北京市2014届九年级数学下册 切线长定理的应用课后练习一 新人教版
数学北师大九年级下册(2014年新编)《切线长定理》同步练习1
《切线长定理》同步练习1一、选择题1. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．182. 如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3. 如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点D 、E 、F ，则点O 是△DEF 的 ( ) A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．三条边的垂直平分线的交点4.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°5.一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60 ，则OP =( )A ．50 cmB ．253cmC ．3350cm D ．503cm6．如图1，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）．A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°(1) (2)7．圆外一点P ，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，若∠ACB=a ，则∠APB=（ ） A ．180°-a B ．90°-a C ．90°+a D ．180°-2a二、填空题8. 如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cosB 35=．如果⊙O，且经过点B 、C ，那么线段AO= cm ．9.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且60=∠AEB ，则=∠P _____度．10. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，则△ABC 的周长是 ．11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o，弦ABPB的长为------．三、解答题：12. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．13. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 为⊙O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，则有一下结论：（1）CO ⊥DO ；（2）四边形OFEG 是矩形.试说明理由.14. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长．15. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC的面积．参考答案1. C2. B (提示：②④错误)3. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）4. C5. D6. C7.D8. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50） 9. 3（提示：连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OB OA AO =） os 300=ABAC∴AB=10. ∠P=60011. 760 （提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520 ∴∠DIF=1040 ∵D 、F 是切点 ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900 ∴∠A=1800-1040=760） 12. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)13. 1150 (提示：∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=1300 ∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)14. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=40 14 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30° ∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°． （2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30° 又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝15 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r 2=16 解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯=。
2014-2015学年华师大版九年级数学下册课后练习：切线长定理的应用+课后练习二及详解
学科：数学专题：切线长定理的应用重难点易错点解析题一：题面：直线AB 与⊙O 相切于B 点，C 是⊙O 与OA 的交点，点D 是⊙O 上的动点(D 与B 、C 不重合)，若∠A ＝40°，则∠BDC 的度数是( ).A .25°或155°B .50°或155°C .25°或130°D .50°或130°CABOD 2D 1金题精讲题一：题面：如图，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为_________. 满分冲刺题一：题面：如图，⊙A 与⊙B 外切于点D ，PC ，PD ，PE 分别是圆的切线，C ，D ，E 是切点，若∠CED =x °，∠ECD= y °，⊙B 的半径为R ，则DE 的长度是（） A ．(90)90x R B ．(90)90y R C ．(180)180x R D ．(180)180y R题二：题面：如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若243SDE，求△ABC的周长.CP DO BAE课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：A解析：连接OB .∵直线AB 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥AB ，∴∠ABO ＝90°．当点D 在优弧CB 上时∠BDC 为∠D 1；当点D 在劣弧CB 上时∠BDC 为∠D 2. ∵∠A ＝40°，∴∠AOB ＝90°－∠A ＝50°，∴∠D 1＝21∠AOB ＝25°．∵四边形BD 1CD 2内接于⊙O ，∴∠D 1＋∠D 2＝180°，∴∠D 2＝155°．综上，∠BDC 的度数为25°或155°．∴答案选A .金题精讲题一：答案：6+π解析：不妨设扇形的圆心为O ，内切圆的圆心为O 1，⊙O 1与半径的切点为B ，连接O 1B.∵⊙O 1内切于扇形，∴∠OBO 1=90°，∠O 1OB =30°，∴112OO O B ，即12OA ，解得AO =3，∴扇形的弧长为603180，∴扇形的周长为6+π.满分冲刺题一：答案：B解析：本题考查圆的相关知识，难度较大.根据弧长的计算公式：180n Rp ，可知只要求出∠EBD。
九年级数学切线长定理同步练习含答案
第 2 章 对称图形 —— 圆第 4 课时 切线长定理知识点 切线长定理的应用1． 如图 2－ 5－ 32，PA ，PB 分别切⊙ O 于 A ， B 两点．若∠ P ＝60° ， PA ＝ 2，则弦 AB的长为 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4图 2－ 5－32图 2－ 5－33.如图 2－5－ 33， CD 是⊙ O 的切线 ，切点为 E ， AC ， BD 分别与⊙ O 相切于点 A ， B.如果 CD ＝7， AC ＝ 4，那么 BD 等于 ()A ． 5B ．4C ． 3D ． 23． [教材习题 2.5 第 13 题变式 ]如图 2－ 5－ 34，四边形 ABCD 的边AB ， BC ，CD ， DA 和⊙ O 分别相切．若四边形ABCD 的周长为 20，则 AB ＋ CD 等于 ()A ． 5B ． 8C ． 10D ．12︵4． 已知线段 PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，AB120°， ⊙ O 的半径为 4，则的度数为 线段 AB 的长为 ()A ． 8B ． 43C ． 6 3D ． 83图 2－ 5－34图 2－ 5－35.如图 2－5－ 35， PA， PB 是⊙ O 的切线，A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠P＝ 40°，则∠ BAC 的度数为 ________．6．如图 2－ 5－ 36，PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，∠ AOP ＝50°，则∠PAB ＝ ________°，∠ OPB＝ ________°.图2－ 5－36图2－ 5－377．如图 2－ 5－ 37，PA ， PB， DE 分别切⊙ O 于点 A， B， C，若⊙ O 的半径为5， OP＝13，则△ PDE 的周长为 ________．图2－ 5－388．如图 2－ 5－ 38，P 是⊙ O 的直径 AB 的延长线上一点， PC， PD 分别切⊙ O 于点C，D. 若 PA ＝ 6，⊙O 的半径为 2，则∠ CPD 的度数为 ________．9．如图 2－ 5－ 39，PA ， PB 为⊙ O 的两条切线， A ， B 为切点．若是⊙ O 的半径为5，∠OPA ＝ 30°，求两条切线的夹角∠APB 的度数及切线PA 的长．图2－ 5－39图 2－ 5－40 10． [2016 ·梁溪区一模 ]AB ＝ 4， AD ＝ 5，AD ， AB ， BC 分别与⊙BC 于点 M ，切点为 N ，则 DM 的长为 (O 相切于点)如图2－5－40，在矩形ABCD 中，E，F， G，过点 D 作⊙ O 的切线交139 A. 34 13C. 39D． 2511．如图 2－ 5－ 41， PA， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠ ACB ＝ 70°.求∠ P 的度数．图2－ 5－4112．如图 2－ 5－ 42，△ ABC 的内切圆⊙ O 与 AC ， AB ， BC 分别相切于点D， E， F，且AB ＝5 cm， BC＝ 9 cm， AC ＝ 6 cm，求 AE ， BF 和 CD 的长．图2－ 5－4213．如图 2－ 5－ 43， PA， PB 为⊙ O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，直线 CD 切⊙ O 于点 E.(1)试试究△ PCD 的周长与线段 PA 的数量关系；(2)若∠ P＝α，求∠ COD 的度数．图2－ 5－4314．如图 2－ 5－ 44， AB 是⊙ O 的直径， AM ， BN 分别切⊙ O 于点 A ， B， CD 分别交AM ， BN 于点 D ，C， DO 均分∠ ADC.(1)求证： CD 是⊙ O 的切线；(2)若 AD ＝ 4， BC＝9，求⊙ O 的半径 R.图2－ 5－4415．如图 2－ 5－ 45， PA， PB 分别与⊙ O 相切于点 A ， B，点 M 在 PB 上，且OM ∥ AP， MN ⊥ AP，垂足为 N.(1)求证： OM ＝ AN ；(2)若⊙ O 的半径 R＝ 3， PB＝ 9，求 OM 的长．图2－ 5－ 45详解详析1． B2． C3． C4． B5． 20°[ 剖析 ]∵ PA，PB是⊙ O的切线，A，B为切点，1∴PA ＝ PB，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝2×(180° － 40° )＝ 70° .由 PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，AC 是⊙ O 的直径，得∠ PAC ＝ 90°，∴∠ BAC ＝90° － 70°＝20°. 6． 50 407． 24 [ 剖析 ]∵ PA，PB，DE分别切⊙ O于A，B，C三点，∴AD ＝ CD ， CE＝ BE ， PA＝ PB，OA ⊥ PA.在Rt△ OAP 中，依照勾股定理，得 AP ＝ 12，∴△ PDE 的周长为PD＋ DE＋ PE＝ PD＋ AD ＋ BE ＋ PE＝ 2PA ＝ 24.8． 60°[ 剖析 ] 连接 OC.∵ PA＝ 6，⊙O 的半径为2，∴OP＝ PA － OA ＝4.∵PC， PD 分别切⊙ O 于点 C，D ，∴∠ OPC＝∠ OPD， OC⊥ PC.∵OP＝ 2OC，∴∠ OPC＝ 30°，∴∠ CPD＝60° .9．解：连接 OA ， OB，则 OA ⊥PA， OB ⊥ PB.∵OA ＝ OB ，OP＝ OP，∴Rt△ OAP≌ Rt△ OBP ，∴∠ OPA＝∠ OPB，∴∠ APB ＝2∠ OPA＝ 60° .在Rt△ AOP 中，可求得 OP＝ 2OA ＝ 10，∴PA＝ OP2－ OA 2＝5 3.10． A [剖析 ] 如图，连接 OE， OF，ON ， OG.在矩形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ AB ＝ 4.∵ AD ， AB ，BC 分别与⊙ O 相切于点 E， F，G，∴∠ AEO ＝∠ AFO ＝∠ OFB＝∠ BGO ＝ 90°.又∵ OE＝ OF＝ OG，∴四边形AFOE ，四边形 FBGO 是正方形，∴AF ＝ BF＝ AE ＝ BG ＝2，∴DE ＝ 3.∵ DM 是⊙ O 的切线，∴DN ＝ DE ＝3， MN ＝ MG ，∴CM ＝5－ 2－ MG ＝ 3－ MN.在Rt△ DMC 中， DM 2＝ CD2＋ CM 2，∴ (3＋ MN) 2＝ 42＋ (3－ MN) 2，4 4 13∴MN ＝3，∴ DM ＝ 3＋3＝3.应选 A.11．解：连接 AB.∵AC 是⊙ O 的直径，∴∠ CBA ＝ 90°，∴∠ BAC ＝ 90° －∠ ACB ＝ 20° .∵PA ， PB 是⊙ O 的切线，∴PA ＝ PB，∠ CAP＝ 90°，∴∠ PAB ＝90° － 20°＝ 70°.∵PA ＝ PB，∴∠ PBA ＝∠ PAB ＝ 70°，∴∠ P＝180° －∠ PAB －∠ PBA ＝ 40°.12．解：∵⊙ O 与△ ABC 的三边都相切，∴AE ＝ AD ，BE ＝ BF ，CD ＝ CF.设AE ＝ x cm， BF＝ y cm， CD＝z cm，x＋ y＝ 5，x＝1，{y＋z＝9，) {y＝4，)则 z＋ x＝ 6，解得z＝ 5.即AE ＝ 1 cm， BF＝ 4 cm， CD＝5 cm.13．解： (1) △ PCD 的周长＝ 2PA. 原由以下：∵ PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，CD 切⊙ O 于点 E，∴PA ＝ PB， AC ＝ CE， BD ＝ DE，∴△ PCD 的周长＝ PD＋DE ＋ PC＋ CE＝ PB＋ PA＝ 2PA ，即△ PCD 的周长＝ 2PA.(2)如图，连接 OA， OE， OB.由切线的性质，得OA⊥ PA，OB⊥PB，OE⊥ CD，BD＝DE，AC＝CE.∵OA ＝ OE＝OB ，易证△ AOC ≌△ EOC ，△EOD ≌△ BOD ，∴∠ AOC ＝∠ EOC，∠ EOD＝∠ BOD ，11∴∠ COD ＝∠ EOC＋∠ EOD＝ 2(∠ AOE ＋∠ BOE) ＝ 2∠ AOB.∵∠ P＝α，OA ⊥ PA， OB⊥PB ，∴∠ AOB ＝ 180°－α，1∴∠ COD ＝ 90°－2α.14 解： (1)证明：如图，过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E.∵ AM 切⊙ O 于点 A，∴OA ⊥ AD.又∵ DO 均分∠ ADC ，∴OE＝ OA.∵ OA 为⊙ O 的半径，∴OE 是⊙ O 的半径，∴CD 是⊙ O 的切线．(2) 过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F.∵ AM ，BN 分别切⊙ O 于点 A， B，∴AB ⊥ AD ，AB ⊥ BC，∴四边形 ABFD 是矩形，∴AD ＝ BF ， AB ＝ DF.又∵ AD ＝4， BC ＝ 9，∴ FC＝ 9－ 4＝5.∵AM ，BN ， DC 分别切⊙ O 于点 A ， B， E，∴ AD ＝ DE ，BC＝ CE，∴CD ＝ DE ＋ CE＝AD ＋ BC ＝ 4＋9＝13. 在 Rt△ DFC 中， CD2＝ DF2＋ FC2，∴DF ＝ CD2－ FC2＝ 12，∴AB ＝ 12，∴⊙ O 的半径 R 为 6.15．解： (1) 证明：如图，连接 OA ，则 OA ⊥PA.∵MN ⊥PA ，∴ MN ∥OA.∵OM ∥PA ，∴四边形ANMO 是平行四边形．又∵ MN ⊥ AP，∴?ANMO 是矩形，∴OM ＝AN.(2)如图，连接 OB，则 OB⊥ PB，∴∠ OBM ＝∠ MNP ＝ 90° .∵四边形ANMO 是矩形，∴OA ＝ MN.又∵ OA ＝OB ，∴OB ＝ MN.∵OM ∥AP ，∴∠ OMB ＝∠ MPN ，∴△ OBM ≌△ MNP ，∴ OM ＝ MP.设OM ＝x，则 MP＝ x， AN ＝ x.∵PA ＝ PB＝ 9，∴NP ＝9－ x.在Rt△ MNP 中，有 x2＝ 32＋ (9－ x)2，解得 x＝ 5，即 OM ＝ 5.。
