3.7切线长定理
3.7切线长定理
O
观察与猜想：你认为图中有哪些
相等的数量？
A
O
P
B
切线长定理：
过圆外一点画圆的两条切线，它们的 切线长相等。
注意：
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
如图：四边形ABCD 四条边都与⊙O相切 ，途中的线段之间有哪些等量关系？
D
N
P
.o
M L B
C
A
△ABC中,∠C =90º ,它的内切圆O分别与边 AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BC=24， AC=10，求 ⊙O的半径.
A D F O ∟
B
E
C
例2 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O 与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘 米,CA ＝13厘米,求AF、BD、CE的长。
A E F B D O C
已知在直角三角形中AB=10，AC=6.求 它的内切圆的半径。
A 10
1、圆的切线的定义是什么？ 2、圆的切线有哪些判定方法？ 3、你能过圆上一点作出圆的切线吗？ 能说出作图的步骤吗？理论依据是 什么？
作图的步骤： 1、连接OA; 2、过点A作直线l⊥OA.
O
1、你能过圆外一点作出圆的切线吗？
2、过圆外一点能作几条圆的切线吗？
O过圆外一ຫໍສະໝຸດ 作圆的切线，这点和 切点之的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。
6
C
B
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理及其应用。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的切线性质和几何图形的对称性。
在学习本节课时，学生需要掌握切线与圆的位置关系，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握切线长定理，并能够灵活运用它解决相关问题。
二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
然而，对于部分学生来说，理解和运用切线长定理解决实际问题仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服学习中的困难。
三. 教学目标1.理解切线长定理的含义，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的证明过程，切线长定理的应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用几何画板等教学软件，直观展示切线与圆的位置关系，帮助学生理解切线长定理。
3.通过例题讲解和练习，巩固学生对切线长定理的理解和运用。
4.鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，包括切线与圆的位置关系示意图、切线长定理的证明过程等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生对切线长定理的应用。
3.准备几何画板等教学软件，用于直观展示切线与圆的位置关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个圆和一条切线，引导学生观察切线与圆的位置关系，提出问题：“切线与圆有什么特殊的性质？”让学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
3.7 切线长定理课件(共19张PPT) 北师大版九年级下册数学
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD
3.7切线长定理 课件 初中数学模型
A P
O B
A O.
B
直径所对的圆周角 P 是直角.
讲授新课
一 切线长的定义
1.切线长的定义：
过圆外一点画圆的切线，这点和切点
A
之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
2.切线长与切线的区别在哪里？
O
P
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别
是圆外一点和切点，可以度量．
讲授新课
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
讲授新课
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA=
1 2
∠AOC.
P
同理可得∠COE=
1 2
∠COB.
∠DOE=∠DOC+∠COE= 12（∠AOC+
∠COB）=70°.
DA
C
O
EB
讲授新课
方法归纳 切线长问题辅助线添加方法
（1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
运用切线长定理，将相等线段转化 集中到某条边上，从而建立方程.
r a b c 只适合于直角三角形
2
第3题
当堂练习
拓展提升：
6.直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：
5
3.7 切线长定理及其推论
E
。
OC
D
P
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，
A
角相等，弧相等，垂直关系提供了理 论依据，必须掌握并能灵活应用。
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
课后作业
完成课堂点睛第71-72页
谁在装束和发型上用尽心思， 谁就没有精力用于学习；谁只注 意修饰外表的美丽，谁就无法得 到内在的美丽。 —— 杨尊田
关系.
