可能的大？1、已知⊙O半径为r,圆心O到直线L的距离为d，当d=r时，直线L与⊙O的位置关系相切2、如图（1）A是⊙O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与⊙O的位置关系是（相切）3、如图（2），PA为⊙O的切线r，切点为A，PA=33，P=30°，则OP= （6）变式：若PA=4，PB=2，则⊙O的半径为（3）（方法总结：已知圆的切线时，常把与圆心连接起来，构造Rt△解题）4、如图，⊙O的半径为1，圆心O在直角三角形的边AB上，沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC相切时，OA= 1 。

变式：当△ABC为等边三解形时，⊙O移动到AC相切时OA等于多少？（332）5、如图（3）PA、PB分别切⊙O于点A、B点C是⊙O上一点，且ABC=65°，则P= （50°）变式一：如图（4），C是⊙O上一动点，P=80°则ABC= （50°或130°）变式二：如图（5）PA、PB分别切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线MN，分别交PA、PB于点M、N，试比较△PMN的周长与PA+PB的大小关系。

变式三：如图（6），PA、PB分别切⊙O于点A、B，点C 是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DE，分别交PA、PB于点D、E，则（1）⊙O是△PDE的（2）若PD=7，PE=9，DE=6，则PA= ，AD= ，BE= 。

切线长和切线长定理的应用

初中数学第六册切线长定理用途教案

郭氏数学-圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理课件

切线长定理及应用

切线长定理

切线长定理及应用

切线长和圆与圆的位置关系

切线长定理及其应用

切线的性质定理和判定定理

切线长定理及其应用

第24章圆-《切线长定理》教案

切线的性质及切线长定理的运用

切线长定理的证明及其运用

初中数学 切线长定理的应用有哪些

切线长与圆与圆的位置关系

直线与圆的位置关系切线长定理

初三数学切线长定理及其应用知识精讲 人教实验版五四制

《切线长定理》

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