九年级数学下3.7切线长定理课时练习北师大有答案和解释
适用精选文件资料分享九年级数学下 3.7 切线长定理课时练习（北师大有答案和解说）北师大版数学九年级下册第 3 章第 7 节切线长定理同步检测一、选择题 1. 如图，一圆内切四边形 ABCD，且 BC=10，AD=7，则四边形的周长为（） A ．32 B．34 C．36 D．38 答案： B 解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（ 7+10）=34．应选： B．解析：依据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长． 2. 以以以下图， P 为⊙O外一点， PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA、PB于点C、D，若 PA=15，则△ PCD的周长为（） A ．15 B．12 C．20 D．30 答案： D 解析：解答：∵P为⊙O外一点， PA、PB分别切⊙O于 A、B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA、PB于点 C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△ PCD的周长为： PA+PB=30．应选： D．解析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，从而求出答案． 3. 如图，△ ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是此中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线 MN剪下一块三角形（△ AMN），则剪下的△ AMN的周长为（） A ．20cmB．15cmC．10cm D．随直线 MN的变化而变化答案： A 解析：解答：如图：∵△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点 D是此中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F 分别是⊙O 的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．应选：A．解析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，从而得出答案． 4. 如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A ．8 B．9 C．10 D．11 答案：D 解析：解答：∵⊙O内切于四边形 ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．应选： D．解析：依据圆外切四边形的性质对边和相等从而得出 AD的长． 5. 圆外切等腰梯形的一腰长是 8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（） A ．4 B．8 C．12 D．16 答案： D 解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．应选： D．解析：直接利用圆外切四边形对边和相等，从而求出即可． 6. 如图，⊙O是△ ABC的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、 AC上的点，且 DE为⊙O的切线，若△ ABC的周长为 25，BC的长是 9，则△ ADE的周长是（） A ．7 B．8 C．9 D．16 答案： A 解析：解答：∵ AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI=BG， CI=CH，DG=DF，EF=EH．∴BG+CH=BI+CI=BC=9，∴△ ADE 的周长 =AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC 的周长 - （BG+EH+BC）=25- 2×9=7．应选 A．解析：依据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长 -（BG+EH+BC），据此即可求解． 7. 如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B．假如∠ APB=60°， PA=8，那么弦AB的长是（）A ．4 B．8 C．4 D．8 答案：B 解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠ P=60°，∴△ PAB是等边三角形，即 AB=PA=8，应选 B．解析：依据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．8. 如图，PA、PB分别是⊙O 的切线， A、B 为切点， AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（） A．35° B．45° C．60° D．70°答案： D 解析：解答：依据切线的性质定理得∠ PAC=90°，∴∠ PAB=90° - ∠BAC=90° - 35°=55°．依据切线长定理得 PA=PB，所以∠ PBA=∠PAB=55°，所以∠ P=70°．应选 D．解析：依据切线长定理得等腰△ PAB，运用内角和定理求解． 9. 如图， AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠ A=70°，则∠ BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案： C 解析：解答：∵AB、AC是⊙O的两条切线， B、C是切点，∴∠ B=∠C=90°，∠BOC=180° - ∠A=110°．应选 C．解析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10. 如图， PA、PB是⊙O的两条切线，切点是 A、B．假如 OP=4，PA= ，那么∠ AOB等于（） A ．90° B．100° C．110° D．120°答案： D 解析：解答：∵△ APO≌△ BPO（HL），∴∠ AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=2 ：4= ：2，∴∠ AOP=60°．∴∠ AOB=120°．应选 D．解析：由切线长定理知△ APO≌△ BPO，得∠ AOP=∠BOP．可求得 sin ∠AOP=：2，所以可知∠ AOP=60°，从而求得∠ AOB的值． 11. 如图， PA切⊙O于 A，PB切⊙O于 B，OP交⊙O于 C，以下结论中，错误的选项是（）A．∠ 1=∠2 B． PA=PBC．AB⊥OPD． =PC?PO答案： D 解析：解答：连接 OA、OB，AB，∵PA切⊙O于 A，PB切⊙O于 B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ ABP是等腰三角形，∵∠ 1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故 A，B，C正确，依据切割线定理知： =PC? （PO+OC），所以 D错误．应选 D．解析：由切线长定理可判断出 A、B选项均正确．易知△ ABP是等腰三角形，依据等腰三角形三线合一的特色，可求出 AB⊥OP，故 C 正确．而 D选项明显不切合切割线定理，所以 D错误． 12. 如图， P为⊙O外一点， PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA，PB于点 C，D．若 PA=5，则△ PCD的周长和∠ COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+ C．10，90° - ∠P D． 10，90°+ ∠P 答案： C 解析：解答：∵ PA、PB切⊙ O于 A、B，CD切⊙O于 E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△ PCD 的周长 =PD+DE+PC+CE=2PA，即△ PCD的周长 =2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△ AOC≌△ EOC（ SAS），△ EOD≌△ BOD（ SAS），∴∠ AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠ COD=∠AOB，∴∠ AOB=180°- ∠P，∴∠ COD=90°- ∠P．应选： C．解析：依据切线长定理，即可获得 PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长 =2PA；连接 OA、OE、OB依据切线性质，∠ P+∠AOB=180°，再依据 CD为切线可知∠ COD=∠AOB． 13. 圆外切等腰梯形的中位线等于8，则一腰长等于（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：解答：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为 E、H、N、中位线为 MN，∴MN= （AB+CD），依据切线长定理得： DE=DH，CF=CH，而且等腰梯形和圆都是轴对称图形，∴CD=DH+CH=DE+CF=（AB+CD），∴CD=MN，而 MN=8，∴CD=8．应选 C．解析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为 E、H、N、中位线为 MN，依据中位线定理可以获得上下底之和，此后利用切线长定理可以获得一腰长等于中位线，由此即可解决问题． 14. 如图，⊙O为△ ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点 D，E分别为 BC，AC上的点，且 DE为⊙O的切线，则△ CDE 的周长为（） A．9 B．7 C．11 D．8 答案： C 解析：解答：如图：设 AB，AC，BC和圆的切点分别是 P，N，M，CM=x，依据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-，xAN=AP=10-x．则有9-x+10-x=8 ，解得：x=5.5 ．所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．应选：C．解析：设 AB，AC，BC和圆的切点分别是 P，N，M．依据切线长定理得到 NC=MC，QE=DQ．所以三角形 CDE的周长即是 CM+CN的值，再进一步依据切线长定原由三角形 ABC的三边进行求解即可． 15. 已知四边形 ABCD是梯形，且 AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与 AB、AD、CD分别相切于点 E、F、G，圆心 O在 BC上，则 AB+CD与 BC的大小关系是（）A．大于 B ．等于 C．小于 D．不可以确立答案：A解析：解答：连接OF，∵AD是切线，∴OF⊥AD，又∵ AD∥BC，∴AB≥OF，CD≥OF，又∵ AD＜BC，∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．∴AB+CD＞2OF，∵BC=2OF，∴AB+CD＞ BC．应选 A，解析：连接 OF，则 OF是梯形的高，则 AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不可以同时成立，据此即可证得．二、填空题 16. 如图，PA、PB分别切圆 O于 A、B，并与圆 O的切线，分别订交于 C、D，已知△ PCD的周长等于 10cm，则 PA=cm. 答案： 5解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为 E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得： DE=DA，CE=CB；则△ PCD的周长 =PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为： 5．解析：因为 DA、DC、BC都是⊙O的切线，可依据切线长定理，将△PCD的周长变换为PA、PB的长，然后再进行求解． 17. 如图， PA、PB、DE分别切⊙O 于 A、B、C，DE分别交 PA，PB于 D、E，已知 P 到⊙O的切线长为 8cm，那么△ PDE的周长为答案： 16 解析：解答：∵ PA、 PB、DE分别切⊙O 于 A、 B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△ PDE的周长为16．故答案为16．解析：因为PA、PB、DE都是⊙O的切线，可依据切线长定理将切线PA、PB的长转变成△PDE的周长．18. 如图，PA，PB切⊙O于 A，B 两点， CD切⊙O于点 E，交 PA，PB于 C，D，若⊙O的半径为 r ，△ PCD的周长等于 3r ，则 tan ∠APB的值是答案：解析：解答：连接 PO，AO，∵PA，PB切⊙O于 A，B 两点， CD切⊙O于点 E，交 PA，PB于 C，D，∴∠ APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，∴PA+PB=△PCD的周长 =3r ，∴，∴tan ∠APB=AO: PA=r :1.5r = ，故答案为：．