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OEP O C D
P
（2）写出图中与∠OAC相等的角. B ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形. △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
例1 PA、PB是⊙O的两条切线，
典例精析 A、B为切点，直线OP交于⊙O于点
∴r=4 即⊙O半径为4
r 12(102426) r 12(abc)
例3 如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点
E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求： （1）PA的长； （2）∠COD的度数．
解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线， ∴CA=CE 同理DE=DB，PA=PB
∴三角形PDE的周长 =PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD =PA+PB =2PA =12，
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
OO
P
B
获取新知
一、切线长定义:
A
经过圆外一点做圆
的切线，这点和切点之间
的线段的长叫做这点到
O
P
圆的切线长。
切线与切线长的区别与联系： B
（1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
北师大版丨九下数学3.7切线长定理知识点精讲！
北师大版丨九下数学3.7切线长定理知识点精讲！
知识点总结
(一）切线的判定定理和性质定理
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
（二）切线长定理
1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.注意：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
3.圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
（三）三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
注意：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
切线长的定义
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
2.切线长与切线的区别在哪里？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
切线的性质。
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。
2.运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。
3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.圆规、直尺、彩色粉笔。
3.练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。
然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。
同时，解释切线长定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品说课稿
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.7《切线长定理》是本章的重要内容。
切线长定理是圆的性质定理之一，它揭示了圆上一点到圆外一点的切线长与该点到圆心的距离之间的关系。
这一定理在解决几何问题时具有广泛的应用，是学生进一步学习圆的性质和解决实际问题的关键。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
但是，对于切线长定理的理解和应用，部分学生可能会感到抽象和难以理解。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线长定理的内容，理解切线长、圆心角和圆周角之间的关系。
2.过程与方法：通过观察、实验、证明等方法，培养学生探究和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线长定理的内容及其应用。
2.教学难点：切线长定理的证明和灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作探究法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入切线长定理的概念。
2.自主学习：学生阅读教材，了解切线长定理的内容。
3.小组讨论：学生分组讨论，探究切线长定理的证明方法。
4.教师讲解：讲解切线长定理的证明过程，引导学生理解定理的含义。
5.应用练习：学生进行课堂练习，巩固切线长定理的应用。
6.拓展提高：引导学生思考切线长定理在实际问题中的应用，进行拓展训练。
7.课堂小结：总结本节课的主要内容和收获。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：圆上一点到圆外一点的切线长等于该点到圆心的距离。
2.证明：利用圆的性质和几何变换进行证明。
3.应用：解决实际问题，如圆的切割、角度计算等。
北师大版九年级下册数学3.7《切线长定理》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《切线长定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求点到圆上某点的距离的情况？”（例如，测量圆形花园中两点间的最短距离）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索切线长定理的奥秘。
-重点举例：
a.通过画图，让学生直观感受切线长定理，如从圆外一点引两条切线，观察两条切线长的关系。
b.结合教材例题，讲解如何利用切线长定理求解实际问题，如求解线段长度、角度等。
2.教学难点
-理解切线长定理的本质：学生需要从几何直观过渡到逻辑推理，理解切线长定理的本质，并能够运用定理解决相关问题。
-运用切线长定理解决复杂问题：在解决实际问题时，学生可能难以找到合适的切点，或者在面对复杂图形时不知道如何运用切线长定理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解切线长定理的基本概念。切线长定理是指在圆外一点引两条切线，它们的切线长相等。这个定理在几何学中非常重要，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用切线长定理求解实际问题，以及它如何帮助我们找到点到圆上某点的最短距离。
3.7 切线长定理+课件+2023—2024学年北师大版数学九年级下册
别为D,E,F,如图,设☉O的半径为r,
∵☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,
∴OE=OF=r,BD=BE,CE=CF,AD=AF,∵∠ACB=90°,
∴四边形OECF为正方形,
∴CE=CF=r,∴BD=BE=BC-EC=3-r,
∴AD=AB+BD=5+3-r=8-r,AF=AC+CF=4+r, Nhomakorabea( C )
A.40°
B.140°
C.70°
D.80°
数学
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4.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,若∠P=80°,则∠ABO的
度数是
A.30°
( B )
B.40°
C.50°
D.60°
数学
返回目录
4.B 解析:∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,OB⊥PB,即∠PBO=90°,
1
∵∠OED=90°,DE=1,∴r2=(4-r)2+12,
17
17
解得r= ,即☉O的半径是 .
8
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北师大版 九年级数学下册
证明:∵四边形ADCH是圆内接四边形,
∴∠ADC+∠AHC=180°,
又∵∠AHC+∠AHB=180°,
∴∠ADC=∠AHB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠B,∴∠AHB=∠B,∴AB=AH,
∴△ABH是等腰三角形.
