切线长定理及其应用

切线长定理及其应用

一、基础知识总结

1.内切圆和内心

定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点,叫做三角形的内心.

总结：判断一个多边形是否有内切圆，就是判断能否找到一个点到各边距离都 相等。

2.直角三角形的内切圆半径与三边关系

（１）一个基本图形；

（２）两个结论：

1）四边形OECF 是正方形

2）r=(a+b-c)∕2或r=ab ∕(a+b+c)

（３）两个方法

代数法（方程思想）；面积法

3.切线长定义：过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段长叫做切线长。

4.切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的交角。

二、典型例题解析

【例1】如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相交于点D 、E 、F ，且AB=9 cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长

D E F O C

B A 112

12902

a b c A B C A B C S s r p a b c p C r a b c ∆∠∠∠==++∠=︒=+-设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径（），其中（）；

（），则（）

【例2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE＝1， CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．

【例3】如图，以等腰ABC

∆中的腰A B为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作⊥，垂足为E．

D E A C

（I）求证：D E为⊙O的切线；

（II）若⊙O的半径为5，60

∠= ，求D E的长．

B A C

【例4】如上图等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是⌒BC的中点．（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线 CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△ BDE的面积．

【例5】 已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使 ∠FCA ＝∠AOE ，交AB 的延长线于点D.

（1）求证：FD 是⊙O 的切线；

（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O 半径的长；

（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.

F B D

E O A C