解析：利用切线长定理得出，再联合锐角三角函数关系得出答案． 19. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边 AB，BC分别相切于点 D、E，过劣弧 DE（不包含端点 D，E）上任一点 P 作⊙O的切线MN与 AB，BC分别交于点 M，N，若⊙O的半径为 4cm，则 Rt△MBN的周长为答案： 8cm 解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O是 Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ ABC=90°，∴∠ ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形 ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形 ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切 AB于 D，切 BC于 E，切 MN于 P，NP与 NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM， NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．解析：连接 OD、OE，求出∠ ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD=BE=OD=OE=4cm，依据切线长定理得出 MP=DM，NP=NE，代入 MB+NB+MN得出 BD+BE，求出即可． 20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰 CD为直径的半圆 O与梯形上底 AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰 AB为 5，则该梯形的周长是答案：14 解析：解答：依据切线长定理，得 AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是 5×2+4=14，故答案为：14．解析：由切线长定理可知： AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．三、计算题 21. 已知四边形 ABCD外切于⊙ O，四边形 ABCD的面积为24，周长 24，求⊙O的半径．答案： 2 解析：解答：设四边形 ABCD 是⊙O的外切四边形，切点分别为： F，G，M，E，连接 FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，四边形 ABCD的面积为：×EO×AD+OM×DC+GO×BC+ FO×AB = EO（AD+AB+BC+DC）= EO×24 =24，解得：EO=2．故 r=2 ．分析：利用切线的性质从而利用三角形面积求法得出⊙O 的半径． 22. 如图，AB为⊙O的直径，点 C在 AB的延长线上， CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若 AD=2，∠ DAC=∠DCA，求 CE. 答案： 2 解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点 D、E，∴CD=CE，∵∠ DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．故答案为： 2．解析：由条件可得 AD=CD，再由切线长定理可得： CD=CE，所以 AD=CE，问题得解． 23. 如图，已知 PA、PB分别切⊙O于点 A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径 .答案：3解析：解答：连接OA、OB，则 OA=OB（⊙O的半径），∵PA、PB分别切⊙O于点 A、B，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，已知∠ P=90°，∴∠ AOB=90°，∴四边形 APBO为正方形，∴OA=OB=PA=3，则⊙O的半径长是 3，故答案为： 3．解析：连接OA、OB，已知 PA、PB分别切⊙O于点 A、B，由切线的性质及切线长定理可得： PA=PB，∠ OAP=∠OBP=90°，再由已知∠ P=90°，所以得到四边形 APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即 PA的长．24. 如图，P是⊙O的直径 AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点 C、D．若 PA=6，⊙O的半径为 2，求∠ CPD. 答案： 60°解析：解答：∵ PA=6，⊙O的半径为 2，∴PB=PA-AB=6-4=2，∴OP=4，∵PC、PD切⊙O于点 C、D．∴∠ OPC=∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin ∠OPC=2: 4 =0.5 ，∴∠OPC=30°，∴∠ CPD=60°，故答案为： 60°．解析：依据切线的性质定理和切线长定理求出 OP=4，∠ OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠ OPC=30°，即可得出答案． 25. 如图，⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，且∠ ACB=90°，∠ A，∠ B，∠C所对的边长挨次为3，4，5，求⊙O的半径 . 答案：2 解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD， OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ ACB=90°，∴四边形ODCE 是正方形，设 OD=r，则 CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r ，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r ，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r ，r=2 ，则⊙O的半径是 2．故答案为： 2．解析：先连接 OD、OE依据⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，得出 AF=AD，BE=BF，CE=CD，再依据 OD⊥AD，OE⊥BC，∠ ACB=90°，得出四边形 ODCE是正方形，最后设 OD=r，列出 5+3-r=4+r ，求出 r=2 即可．。
初三数学《切线长定理及三角形内切圆》课时练习(附答案)
PBA O《切线长定理及三角形内切圆》课时练习（附答案）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线∴PA=PB，PO平分∠BPA例题精选：例1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。
例3．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？（例3图）（例4图）例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．习题巩固：1．如图，圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与圆O 相切于E 点．若圆O 的半径为5，且AB=11，则DE 的长度为何？（ ）A ．5B ．6C ．30D ．211（第1题） （第2题） （第3题）2．如图，AB 、CD 分别为两圆的弦，AC 、BD 为两圆的公切线且相交于P 点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB 的周长为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．14 3．如图，圆外切等腰梯形ABCD 的中位线EF=15cm ，那么等腰梯形ABCD 的周长等于（ ）A ．15cmB ．20cmC ．30cmD ．60cm4．如图，⊙O 的外切梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为（ ）A ．70°B ．90°C ．60°D ．45°（第4题） （第5题） （第6题）5．如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于点A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为（ ）A ．50°B ．62°C ．66°D ．70°6．已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，连接OC 、BP ，过点O 作OM ∥CD 分别交BC 与BP 于点M 、N ．下列结论：①S 四边形ABCD =21AB•CD；②AD=AB ；③AD=ON ；④AB 为过O 、C 、D 三点的圆的切线．其中正确的个数有（ ）A 1B 2C 3D 47．以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（ ）A 12B 13C 14D 158．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，与边BC 交于点E ，若AD=59，AC=3．则DE 长为（ ） A 23 B 2 C 25 D 5（第7题） （第8题） （第9题）9．正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．610．如图，在等腰三角形△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB ，AC 相切，切点分别为D ，E ．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB ，AC 于M ，N ．那么2BC CN BM •的值等于（ ） A 81 B 41 C 21 D 1（第10题） （第11题） （第12题）11如图，PA 、PB 、EF 分别切⊙O 于A 、B 、D ，若PA=10cm ，则△PEF 的周长是 cm ，若∠P=35°，则∠AOB= （度），∠EOF= （度）．12．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CE 与DF 是半圆的切线，M ，N 为切点，CE ，DF 交于点P ．则AE= ，△PMN 的面积是 。
3.7切线长定理(解析版)九年级下册
3.7切线长定理分层练习考查题型一利用切线长定理求线段长度1.（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是OAC ，的切线，切点分别是P、C、D．若10AB ，6则BD的长是()A．3B．4C．5D．6【分析】由于AB、AC、BD是O，求出BP的长即可求出BD的长．的切线，则AC AP，BP BD【解答】解：AC∵、AP为O的切线，，6AC AP∵、BD为OBP的切线，BP BD，．BD PB AB AP1064故选：B．2.（2022秋•新会区校级期末）如图所示，P是O切于A，B两点，C是 AB外一点，PA，PB分别和O上任意一点，过C作O的周长为12，则PA的长为() 的切线分别交PA，PB于D，E．若PDEA ．12B ．6C ．8D ．4【分析】由PA ，PB 分别和O 切于A ，B 两点与DE 是O 的切线，根据切线长定理，即可得PA PB ，DA DC ，EB EC ，又由PDE 的周长为12，易求得12PA PB ，则可求得答案．【解答】解：PA ∵，PB 分别和O 切于A ，B 两点，PA PB ，DE ∵是O 的切线，DA DC ，EB EC ，PDE ∵的周长为12，即212PD DE PE PD DC EC PE PD AD EB PE PA PB PA ，6PA ．故选：B ．3.（2023秋•沙河口区期中）如图，AB 、AC 、BD 是O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果8AB ，5AC ，则BD 的长为．【分析】由AB 、AC 、BD 是O 的切线，则AC AP ，BP BD ，求出BP 的长即可求出BD 的长．【解答】解：AC ∵、AP 为O 的切线，AC AP，∵、BD为OBP的切线，，BP BD．BD PB AB AP853故答案为：3．考查题型二利用切线长定理求周长4.（2022秋•潮州期末）如图，P为O于点E，于点A、B，CD切O外一点，PA、PB分别切O分别交PA、PB于点C、D，若8的周长为()PA ，则PCDA．8B．12C．16D．20【分析】由切线长定理可求得PA PB，则可求得答案．，AC CE，BD ED【解答】解：PA∵、PB分别切O于点E，于点A、B，CD切O，，BD ED8，AC ECPA PB，PC CD PD PC CE DE PD PA AC PD BD PA PB8816即PCD的周长为16．故选：C．5.（2022秋•宛城区校级期末）如图，O的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE是ABC为O的周长是()的切线，若ABC的周长为25，BC的长是9，则ADEA ．7B ．8C ．9D ．16【分析】根据切线长定理，可得BI BG ，CI CH ，DG DF ，EF EH ，则()ADE ABC C AD AE DE AD AE DF EF AD DG EH AE AG AH C BG CH BC ，据此即可求解．【解答】解：AB ∵、AC 、BC 、DE 都和O 相切，BI BG ，CI CH ，DG DF ，EF EH ．9BG CH BI CI BC ，()25297ADE ABC C AD AE DE AD AE DF EF AD DG EH AE AG AH C BG EH BC ．故选：A ．6.（2023秋•吴中区校级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于A 、B ，CD 切O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若5PA ，则PCD 的周长为．【分析】由于CA、CE，DE、DB都是O的周长转换为PA、PB的的切线，可由切线长定理将PCD长．【解答】解：PA∵、PB切O于A、B，；PA PB5同理，可得：EC CA；，DE DB．PC CE DE DP PC AC PD DB PA PB PA的周长210PDC即PCD的周长是10．考查题型三利用切线长定理求度数7.（2022秋•东莞市校级期末）如图：EB、EC是O上两的两条切线，B、C是切点，A、D是O 点，如果46的度数是度．，则ADCFE，32【分析】根据切线长定理得EC EBECB EBC，再根结合内接四边形的对角互补得，则67A ECB DCF．673299【解答】解：EB∵、EC是O的切线，，EB EC又46∵，E，ECB EBC67；BCD BCE DCF180()1809981∵四边形ADCB内接于O，180A BCD ，1808199A ，故答案为：99．1.（2023秋•金乡县期中）如图，直线AB 、CD 、BC 分别与O 相切于E 、F 、G ，且//AB CD ，若6OB cm ，8OC cm ，则BE CG 的长等于()A ．13B ．12C ．11D ．10【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明90BOC ，再根据勾股定理即可求得BC 的长，再结合切线长定理即可求解．【解答】解：//AB CD ∵，180ABC BCD ，CD ∵、BC ，AB 分别与O 相切于G 、F 、E ，12OBC ABC ，12OCB BCD ，BE BF ，CG CF ，90OBC OCB ，90BOC ，2210BC OB OC ，10()BE CG cm ．故选：D ．2.（2022秋•天河区校级期末）如图，PA 、PB 切O 于点A 、B ，直线FG 切O 于点E ，交PA 于F ，交PB 于点G ，若8PA cm ，则PFG 的周长是()A ．8cmB ．12cmC ．16cmD ．20cm【分析】由于PA 、FG 、PB 都是O 的切线，可根据切线长定理，将ABC 的周长转化为切线长求解．【解答】解：根据切线长定理可得：PA PB ，FA FE ，GE GB ；所以PFG 的周长PF FG PG ，PF FE EG PG ，PF FA GB PG ，PA PB16cm ，故选：C ．3.（2022秋•南开区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点(6,0)A 、(0,6)B ，O 的半径为2(O 为坐标原点），点P 是直线AB 上的一动点，过点P 作O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为()A 7B ．3C ．32D 14【分析】连接OP ．根据勾股定理知222PQ OP OQ ，当OP AB 时，线段OP 最短，即线段PQ 最短．【解答】解：连接OP 、OQ ．PQ ∵是O 的切线，OQ PQ ；根据勾股定理知222PQ OP OQ ，∵当PO AB 时，线段PQ 最短；又(6,0)A ∵、(0,6)B ，6OA OB ，62AB 1322OP AB ，2OQ ∵，2214PQ OP QO ，故选：D ．。