数学
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(2)求证:直线PC是☉O的切线;
第3章3.7切线长定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
2.教学难点
（1）切线长定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理能力要求较高，理解切线长定理的证明过程可能存在困难。
-突破方法：采用直观图形和动画演示，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明的每一步逻辑。
（2）切线长定理在复杂图形中的应用：在实际问题中，圆与其他几何图形结合，学生可能难以识别和运用切线长定理。
-突破方法：提供解题思路和方法，如先找切点、再利用定理等，通过分步骤解析，帮助学生建立解题框架。
本节课的教学难点与重点是密切相关的，教师需在教学过程中针对重点内容进行详细讲解和反复强调，同时针对难点内容采取有效方法，帮助学生克服困难，确保学生对切线长定理的理解和应用能力得到全面提升。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
2.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的证明和应用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中的逻辑推理，我会通过逐步引导和举例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规来实际作图，演示切线长定理的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第3章3.7切线长定理（教案）2023-2024学年九年级下册数学（教案）(北师大版)
北师大版数学九年级下册第三章 3.7 切线长定理
北师大版数学九年级下册第三章 3.7 切线长定理概述在数学中，切线是与曲线相切且只有一个交点的直线。
切线长定理指出了当直线与圆相切时，切线在圆上所切割的弧长与切线外部的剩余弧长之间存在着一种特殊的关系。
在本文中，我们将详细讨论切线长定理在数学中的应用。
切线长定理的表述设在平面直角坐标系中，原点为圆心，半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 =r^2。
对于圆上的任意一点P(x, y)，若以圆心O为顶点，OP的斜率为k且通过P 点，则切线的方程为y = kx + b，其中b为常数。
则点P处的切线在圆上所切割的弧长等于切点到圆心的距离所对应的圆心角的弧长的一半。
切线长定理的证明首先，我们先证明切线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = r^2相切。
设点P(x, y)为圆上的一点。
由于切线与圆相切，则切线过点P且与圆的切点只有一个交点，也就是说切线与圆只有一个交点。
因此，我们可以通过解方程组来判断切线与圆是否相切。
将切线方程代入圆的方程中，得到(x^2 + (kx + b)^2) - r^2 = 0. 经过化简，得到(k^2 + 1)x^2 + 2bkx + (b^2 - r^2) = 0。
由于切线与圆只有一个交点，所以该方程只有一个解，即判别式D = (2bk)^2 - 4(k^2 + 1)(b^2 - r^2) = 0。
解方程D = 0，得到b = r^2 / (2k)。
代入切线方程y = kx + b，得到切线方程为y = kx + r^2 / (2k)。
同时，由于切线过点P(x, y)，所以点P满足切线方程，即y = kx + r^2 / (2k)。
将此方程代入圆的方程x^2 + y^2 = r2中，得到x2 + (kx + r^2 / (2k))^2 = r2。
经过化简，得到x2 + k^2*x^2 + r22 / (4k^2) + 2k2x r2 / (2k) = r^2。
合并同类项，得到(k^2 + 1)x^2 + r22 / (4k^2) + k2r^2 = r^2。
北师大版九年级下册数学：切线长定理课件
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
OE
P
B
教师寄语： 同学们！ 请铭记：
勤奋是舟，规律是桨，只有刻苦努力，你们 必将顺利抵港。
北师大版九年级数学下册
第三章 圆
3.7 切线长定理
一、情境引入，明晰定义
为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学 采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上， 用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺， 按图中所示的方法得到相关数据，进而可求
得锅盖的半径。若测得PA=5cm，则锅盖的半
径长是多少？
O B
AP
做一做
A
D
圆的外切四边形对边的关系：
两组对边的和相等.
O
C
B
图9
五、触类旁通，提升能力
填空：如图，PA、PB分别与⊙O
相切于点A、B，求：
（1）若PB=12，PO=13，则AO= （ ）
（2）若PO=10，AO=6，则PB= （ ）
（3）若PA=4，AO=3，
则PO=
；PD=； Nhomakorabea已知：如图，Rt△ABC的两条直角边 AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切 圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.
问题2：我们猜测的结果能否作为 定理来用呢？为了让我们得出的命 题成为定理，我们需要怎么做？
已知：PA、PB分别是⊙O的切线，点A、 B分别为切点 求证:PA=PB
切线长定理：从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相等.
