切线长定理课件

夹角等于 60 度
（6）如果PA=4cm，PD=2cm，试 求半径OA的长。
解：设OA= x cm，则PO= PD + OD = (x+2) cm 在RtΔ OAP中，由勾股定理得 即：
x
PA2 OA2 OP2
2
4
x
3cm
2

x 2
2
解得： x=

半径OA的长为3cm
反思：在解决有关圆的 切线长问题时，往往需 要我们构建基本图形。
3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于10cm. 求内切圆⊙O的半径r.
4.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半 径是_______.
5.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为 1cm,则此三角形的周长是_______.
思考：经过圆外一点P，如何作已知⊙O的切线？ A
D C
A
B
3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
A E
D
K F
B
C
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
A
O P
M B
C
思考
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I
D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心
A
D
O
E
三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。 B
D
A
abc r . 2
●
O
┓
┗ F
B
E
C
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为 a,b,c. A 求内切圆⊙O的半径r. D F
●
O
2S r . abc
1 S r a b c . 2
B
E
┓
C
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为—— 2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——
切线长定理
经过平面上一个已知点，作已知圆的切线 会有怎样的情形？
P· · O
A P· · O
P.
· O
数学探究 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长叫做切线长。 A O B
切线长和切线的区别和联系:
·
P
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上 的一条线段的长，可以度量。
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
A 16cm C 12cm A B D D C B E P 14cm 8cm
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明.
B
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.
B
。
CA=CB C
O
P A
例1.PA、PB是⊙O的两条切线， A、B为切点，直线OP交于⊙O E 于点D、E，交AB于C。
。
P
O
B
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
O O·
P
B
选做题：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
E C
E
D
C
D
A · O
F
B
A
· O
B
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13﹣x
9﹣ x
随堂训练 1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=70 °, 点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。 A
O B C
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内 心，求∠ BOC的度数。
2、如图，一圆内切于四边形ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形的周长为( ) （A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56
反思：在解决有关圆 A 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。 。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． A
O B P
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
F
C
练习：如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果 AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= 11 cm, AC= 6cm AB= 9cm 2 A E 4 C
F
B
7
D
例题选讲 例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。 x E A x O F 9﹣ x B D 13﹣x C
B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
O
。
P A
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。 B
。
O
P
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
一、判断
练习
）
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 二、填空 (1)如图PA、PB切圆于A、B两点， APB 50 连结PO，则 APO 25 度。 A O P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C， DE分别交PA，PB于D、E，已知PA=8CM，则Δ A PDE的周长为（ ）
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形
A O
C D B
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （5）如果半径为3cm，PO=6cm，则PA= 3 3 cm，两切线的