北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》说课稿1
北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》是本节课的主要内容。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它揭示了圆的切线与半径之间的关系。
在本节课中，学生将学习如何运用切线长定理解决实际问题，为后续学习圆的性质和几何问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但是，对于圆的切线性质和切线长定理的理解还需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，并通过实例演示和动手操作，让学生更好地理解切线长定理的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握切线长定理，并能够运用切线长定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作和思考，培养直观思维和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生培养对数学的兴趣和自信心，培养合作意识和问题解决能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握切线长定理，并能够运用切线长定理解决实际问题。
2.教学难点：学生对于圆的切线性质和切线长定理的理解，以及如何运用切线长定理解决复杂问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型和黑板进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆的切线与半径之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.探究：学生分组讨论，观察和操作几何模型，发现切线长定理的规律。
3.讲解：教师引导学生总结切线长定理的定义和证明过程，并解释切线长定理的应用。
4.练习：学生独立完成一些练习题，巩固对切线长定理的理解和运用。
5.拓展：学生分组讨论，探索切线长定理在实际问题中的应用，并进行展示和交流。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出切线长定理的主要内容。
可以采用以下板书设计：切线长定理：1.定义：从圆外一点引出的切线与圆的半径垂直。
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。
2.运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。
3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.圆规、直尺、彩色粉笔。
3.练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。
然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。
同时，解释切线长定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。
【人教版】数学九年级全一册24.切线长定理及三角形的内切圆随堂练习(课件版)
∠DAB，∠ODA＝12 ∠ADC. ∴∠OAD＋∠ODA＝90°. ∴∠AOD＝90°. ∵AO＝8 cm，DO＝6 cm，∴AD＝10 cm. ∵OE⊥AD，∴12 AD·OE＝12 OD·OA. ∴OE＝4.8 cm.
【例 4】如图，求作△ABC 的内心(三角形三条角平
分线的交点，即内切圆的圆心).
(1)若∠ABC＝60°，∠C＝40°，则∠BOC＝___1_3_0_°__； (2)若∠A＝80°，则∠BOC＝___1_3_0_°_____；
(3)若∠A＝α°，则∠BOC＝_____9_0＋__α2__°____(结果用
【例 2】如图，P 为⊙O 外一点，PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，CD 切⊙O 于点 E，且分别交 PA，PB 于
点 C，D.若 PA＝4，则△PCD 的周长为( C )
A.5 B.7 C.8 D.10
3.如图，一圆内切于四边形 ABCD，且 BC＝10，AD
＝7，则四边形的周长为( B )
A.32 B.34 C.36 D.38
三角形的内切圆
【例 3】如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA， AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB＝18 cm，BC＝ 26 cm，CA＝28 cm，求 AF，BD，CE 的长．
解：根据切线长定理，得 AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD. 设 AF＝AE＝x，则 CE＝CD＝28－x， BF＝BD＝18－x. ∵BC＝26，∴(18－x)＋(28－x)＝26. 解得 x＝10. ∴AF＝10 cm，BD＝8 cm，CE＝18 cm.
由圆周角定理，得∠EDF＝12 ∠FIE＝65°.
北师大版九年级数学下册第三章圆第7节切线长定理课后练习
第三章圆第7节切线长定理课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝6，则△PCD的周长为（）A．8B．6C．12D．102．如图，△ABC中，BC＝4，△P与△ABC的边或边的延长线相切．若△P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为()A．8B．10C．13D．143．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线323y x=+上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为()A．3B．2C．3D．24．如图，△ABC的内切圆△O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为()A．16B．14C．12D．105．如图，△O 的半径为2，点A 的坐标为()2,?23，直线AB 为△O 的切线，B 为切点，则B 点的坐标为【 】A ．38,?25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．()3,?1-C ．49,?55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,?3- 6．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA ＝PB B ．△BPD ＝△APDC ．AB△PD D ．AB 平分PD 7．如图，,,AB AC BD 是O 的切线，切点分别是,,P C D ．若5,3AC BD ==，则AB 的长是( )A ．2B ．4C ．6D ．88．如图，AB 是△O 的直径，AB =2，点C 在△O 上，△CAB =30°，D 为BC 的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为A．22B．2C．1D．29．如图，PA、PB、CD分别切△O于点A、B、E，CD分别交PA、PB于点C、D．下列关系：△PA=PB；△△ACO=△DCO；△△BOE和△BDE互补；△△PCD的周长是线段PB长度的2倍.则其中说法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个10．同圆的内接正三角形和外切正三角形的周长之比为（）A．1:2B．1:3C．3:2D．1:4评卷人得分二、填空题11．如图：PA、PB切△O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA=8cm，则△PDE的周长为____cm．12．如图，P为△O外一点，PA、PB分别切△O于A、B，CD切△O于点E，分别交PA，PB于点C、D，若△PCD的周长为24，△O的半径是5，则点P到圆心O的距离_____．13．如图，P A ，PB 是△O 的切线，A ，B 为切点，AC 是△O 的直径，△BAC =15°，则△P 的度数为_____．14．如图，PA ，PB 是△O 是切线，A ，B 为切点，AC 是△O 的直径，若△P=46°，则△BAC=_____度．15．如图，PA PB 、分别与O 相切于点A B 、，O 的切线EF 分别交PA PB 、于点E F 、，切点C 在AB 上，若PEF ∆的周长为8cm ，则PA 的长是________________cm ．16．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且8AB =，5CD =，则AD BC +的长为________．17．如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB=5：12：13,△O 在△ABC 内自由移动，若△O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为______.18．如图，△ABC是一块直角三角板，且△C＝90°，△A＝30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC＝7+23，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长为_____．评卷人得分三、解答题19．如图，已知AB为△O的直径，点E在△O上，△EAB的平分线交△O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．（1）判断直线PC与△O的位置关系，并说明理由；（2）若tan△P=34，AD=6，求线段AE的长．20．如图，AB是△O的直径，点C是△O上一点，△BAC的平分线AD交△O于点D，过点D作DE△AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是△O的切线；（2）如果△BAC=60°，AD=4，求AC长．21．如图，在△O中，AB为直径，F是半圆弧AB的中点，E是弧BF上一点，直线AE 与过点B的切线相交于点C，连接EF．（1）若EF＝12AB，求△ACB的度数；（2）若△O的半径为3，BC＝2，求EF的长．22．如图，△ABC内接于△O，CD平分△ACB交△O于D，过点D作PQ△AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是△O的切线；（2）求证：B D2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，且tan△PCD=13，求△O的半径．23．如图，割线ABC与△O相交于B、C两点，D为△O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，△ADG＝△AGD．（1）求证明：AD是△D的切线；（2）若△A＝60°，△O的半径为4，求ED的长．24．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且AE DE=，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝6，GE＝62，求△GOE的面积．25．如图，在ABC∆中，90ABC∠=︒，8AB=，6BC=．以BC为直径的O交AC 于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是O的切线；（2）求DB的长．参考答案：1．C【解析】【分析】由切线长定理可求得P A＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【详解】△P A、PB分别切△O于点A、B，CD切△O于点E，△P A＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，△PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝P A+AC+PD+BD＝P A+PB＝6+6＝12，即△PCD的周长为12，故选C．【点睛】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得P A＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．2．C【解析】【分析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案．【详解】连接PE、PF、PG，AP，由题意可知：△PEC＝△PFA＝PGA＝90°，△S△PBC＝12BC•PE＝12×4×2＝4，△由切线长定理可知：S△PFC+S△PBG＝S△PBC＝4，△S四边形AFPG＝S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC＝5+4+4＝13，△由切线长定理可知：S△APG＝12S四边形AFPG＝132，△132＝12×AG•PG，△AG＝132，由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG，△△ABC的周长为AC+AB+CE+BE＝AC+AB+CF+BG ＝AF+AG＝2AG＝13，故选C．【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型．3．