3.7切线长定理

又∵ PC=PC. ∴△PCA≌△PCB ，∴BC=AC.
想一想
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
A
.
O
P
B
要我们构建基本图形.
（1）分别连接圆心和切点 （2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点
探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线 OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.
A
E C
试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA， PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。 ∠C＝50， ①求∠APB的度数 ②求证：AC∥OP。 A C O B
P
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
O
B
D
P
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB
AB⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP，△AOB A
E C D
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ C ） A.60° C.120° B.90° D.150°
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C ，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切 线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ） A
2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和 BC,AC,AB分别相切于点D,E,F. 求AE,CD,BF的长. x 【解析】设AE=x，BF=y，C得 x+z=11, x=9, y=6, z=2,
B F A
x
I. E
y
y
z
C
D z
答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6.
圆半径为1，利用勾股定理求得AB= 3 ,那么这个正三角
形的边长为 2 3 .
B A
3.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，
Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F 点，已知PA=12cm，求△PEF的周长. 【解析】 易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
F
3.7 切线长定理
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 2.这样的切线能画出几条？ 3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
A
O
130°
B
50°
P
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
A O. P
B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
A
O O ·
P
B
切线长概念
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫
做这点到圆的切线长.
O · P A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
比一比：
切线与切线长
O
A
P
切线和切线长是两个不同的概念：
B
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量.
（1）切线和圆只有一个公共点.
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（6）切线长定理.
2.（德化· 中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线
AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，
A
O
D
P
B 图10
3、为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学 采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面 上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻 度尺，按图中所示的方法得到相关数据， 进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm， 则锅盖的半径长是多少？
O
B
A
P
通过本课时的学习，需要我们掌握： 切线的6个性质：
D
A
abc r . 2
●
O
┓
┗ F
B
E
C
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c. 求内切圆⊙O的半径r. A
D
●
O
┓
F
2S r . abc
1 S r a b c . 2
B
E
C
例题选讲 例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。 x E A x O F 9﹣ x B D 13﹣x C
折一折
A
O B
1 2
P
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着 直线OP对折,你能发现什么?
证一证
请证明你所发现的结论.
B
PA=PB
∠OPA=∠OPB
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
13﹣x
9﹣ x
1、填空：如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， （1）若PB=12，PO=13，则AO= （2）若PO=10，AO=6，则PB= ； （3）若PA=4，AO=3，则PO= ；PD= ；
A
O
D
P
B 图10
2、已知如图10，PA、PB分别与⊙O相切于点A、 B，PO与⊙O相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm. 求半径OA的长.
F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
D
C
并证明你的结论.
E
(2)若tan∠ACB= 2 ，BC=2，
2
O A
F
求⊙O的半径.
B
O
B
P
【例题】
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于
点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，
BD，CE的长. 【解析】设AF=x,则AE=x ∴CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC可得 13-x+9-x=14， 解得x=4. ∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
【例题】
【例1】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和 ⊙O分别相切于点L，M，N，P， 求证：AD+BC=AB+CD.
N D P A O L M C
证明：由切线长定理得
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, 即AD+BC=AB+CD，
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,
A 16cm C 12cm A B D D C B E P 14cm 8cm
2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么这个正三角形的边长为（ ）
A ．2
B ．3
C． 3
D． 2 3
【解析】选D.如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是
直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
切线长定理
过圆外一点，所画的
圆的两条切线的长相
等.
A
O
几何语言:
P
B
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
试一试
若连接两切点A，B，AB交
B O
M
OP于点M.你又能得出什么
新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB
B
补充：圆的外切四边形的两组对边
的和相等．
【跟踪训练】
1.如果PA=4cm,PD=2cm, 求半径OA的长.
【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中，OA=xcm， OP=OD+PD=（x+2）cm， PA=4cm, 由勾股定理，得
x
4 x 2
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2, 整理，得x=3. 所以，半径OA的长为3cm.
P
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. ∴OP垂直平分AB.
若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什 么新的结论?并给出证明. CA=CB
.
B
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴ PE+EQ=PA=12cm, PF+FQ=PB=PA=12cm. ∴周长为24cm.
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆 的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作 ⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝ 10cm， 求△PED的周长。 A O F B
D
P
E
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。 A O F B E D P