四、运用新知，解决问题 1、情景问题 为了测量一个圆形锅盖的半
径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水 平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个 刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进
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想一想
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
A
.
O
P
B
要我们构建基本图形.
（1）分别连接圆心和切点 （2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点
探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线 OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.
A
E C
试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA， PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。 ∠C＝50， ①求∠APB的度数 ②求证：AC∥OP。 A C O B
P
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
O
B
D
P
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB
AB⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP，△AOB A
E C D
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ C ） A.60° C.120° B.90° D.150°
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C ，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切 线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ） A
2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和 BC,AC,AB分别相切于点D,E,F. 求AE,CD,BF的长. x 【解析】设AE=x，BF=y，C得 x+z=11, x=9, y=6, z=2,
B F A
x
I. E
y
y
z
C
D z
答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6.
圆半径为1，利用勾股定理求得AB= 3 ,那么这个正三角
形的边长为 2 3 .
B A
3.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，
Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F 点，已知PA=12cm，求△PEF的周长. 【解析】 易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
F
3.7 切线长定理
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 2.这样的切线能画出几条？ 3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
A
O
130°
B
50°
P
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
A O. P
B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
A
O O ·
P
B
切线长概念
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫
做这点到圆的切线长.
O · P A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
比一比：
切线与切线长
O
A
P
切线和切线长是两个不同的概念：
B
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量.
（1）切线和圆只有一个公共点.
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（6）切线长定理.
2.（德化· 中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线
AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，
A
O
D
P
B 图10
3、为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学 采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面 上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻 度尺，按图中所示的方法得到相关数据， 进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm， 则锅盖的半径长是多少？
O
B
A
P
通过本课时的学习，需要我们掌握： 切线的6个性质：
D
A
abc r . 2
●
O
┓
┗ F
B
E
C
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c. 求内切圆⊙O的半径r. A
D
●
O
┓
F
2S r . abc
1 S r a b c . 2
B
E
C
例题选讲 例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。 x E A x O F 9﹣ x B D 13﹣x C
折一折
A
O B
1 2
P
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着 直线OP对折,你能发现什么?
证一证
请证明你所发现的结论.
B
PA=PB
∠OPA=∠OPB
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
13﹣x
9﹣ x
1、填空：如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， （1）若PB=12，PO=13，则AO= （2）若PO=10，AO=6，则PB= ； （3）若PA=4，AO=3，则PO= ；PD= ；
A
O
D
P
B 图10
2、已知如图10，PA、PB分别与⊙O相切于点A、 B，PO与⊙O相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm. 求半径OA的长.
F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
D
C
并证明你的结论.
E
(2)若tan∠ACB= 2 ，BC=2，
2
O A
F
求⊙O的半径.
B
O
B
P
【例题】
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于
点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，
BD，CE的长. 【解析】设AF=x,则AE=x ∴CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC可得 13-x+9-x=14， 解得x=4. ∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
【例题】
【例1】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和 ⊙O分别相切于点L，M，N，P， 求证：AD+BC=AB+CD.
N D P A O L M C
证明：由切线长定理得
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, 即AD+BC=AB+CD，
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,
A 16cm C 12cm A B D D C B E P 14cm 8cm
2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么这个正三角形的边长为（ ）
A ．2
B ．3
C． 3
D． 2 3
【解析】选D.如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是
直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
切线长定理
过圆外一点，所画的
圆的两条切线的长相
等.
A
O
几何语言:
P
B
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
试一试
若连接两切点A，B，AB交
B O
M
OP于点M.你又能得出什么
新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB
B
补充：圆的外切四边形的两组对边
的和相等．
【跟踪训练】
1.如果PA=4cm,PD=2cm, 求半径OA的长.
【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中，OA=xcm， OP=OD+PD=（x+2）cm， PA=4cm, 由勾股定理，得
x
4 x 2
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2, 整理，得x=3. 所以，半径OA的长为3cm.
P
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. ∴OP垂直平分AB.
若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什 么新的结论?并给出证明. CA=CB
.
B
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴ PE+EQ=PA=12cm, PF+FQ=PB=PA=12cm. ∴周长为24cm.
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆 的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作 ⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝ 10cm， 求△PED的周长。 A O F B
D
P
E
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。 A O F B E D P