D【解析】【分析】先根据题意，画出图形，令直线y= 3x+ 23与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH△CD于H，作OH△CD于H；然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C、D两点的坐标值；再在Rt△POC中，利用勾股定理可计算出CD的长，并利用面积法可计算出OH的值；最后连接OA，利用切线的性质得OA△PA，在Rt△POH中，利用勾股定理，得到21PA OP=-，并利用垂线段最短求得PA的最小值即可.【详解】如图，令直线y=3x+23与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH△CD于H，当x=0时，y=23，则D （0，23），当y=0时，3x+23=0，解得x=-2，则C （-2，0），△222(23)4CD =+=，△12OH•CD=12OC•OD ， △OH=22334⨯=. 连接OA ，如图，△PA 为△O 的切线，△OA△PA ，△2221PA OP OA OP =-=-，当OP 的值最小时，PA 的值最小，而OP 的最小值为OH 的长，△PA 的最小值为22(3)12-=.故选D.【点睛】 本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．4．B【解析】【分析】根据切线长定理进行求解即可.【详解】解：△△ABC 的内切圆△O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，△AF ＝AD ＝2，BD ＝BE ，CE ＝CF ，△BE+CE ＝BC ＝5，△BD+CF ＝BC ＝5，△△ABC 的周长＝2+2+5+5＝14，故选B ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.5．D【解析】【详解】过点A作AC△x轴于点C，过点B作BD△x轴于点D，△△O的半径为2，点A的坐标为(2,23)，即OC=2.△AC是圆的切线.△OA=4，OC=2，△△AOC=60°.又△直线AB为△O的切线，△△AOB=△AOC=60°.△△BOD=180°－△AOB-△AOC=60°.又△OB=2，△OD=1，BD=3，即B点的坐标为(1,3).故选D.6．D【解析】【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，△APD＝△BPD；再根据等腰三角形的性质得OP△AB，根据菱形的性质，只有当AD△PB，BD△PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．【详解】△PA，PB是△O的切线，△PA＝PB，所以A成立；△BPD＝△APD，所以B成立；△AB△PD，所以C成立；△PA ，PB 是△O 的切线，△AB△PD ，且AC ＝BC ，只有当AD△PB ，BD△PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ．【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.7．D【解析】 【分析】因为AB 、AC 、BD 是O 的切线，切点分别是P 、C 、D ，所以AP=AC 、BD=BP ，所以538AB AP BP AC BD =+=+=+=． 【详解】解：△,,AB AC BD 是O 的切线，切点分别是,,P C D ．△,AP AC BD BP ==，△AB AP BP AC BD =+=+，△5,3AC BD ==，△538AB =+=．故选D ．【点睛】本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理．8．B【解析】【详解】作出D 关于AB 的对称点D ′，连接OC ，OD ′，CD ′，PC +PD 的最小值即为线段CD '的长度，又△点C 在△O 上，30CAB ∠=︒，D 为弧BC 的中点，即D BD B BD ='=，△1152BAD CAB ∠'=∠=︒， △45CAD ∠'=︒，△90COD ∠'=︒ 则△COD ′是等腰直角三角形，△112OC OD AB ='==， △ 2.CD '=故选：B.9．D【解析】【详解】根据切线长定理可知PA=PB ，故△正确；同理可知CA=CE ，可知CO 为△ACE 的角平分线，所以△ACO=△DCO ，故△正确； 同理可知DE=BD ，由切线的性质可知△OBD=△OED=90°，可根据四边形的内角和为360°知△BOE+△BDE=180°，即△BOE 和△BDE 互补，故△正确；根据切线长定理可得CE=CA ，BD=DE ，而△PCD 的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PB ，故△正确.故选D.10．A【解析】【分析】设内接正三角形的边长为a ，首先求出该等边三角形的外接圆的半径，然后用三角函数求出该圆外切正三角形的边长即可.【详解】解：△圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的23，设内接正三角形的边长为a，△等边三角形的高为32a，△该等边三角形的外接圆的半径为33a，△同圆外切正三角形的边长＝2×(33a÷tan30°)＝2a，△周长之比为：3a：6a＝1：2，故选A．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题时利用了圆内接等边三角形与圆外接等边三角形的性质及三角函数，关键是构造正确的直角三角形．11．16【解析】【分析】根据切线长定理，即可得到PA＝PB，CD＝AD，CE＝BE，从而求得三角形的周长．【详解】解：△PA、PB切△O于A、B，DE切△O于C，△PA＝PB＝8，CD＝AD，CE＝BE；△△PDE的周长＝PD＋PE＋CD＋CE＝2PA＝16（cm）．故填：16.【点睛】此题主要是考查了切线长定理,解题的关键是熟知切线长定理的运用.12．13【解析】【分析】如图，连接OB、OP，根据切线长定理可得AC=CE，ED=BD，PA=PB，根据△PCD的周长可求出PB的长，根据切线的性质可得OB△PB，利用勾股定理求出OP的长即可.【详解】如图，连接OB、OP，△PA、PB分别切△O于A、B，CD切△O于点E，分别交PA，PB于点C、D，△AC=CE，ED=BD，PA=PB，△△PCD的周长为24，△PC+CE+ED+PD=24，△PA+PB=24，△PB=12，△PB是△O的切线，OB是△O半径，△OB△PB，△OP=22OB PB+=22512+=13.故答案为：13【点睛】本题考查了切线长定理及切线的性质，从圆外可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；圆的切线垂直于过切点的半径；熟练掌握切线长定理及切线的性质是解题关键.13．30°【解析】【分析】先利用切线的性质得到△CAP=90°，则利用互余计算出△PAB=75°，再根据切线长定理得到PA=PB，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算△P的度数．【详解】△PA为切线，△OA△PA，△△CAP=90°，△△PAB=90°-△BAC=90°-15°=75°，△PA，PB是△O的切线，△PA=PB，△△PBA=△PAB=75°，△△P=180°-75°-75°=30°．故答案为30°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．14．23．【解析】【分析】由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到△OAP为直角，再由△OAP-△PAB即可求出△BAC的度数【详解】△PA，PB是△O是切线，△PA=PB.又△△P=46°，△△PAB=△PBA=000 18046=672.又△PA是△O是切线，AO为半径，△OA△AP.△△OAP=90°.△△BAC=△OAP﹣△PAB=90°﹣67°=23°.故答案为：23【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．15．4【解析】【分析】由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．【详解】△PA、PB分别与△O相切于点A、B，△O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，△AE=CE，FB=CF，PA=PB，△△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=8．△PA=4故答案为4．【点睛】此题考查切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长=PA+PB．16．13【解析】【分析】根据切线长定理，可知圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等．【详解】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以AD+BC=AB+CD=5+8=13，故答案为13．【点睛】本题考查了切线长定理．熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等．17．25【解析】【分析】如图，可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在△BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在△ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在△ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF 是直角三角形且△DEF△△ACB，继而根据已知可分别求出DE、EF、DF的长，再设AH=AK=x，BN=BQ=y，则有AC =x+83，BC=5+y，AB= x+y+133，再根据AC：BC：AB=5：12：13列方程组可求出x、y的值，继而根据三角形的周长公式进行求解即可.【详解】如图，可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在△BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在△ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在△ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF 是直角三角形且△DEF△△ACB，又△AC：BC：AB=5：12：13，△DE：EF：DF=5：12：13，又△S△DEF=12DE•EF=103，△DE=53，EF=4，△DF=133，△PH=DE=53，MQ=EF=4，NK=DF=133，设AH=AK=x，BN=BQ=y，则有AC=AH+HP+CP=x+83，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+133，又△AC：BC：AB=5：12：13，△()8:55:123813:5:1333x yx x y⎧⎛⎫++=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：325xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，△AC=83+32，BC=10，AB=133+32+5，△AC+BC+AB=83+32+10+133+32+5=7+3+10+5=25，故答案为25.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线长定理，三角形的面积等知识，难度很大，正确画出图形确定出点O的运动区域是解题的关键.18．15+53．【解析】【分析】添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为12OO OC，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出△OO1O2＝60°＝△ABC、△O1OO2＝90°，从而知△OO1O2△△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．【详解】如图，圆心O的运动路径长为12OO OC?，过点O1作O1D△BC、O1F△AC、O1G△AB，垂足分别为点D、F、G，过点O作OE△BC，垂足为点E，过点O2作O2H△AB，O2I△AC，垂足分别为点H、I，在Rt△ABC中，△ACB＝90°、△A＝30°，△AC＝723tan3033BC︒+=＝73+6，AB＝2BC＝14+43，△ABC＝60°，△C△ABC＝133+27，△O1D△BC、O1G△AB，△D 、G 为切点，△BD ＝BG ，在Rt △O 1BD 和Rt △O 1BG 中，△11BD BG O B O B =⎧⎨=⎩ ， △△O 1BD △△O 1BG （HL ），△△O 1BG ＝△O 1BD ＝30°，在Rt △O 1BD 中，△O 1DB ＝90°，△O 1BD ＝30°，△BD ＝10tan30D ︒＝23， △OO 1＝7+23﹣2﹣23＝5，△O 1D ＝OE ＝2，O 1D △BC ，OE △BC ，△O 1D △OE ，且O 1D ＝OE ，△四边形OEDO 1为平行四边形，△△OED ＝90°，△四边形OEDO 1为矩形， 同理四边形O 1O 2HG 、四边形OO 2IF 、四边形OECF 为矩形，又OE ＝OF ，△四边形OECF 为正方形，△△O 1GH ＝△CDO 1＝90°，△ABC ＝60°，△△GO 1D ＝120°，又△△FO 1D ＝△O 2O 1G ＝90°，△△OO 1O 2＝360°﹣90°﹣90°＝60°＝△ABC ，同理，△O 1OO 2＝90°，△△OO 1O 2△△CBA ，△12000100ABC CC BC =，即12000513327723C ∆=++， △C△OO1O2＝15+53，即圆心O 运动的路径长为15+53.故答案为15+53．【点睛】考查轨迹、切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．19．（1）PC是△O的切线；（2）9 2【解析】【详解】试题分析：（1）结论：PC是△O的切线．只要证明OC△AD，推出△OCP=△D=90°，即可．（2）由OC△AD，推出OC OPAD AP=，即10610r r-=，解得r=154，由BE△PD，AE=AB•sin△ABE=AB•sin△P，由此计算即可．试题解析：解：（1）结论：PC是△O的切线．理由如下：连接OC．△AC平分△EAB，△△EAC=△CAB．又△△CAB=△ACO，△△EAC=△OCA，△OC△AD．△AD△PD，△△OCP=△D=90°，△PC是△O的切线．（2）连接BE．在Rt△ADP中，△ADP=90°，AD=6，tan△P=34，△PD=8，AP=10，设半径为r．△OC△AD，△OC OPAD AP=，即10610r r-=，解得r=154．△AB是直径，△△AEB=△D=90°，△BE△PD，△AE=AB•sin△ABE=AB•sin△P=152×35=92．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（1）答案见解析；（2）43．3【解析】【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得AE与OD平行，再由DE△AC，可得DE△OD，即DE为圆O的切线，得证；（2）作OH△AC于H，则AH=CH，由已知易得四边形ODEH为矩形，从而有OH=DE=2，在Rt△OAH中，即可求得AC的长．【详解】（1）连接OD，△△BAC的平分线AD交△O于点D，△△1=△2，△OA=OD，△△1=△3，△△2=△3，△OD△AE，△DE△AE，△DE△OD，△DE是△O的切线；（2）作OH△AC于H，则AH=CH，△△BAC=60°，△△2=30°，在Rt △ADE 中，DE=12AD=2，易得四边形ODEH 为矩形，△OH=DE=2，在Rt △OAH 中，△△OAH=60°，△AH=3OH =233， △AC=2AH=433．21．（1）75°；（2）655 【解析】【分析】 （1）连接OE 、OF 、AF ，根据等边三角形的性质得到△EOF ＝60°，由圆周角定理得到△EAF ＝12△EOF ＝30°，根据切线的性质得到△ABC ＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；（2）连BE 、AF 、BF ，过F 作FM △EF 交AE 于M ，根据勾股定理求出AC ，根据三角形的面积公式求出BE ，证明△AFM △△BFE ，根据全等三角形的性质得到AM ＝BE ，EF ＝FM ，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：（1）连接OE 、OF 、AF ，△EF＝12AB＝OE＝OF，△△EOF为等边三角形，△△EOF＝60°，由圆周角定理得，△EAF＝12△EOF＝30°，△F是半圆弧AB的中点，△△AOF＝90°，△△OAF＝45°，△△CAB＝15°，△BC为△O的切线，△△ABC＝90°，△△ACB＝75°；（2）连BE、AF、BF，过F作FM△EF交AE于M，则△AEB＝△CEB＝90°．△△ABC＝90°，AB＝6，BC＝2，△AC＝22AB BC+＝2262+＝210，由面积法得，BE＝AB BCAC⋅＝3105，△AE＝22AB BE-＝9105，△AB为直径，△△AFB＝90°，又FM△EF，△△AFM＝△BFE，在△AFM和△BFE中，AFM BFEAF BFFAM FBE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△AFM△△BFE（ASA），△AM＝BE＝3105，EF＝FM．△EM＝AE﹣AM＝6105，△EF＝22EM＝655．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定方法和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的判定方法，能够根据勾股定理求取直角三角形边的长度.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）210．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到△ABD=△BDQ=△ACD，连接OB，OD，交AB 于E，根据圆周角定理得到△OBD=△ODB，△O=2△DCB=2△BDQ，根据三角形的内角和得到2△ODB+2△O=180°，于是得到△ODB+△O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据题意得到AC•BQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是△O的切线，由切线的性质得到OD△PQ，根据平行线的性质得到OD△AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE的长，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）证明：△PQ△AB，△△ABD=△BDQ=△ACD，△△ACD=△BCD，△△BDQ=△ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则△OBD=△ODB，△O=2△DCB=2△BDQ，在△OBD中，△OBD+△ODB+△O=180°，△2△ODB+2△O=180°，△△ODB+△O=90°，△PQ是△O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是△O的切线，△△BDQ=△DCB=△ACD=△BCD=△BAD，△AD=BD，△△DBQ=△ACD，△△BDQ△△ACD，△AD AC BQ BD=，△BD2=AC•BQ；（3）解：方程4x mx+=可化为x2﹣mx+4=0，△AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，△AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，△BD2=4，△BD=2，由（1）知PQ是△O的切线，△OD△PQ，△PQ△AB，△OD△AB，由（1）得△PCD=△ABD，△tan△PCD=13，△tan△ABD=13，△BE=3DE，△DE2+（3DE）2=BD2=4，△DE=2105，△BE=6105，设OB=OD=R，△OE=R﹣2105，△OB2=OE2+BE2，△R2=（R﹣2105）2+（6105）2，解得：R=210，△△O的半径为210．23．（1）见解析；（2）DE＝43．【解析】【分析】（1）要证AD是△O的切线，只要连接OD，再证△ADO＝90°即可；（2）作OH△ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD．△E为BC的中点，△OE△BC，△OD＝OE，△△ODE＝△OED，△△AGD +△OED＝△EGF+△OED＝90°，△△AGD＝△ADG，△△ADG+△ODE＝90°，即OD△AD，△AD是△O的切线；（2）作OH△ED于H，△DE＝2DH，△△ADG＝△AGD，△AG＝AD，△△A＝60°，△△ADG＝60°，△△ODE＝30°，△OD＝4，△DH＝32OD＝23，△DE＝2DH＝43．【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可，还考查了垂径定理，直角三角形的性质．24．（1）详见解析；（2）92．【解析】【分析】（1）连接OE，由AE DE知∠1=∠2，由∠2=∠3可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF，即可得证；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中，由勾股定理求得r＝3，即OE=3，再根据三角形的面积公式得解.【详解】解：（1）如图，连接OE，∵AE DE =，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE ∥BF ，∵BF ⊥GF ，∴OE ⊥GF ，∴GF 是⊙O 的切线；（2）设OA ＝OE ＝r ，在Rt △GOE 中，∵AG ＝6，GE ＝62，∴由OG 2＝GE 2+OE 2可得（6+r ）2＝（62）2+r 2，解得：r ＝3，即OE ＝3，则S △GOE ＝12•OE •GE ＝12×3×62＝92．【点睛】本题考查了圆切线的判定与性质，难度适中，熟练掌握圆相关性质定理是解题关键. 25．（1）见解析；（2）245 【解析】【分析】（1）连接BD ，DO ，由BC 是直径得出90ADB ∠=︒，根据E 是AB 的中点得到DE EB EA ==，由此证得90EDB ODB ∠+∠=︒，即得到DE 是O 的切线； （2）利用面积法即可求得.【详解】（1）证明：如图，连接BD ，DO ，BC 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90CDB ∴∠=︒又E 为AB 的中点，DE EB EA ∴==，EDB EBD ∴∠=∠．OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠．90ABC ∠=︒，90EDB ODB ∴∠+∠=︒．即OD DE ⊥．DE ∴是O 的切线；答案第23页，共23页（2）解：在Rt ABC ∆中，8AB =，6BC =，10AC ∴=，1122ABC S AB BC AC BD ∆=⋅=，245AB BC BD AC ⋅∴==． 【点睛】此题考察圆的切线的判定，根据判定定理证得90EDB ODB ∠+∠=︒是解题的关键，注意已知条件中有直角时，可以根据边的关系推出所求的角与构成直角的两个角的数量关系，由此得到结果.。
北师大版九年级数学下册 3.7切线长定理 同步练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝( ) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是( ) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为( )A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数( )A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为( )A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是( ) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为( )A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为______．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为______．11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝______．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB 于点C ，D.若PA ＝4，则△PCD 的周长为______．13．如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D ，E.若点D 是AB 的中点，则∠DOE ＝______．14．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝60°，OA ＝2，求BC 的长．B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为______．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是______．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO，与AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．19．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．C组(综合题)20.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；(2)求BE和CG的长．21.如图，P为⊙O外一点，PA，PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.22．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM，BN于点D，C，且DA＝DE.求证：(1)直线CD是⊙O的切线；(2)OA2＝DE·CE.参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题A组(基础题)1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝(B) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是(D) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为(C)A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数(C)A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为(A)A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是(D) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为(B)A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为2．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2.12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D.若PA＝4，则△PCD的周长为8．13．如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°.14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长．解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AP ＝BP. 又∵∠P ＝60°，∴△ABP 是等边三角形． ∴∠PAB ＝60°. ∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAC ＝90°.∴∠BAC ＝90°－60°＝30°. 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°. ∴BC ＝12AC ＝OA ＝2.B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为25．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是①②⑤．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连接PO ，与AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C ＝60°.(1)求∠APB 的大小；(2)若PO ＝20 cm ，求△AOB 的面积．解：(1)∵∠C ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.∴∠APB ＝360°－90°－90°－120°＝60°. (2)∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴PA ＝PB.∴点P 在AB 的垂直平分线上． 同理，点O 在AB 的垂直平分线上． ∴PO 垂直平分AB.∵∠APB ＝60°，∠AOB ＝120°，∴∠OPB ＝∠OPA ＝30°，∠POB ＝∠POA ＝60°. ∵PO ＝20 cm ，∴OB ＝10 cm. ∴OD ＝OB ·cos ∠POB ＝5 cm ， BD ＝OB ·sin ∠POB ＝5 3 cm. ∴AB ＝2BD ＝10 3 cm.∴S △AOB ＝12×103×5＝253(cm 2)．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B ，C 两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．解：(1)根据切线长定理，知AB ＝AC. (2)连接OB ，OA. ∵∠BAC ＝120°， ∴∠OAB ＝60°. 在Rt △AOB 中，OB ＝AB ·tan ∠OAB ＝3AB. ∴圆的直径为23AB.故只需测得AB 的长，就可求得圆的直径．19．如图，边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，E 为切点，F 点在AD 上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积．解：设AF ＝x.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB ＝∠CBA ＝90°. ∴DA ⊥AB ，CB ⊥AB.又∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴AD ，BC 是⊙O 的切线．∵CF 是⊙O 的切线，E 为切点，∴EF ＝AF ＝x ，CE ＝CB ＝1.∴FD ＝1－x ，CF ＝CE ＋EF ＝1＋x.在Rt △CDF 中，由勾股定理，得CF 2＝CD 2＋DF 2，即(1＋x)2＝1＋(1－x)2，解得x ＝14. ∴DF ＝1－x ＝34. ∴S △CDF ＝12×1×34＝38.C 组(综合题)20.如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm.(1)求证：BO ⊥CO ；(2)求BE 和CG 的长．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠DCB.∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠DCB. ∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠DCB)＝12×180°＝90°. ∴∠BOC ＝90°.∴BO ⊥CO.(2)连接OF ，则OF ⊥BC ，∴Rt △BOF ∽Rt △BCO.∴BF BO ＝BO BC. ∵在Rt △BOC 中，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm ，∴BC ＝BO 2＋CO 2＝10(cm)．∴BF 6＝610. ∴BF ＝3.6 cm.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切，∴BE ＝BF ＝3.6 cm ，CG ＝CF.∴CG ＝CF ＝BC －BF ＝6.4 cm.21.如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径．求证：(1)∠APB ＝2∠ABC ；(2)AC ∥OP.证明：(1)连接AO ，∵PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，∴∠APO ＝∠BPO ，OA ⊥AP ，PA ＝PB.∴∠APB ＝2∠BPO ，∠OBP ＝90°，PO ⊥AB.∴∠OBA ＋∠ABP ＝90°，∠ABP ＋∠BPO ＝90°.∴∠OBA ＝∠BPO.∴∠APB ＝2∠ABC.(2)设AB 交OP 于点F ，由(1)知，PO ⊥AB ，∴∠AFP ＝90°.∵BC 是⊙O 直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠CAB ＝∠AFP.∴AC ∥OP.22．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，过⊙O 上一点E 作直线DC ，分别交AM ，BN 于点D ，C ，且DA ＝DE.求证：(1)直线CD 是⊙O 的切线；(2)OA 2＝DE ·CE.证明：(1)连接OE ，OD ，∵DA 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝90°.∵OA ＝OE ，DA ＝DE ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△EOD(SSS)．∴∠OAD ＝∠OED ＝90°.∴OE ⊥CD.又∵OE 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)连接OC ，∵AM ，BN ，DC 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝∠OBC ＝∠DEO ＝∠OEC ＝90°，CE ＝CB ，OD 平分∠ADE ，OC 平分∠BCE. ∴AM ∥BN.∴∠ADE ＋∠BCE ＝180°.∴∠ODE ＋∠OCE ＝12(∠ADE ＋∠BCE)＝12×180°＝90°. 又∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠OCE ＝∠DOE.∴△DEO ∽△OEC.∴OECE＝DEOE.∴OE2＝DE·CE.又∵OA＝OE，∴OA2＝DE·CE.。
(含答案)九年级数学北师大版下册课时练第3章《7 切线长定理》(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第3单元圆7切线长定理一、选择题（共10小题；共50分）1.如图，△的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且=2，=5，则△的周长为 A.16B.14C.12D.102.如图，，，是⊙的切线，切点分别是，，．若=5，=3，则的长是 A.4B.3C.2D.13.如图，，分别与⊙相切于点，，则下列结论错误的是 A.=B.平分∠C.=D.=24.如图，，切⊙于，，切⊙于，交，于，，若△的周长等于3，则的值是 A.32B.23C.12D.345.如图，，分别切⊙于，，=10 cm，是劣弧上的点（不与点，重合），过点的切线分别交，于点，，则△的周长为 A.10 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm6.如图，，为⊙的切线，切点分别为，，交于点，的延长线交⊙于点，下列结论不一定成立的是 A.=B.∠=∠C.⊥D.平分7.如图，△的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且=2，△的周长为14，则的长为 A.3B.4C.5D.68.如图，△是一张三角形纸片，⊙是它的内切圆，点，是其中的两个切点，已知=10 cm，小张准备用剪刀沿着与⊙相切的任意一条直线（在上）剪下一块三角形（△），则剪下的△的周长为 A.20 cmB.15 cmC.10 cmD.随直线的变化而变化9.如图，，为⊙的切线，切点分别为，，交于点，的延长线交⊙于点．下列结论不一定成立的是 A.△为等腰三角形B.与相互垂直平分C.点，都在以为直径的圆上D.为△的边上的中线10.如图，△的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且=2，△的周长为14，则的长为 A.3B.4C.5D.6二、填空题（共5小题；共25分）11.如图，从⊙外一点引⊙的两条切线，，切点分别是，，若=6 cm，是上一动点（点与，两点不重合），过点作⊙的切线，分别交，于点，，则△的周长是cm．12.如图，四边形是⊙的外切四边形，且=9，=15，则四边形的周长为．13.如图，⊙是四边形的内切圆，且=16，=10，则四边形的周长为．14.已知：切⊙于点，切⊙于点，点是⊙上异于，的一点，过点作⊙的切线分别交和于点，，若=10 cm，= 7 cm，则△的周长为cm．15.如图，⊙与△的边，，分别相切于点，，，如果=4，=5，=1，那么的长为．三、解答题（共4小题；共52分）16.如图，，分别与⊙相切于点，，连接，交⊙于点，连接，．求证：=．17.如图，，是⊙的切线，，为切点，切⊙于点，△的周长为12，∠=60∘．求：（1）的长；（2）∠的度数．18.如图，为⊙外一点，，切⊙于点，，⊙的半径为5，切⊙于点，交，于点，，=8，=7，=9，求的长．19.△的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且=5厘米，=9厘米，=6厘米，求，和的长．答案1.B2.C3.D4.A5.C6.D7.C8.A9.B10.C11.1212.4813.5214.20或3415.716.∵，分别与⊙相切，∴=，∠=∠，∵=，∴△≌△SAS，∴=．17.（1）∵，都是圆的切线，∴=．同理，=，=．∴三角形的周长=++=+++=+=2=12，∴的长为6．（2）∵∠=60∘，∴∠+∠=120∘．∴∠+∠=360∘−120∘=240∘．∵，是圆的切线，∠．∴∠=∠=12∠．同理，∠=12+∠=120∘，∴∠+∠=∴∠=180∘−120∘=60∘．18.如图，连接，，∵，是⊙的切线，∴=，⊥，同理可得=，=，∴=+=+，=+=+，∴+=+++=++=8+9+7=24，∵=，∴=12，在Rt△中，=2+2=122+52=13．19.=1 cm，=4 cm，=5 cm．。
北师大九年级下《3.7切线长定理》课时练习含答案解析
北师大版数学九年级下册第3章第7节切线长定理同步检测一、选择题1.如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．38答案：B解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选：B．分析：根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．2.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）A．15 B．12 C．20 D．30答案：D解析：解答：∵P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△PCD的周长为：PA+PB=30．故选：D．分析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，进而求出答案．3.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化答案：A解析：解答：如图：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．故选：A．分析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．4.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．11答案：D解析：解答：∵⊙O内切于四边形ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．故选：D．分析：根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．5.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：D解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．故选：D．分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可．6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．16答案：A解析：解答：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH．∴BG+CH=BI+CI=BC=9，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC）=25-2×9=7．故选A．分析：根据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC），据此即可求解．7.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A．4 B．8 C．4D．8答案：B解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，故选B．分析：根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB 的长．8.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（）A．35° B．45° C．60° D．70°答案：D解析：解答：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．根据切线长定理得PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=55°，所以∠P=70°．故选D．分析：根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．9.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案：C解析：解答：∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．故选C．分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为360度可解．10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=23，那么∠AOB等于（）A．90° B．100° C．110° D．120°答案：D解析：解答：∵△APO≌△BPO（HL），∴∠AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=23：4= 3：2，∴∠AOP=60°．∴∠AOB=120°．故选D．分析：由切线长定理知△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP= 3：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB的值．11.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（）A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．=PC•PO答案：D解析：解答：连接OA、OB，AB，∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ABP是等腰三角形，∵∠1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故A，B，C正确，根据切割线定理知：=PC•（PO+OC），因此D错误．故选D．分析：由切线长定理可判断出A、B选项均正确．易知△ABP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的特点，可求出AB⊥OP，故C正确．而D选项显然不符合切割线定理，因此D错误．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，12（90°+∠P）B．7，90°+12C．10，90°-12∠P D．10，90°+12∠P答案：C解析：解答：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=12∠AOB，∴∠AOB=180°-∠P，∴∠COD=90°-12∠P．故选：C．分析：根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=12∠AOB．13.圆外切等腰梯形的中位线等于8，则一腰长等于（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：解答：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，∴MN=12（AB+CD），根据切线长定理得：DE=DH，CF=CH，并且等腰梯形和圆都是轴对称图形，∴CD=DH+CH=DE+CF=12（AB+CD），∴CD=MN，而MN=8，∴CD=8．故选C．分析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，根据中位线定理可以得到上下底之和，然后利用切线长定理可以得到一腰长等于中位线，由此即可解决问题．14.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．8答案：C解析：解答：如图：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x．则有9-x+10-x=8，解得：x=5.5．所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．故选：C．分析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M．根据切线长定理得到NC=MC，QE=DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．15.已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（）A．大于B．等于C．小于D．不能确定答案：A解析：解答：连接OF，∵AD是切线，∴OF⊥AD，又∵AD∥BC，∴AB≥OF，CD≥OF，又∵AD＜BC，∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．∴AB+CD＞2OF，∵BC=2OF，∴AB+CD＞BC．故选A，分析：连接OF，则OF是梯形的高，则AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不能同时成立，据此即可证得．二、填空题16.如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD 的周长等于10cm，则PA= cm.答案：5解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为：5．分析：由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．17.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O 的切线长为8cm，那么△PDE的周长为答案：16解析：解答：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△PDE的周长为16．故答案为16．分析：由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长．18.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan 12∠APB的值是答案：2 3解析：解答：连接PO，AO，∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴∠APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，∴PA+PB=△PCD的周长=3r，∴PA=PB=1.5r，∴tan 12∠APB=AO: PA =r :1.5r =23，故答案为：2 3．分析：利用切线长定理得出PA=PB=1.5r，再结合锐角三角函数关系得出答案．19.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为答案：8cm解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=4cm，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是答案：14解析：解答：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14，故答案为：14．分析：由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O 的半径，由此可求出梯形的周长．三、计算题21.已知四边形ABCD外切于⊙O，四边形ABCD的面积为24，周长24，求⊙O的半径．答案：2解析：解答：设四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为：F，G，M，E，连接FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，四边形ABCD的面积为：1 2×EO×AD+12OM×DC+12GO×BC+12FO×AB=12EO（AD+AB+BC+DC）=12EO×24=24，解得：EO=2．故r=2．分析：利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出⊙O的半径．22.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.答案：2解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，∴CD=CE，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．故答案为：2．分析：由条件可得AD=CD，再由切线长定理可得：CD=CE，所以AD=CE，问题得解．23.如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径.答案：3解析：解答：连接OA、OB，则OA=OB（⊙O的半径），∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，已知∠P=90°，∴∠AOB=90°，∴四边形APBO为正方形，∴OA=OB=PA=3，则⊙O的半径长是3，故答案为：3．分析：连接OA、OB，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，由切线的性质及切线长定理可得：PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，再由已知∠P=90°，所以得到四边形APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即PA的长．24.如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O 的半径为2，求∠CPD.答案：60°解析：解答：∵PA=6，⊙O的半径为2，∴PB=PA-AB=6-4=2，∴OP=4，∵PC、PD切⊙O于点C、D．∴∠OPC=∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin∠OPC=2: 4 =0.5 ，∴∠OPC=30°，∴∠CPD=60°，故答案为：60°．分析：根据切线的性质定理和切线长定理求出OP=4，∠OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠OPC=30°，即可得出答案．25.如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.答案：2解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．故答案为：2．分析：先连接OD、OE根据⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，得出AF=AD，BE=BF，CE=CD，再根据OD⊥AD，OE⊥BC，∠ACB=90°，得出四边形ODCE是正方形，最后设OD=r，列出5+3-r=4+r，求出r=2即可．。
初三下册数学切线长定理练习题
初三下册数学切线长定理练习题在初三数学的学习中，我们接触到了很多有趣的定理和概念。
其中，切线长定理是一个非常重要且实用的定理。
它告诉我们如何计算切线的长度，并在解决几何问题时起到关键作用。
本文将通过几个练习题来帮助大家巩固切线长定理的应用。
练习题一：已知圆O的半径为r，点A和B是圆上的两个不重合点，线段AB与圆的切线交于点C。
如果AB的长度为d，求线段AC的长度。
解答一：根据切线长定理，线段AC的长度等于点C到圆心O的距离。
因此，我们可以得到以下等式：AC = √(AO² - OC²)其中，AO的长度就是圆的半径r，OC的长度可以通过勾股定理计算。
由于OC垂直于AC，且OB为半径，那么三角形BOC就是一个直角三角形。
根据勾股定理得到：OC² = OB² - BC²将OB的长度代入，即OC² = r² - (d/2)²。
将OC的长度代入前面的等式，即可求得线段AC的长度。
练习题二：在一个圆内，有一条长为l的弦，且与一条半径的夹角为θ。
求切线的长。
解答二：设弦的中点为M，圆的半径为r。
根据切线长定理，我们需要求出切点A到圆心O的距离，即OA的长度。
由于AO是半径，所以OA 的长度为r。
又因为三角形OAM是一个直角三角形，我们可以利用正弦函数得到AM的长度：AM = r * sin(θ/2)由于切线的长度等于切点到圆心的距离，所以切线的长为AM的两倍，即2 * r * sin(θ/2)。
练习题三：已知直径AB的长度为6cm，圆的半径为r。
线段CD为半径AE的垂直平分线，且CD与AB相交于点F。
若CF的长度为4cm，求切线的长。
解答三：首先计算半径AE的长度。
由于CD为半径AE的垂直平分线，所以AE等于AF。
根据勾股定理得到：AE² = AF² + CF²代入已知数据，即得AE² = 3² + 4² = 25。
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专题：切线长定理的应用
重难点易错点解析 题一：
题面：⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A 、B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P =60°，求∠ACB 的度数.
金题精讲 题一：
题面：如图1，△ABC 中，CA =CB ，点O 在高CH 上，OD ⊥CA 于点D ，OE ⊥CB 于点E ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ．
（1）求证：⊙O 与CB 相切于点E ；
（2）如图2，若⊙O 过点H ，且AC =5，AB =6，连结EH ，求△BHE 的面积．
图1 图2
满分冲刺 题一：
题面：如图，直角梯形ABCD 中，以AD 为直径的半圆与BC 相切于E ，BO 交半圆于F ，DF 的延
长线交AB 于点P ，连DE ．以下结论：①DE ∥OF ；②AB +CD =BC ；③PB =PF ；④AD 2
=4AB •DC ．其中正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．只有①②
C ．只有①②④
D ．只有③④
题二：
题面：如图①所示，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE 延长线上一点，且CE＝CB.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示)．若AB＝25，AD＝2，求线段BC和EG的长．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：60或120度
解析：连接OA、OB，
∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=60°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，
当点C在优弧AC上时，如图
又∵∠ACB和∠AOB分别是AC所对的圆周角和圆心角，
∴∠ACB=1
2
∠AOB=60°．
当点C在劣弧AC上时，∠ACB=180°-1
2
∠AOB=120°．
金题精讲
题一：
答案：（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD
∴⊙O与CB相切于E点．
（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=1
2
AB=
1
6
2
⨯=3，∴CH
．
∵点O在高CH上，⊙O过点H，∴⊙O与AB相切于H点．
由（1）知⊙O与CB相切于E点，∴BE=BH=3.
如图，过E作EF⊥AB于点F，则EF∥CH，∴△BEF∽△BCH．
∴BE EF
BC CH
=，即：
3
54
EF
=，∴EF=
12
5
∴
111218
3
2255 BHE
s BH EF
∆
=⨯=⨯⨯=
解析：（1）由等腰三角形的性质易得CH是∠ACB的平分线，再根据角平分线的性质定理得OE=OD，即圆心O到直线CB的距离等于半径，所以结论得证；（2）先由等腰三角形的性质，得BC=AC=5，BH=AH=3，在Rt△BCH中，由勾股定理得CH=4；再由切线长定理得BE=BH=3；然后，过点E作EF⊥AB于点F，则易得△BEF∽△BCH，根据相似三角形的对应边成比例得EH的
长，这样得△BHE的面积=1
2
BH EF．
本题系几何大型综合题．以等腰三角形和圆为背景，综合考查圆中的三大定理，即圆的切线
的判定定理与性质定理、切线长定理，又对相似形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义进行考查，需要综合运用所学知识解答这类问题；另外合理的作辅助线也是解决问题的关键所在．
满分冲刺
题一：
答案：C
解析：∵BA，BE是圆的切线．
∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD=CE，AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确；
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴OA•OD=AB•CD
∴AD2=4AB•DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选C．
题二：
答案：（1）连接OE，OC
∵CB ＝CE ，OB ＝OE ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△OEC ． ∴∠OBC ＝∠OEC ．
又∵DE 与⊙O 相切于点E ， ∴∠OEC ＝90°． ∴∠OBC ＝90°． ∴BC 为⊙O 的切线
（2）过点D 作DF ⊥BC 于点F ，
∵AD ，DC ，BG 分别切⊙O 于点A ，E ，B ， ∴DA ＝DE ，CE ＝CB ．
设BC 为x ，则CF ＝x －2，DC ＝x ＋2．
在Rt △DFC 中，(x ＋2)2
－(x －2) 2
＝) 2
，解得：x ＝52
． ∵AD ∥BG ， ∴∠DAE ＝∠EGC ． ∵DA ＝DE ， ∴∠DAE ＝∠AED ． ∵∠AED ＝∠CEG ， ∴∠EGC ＝∠CEG ． ∴CG ＝CE ＝CB ＝52
． ∴BG ＝5．
∴AG ＝． 解法一：连接BE ，ABG S ∆＝12AB •BG ＝1
2
AG •BE ，
∴． ∴BE ＝
10
3
．
在Rt △BEG 中，EG
解法二：∵∠DAE ＝∠EGC ，∠AED ＝∠CEG ， ∴△ADE ∽△GCE ．
∴
AD CG ＝AE EG
，2
2.5EG ．
解析：（1）欲证明BC 为⊙O 的切线，依据切线的判定定理，需证明OB ⊥BC ，为此要连接OC ，OE ，设法证明△OBC ≌△OEC ，得∠OBC ＝∠OEC ＝90°．（2）需顺着（1）问结论，灵活运用切线长定理，勾股定理，相似三角形知识解答，关键有二：一连接BE ，发现EC ＝BC ＝CG ；二通过过点D 作BG 边上的高构造直角三角形，应用勾股定理求出CE 的长．。