第6章 假设检验总结

STAT
Z Z0.05 1.645 （P287）
若Z 1.645 ，则拒绝H 0 x 8.1 8 Z 1.414 0.5 n 50
Z ~ N (0,1)
接受域
x0

6-30
以95%的把握接受 H 0 拒绝H1
2 2、正态总体， 未知
STAT
• [例]某种金属线的抗拉强度X~N（10620， 2 ），据说目 前有所下降。为此从新生产的产品中任取10根，测得样本 均值10600kg，样本标准差为81kg。可否认为其平均抗拉 强度比过去下降了？（=0.05） • 解：H0： 10620 H1： <10620
STAT
两类错误与显著性水平
6-20
假设检验中的两类错误
• 1. 第Ⅰ类错误(弃真错误)
– 原假设为真时拒绝原假设 – 第Ⅰ类错误的概率记为
• 被称为显著性水平 STAT
• 2. 第Ⅱ类错误(取伪错误)
– 原假设为假时未拒绝原假 设 – 第Ⅱ类错误的概率记为 (Beta)


6-21

抽取随机样本
均值 x = 20
6-7
STAT
原假设与备择假设
6-8
原假设
(null hypothesis)
STAT
• 在假设检验时首先要提出一个假设，就称 原假设。又称零假设或虚拟假设，通常用 H0表示 • 例如：在质量管理中假设在正常的情况下， 零件的平均长度应是2厘米，就建立
STAT
6-17
STAT
5、双侧检验与单侧检验
6-18
双侧检验与单侧检验
STAT
1. 假设检验根据实际的需要可以分为双侧检 验和单侧检验。 2. 单侧检验分为左侧检验和右侧检验。 3. 双侧检验指客体的指标过大和过小都不符 合要求，因此都需要加以检验，这时检验 的拒绝域就位于图形的两侧。
6-19
STAT
6-16
4、显著性水平
• 例如：有一批产品1000件，生产商声称只有一件为次 品，那么随机抽取一个进行检查时，通常不会抽到次 品，因为抽中次品的概率为千分之一，但如果在一次 抽取中抽到了次品，显然就有理由怀疑生产者的声称， 认为1000件中只有一件次品的说法是假的。 • 在假设检验时也是如此。我们确定了原假设为真时的 可能范围为接受域，而落入拒绝域是个小概率事件。 一旦落入拒绝域，就要拒绝原假设而接受备择假设。 小概率常用 表示，也称显著性水平。
( x1 x 2 ) ( 1 2 )
STAT
STAT
Z
12
n1
2 1

2 2
正态总体、 2已知 t
2 2
n2
( x1 x 2 ) ( 1 2 )
2 2 sw sw n1 n2
接受域： Z Z 0.025 1.96
2
Z
ˆ P p P(1 P) n

0.525 0.5 0.5 0.5 400
1
2
Z ~ N (0,1)
接受域
-1.96 1.96
在0.05 的下接受H 0否定H1
2
6-34
三、两个总体平均数之差的假设检验
（一）确定假设 1、H0：1–2=0 H1： 1–2 0 2、H0：1–2 0 H1： 1–2 0 3、H0：1–2 0 H1： 1–2 0 （二）确定检验统计量
P(1 P) ˆ ~ N P, p Z n
ˆ P p P(1 P) n
~ N (0,1)
6-33
STAT
[例]据以往调查，购买某企业产品的顾客中30岁以上的男子 STAT 占50% 。该企业关心这个比例是否有变，于是随机抽取400 名顾客进行调查，结果有210人为30岁以上的男子。该厂希 望在0.05的显著性水平下检验这个比例是否有变。 解： H0：P=50% H1： P50%
STAT
临界值：Z Z 0.05 1.645
510 500 Z 8.84 8 n 50 x
Z ~ N (0,1)
接受域
1.645

6-32
以95%的把握拒绝 H 0 接受H1
二、单个总体，比例的检验
STAT
STAT （一）确定假设 1、H0：P=P0 H1： P P0 2、H0：PP0 H1： PP0 3、H0：PP0 H1： PP0 （二）检验统计量 当n很大（≥30），且nP和n（1–P）两者均大于等于5 时，
6-26
假设检验步骤的总结
STAT
（一）提出原假设和备择假设
（二）确定适当的检验统计量 （三）规定显著性水平
（四）计算检验统计量的值
（五）作出统计决策
6-27
第二节 参数的假设检验
STAT
一、单个总体的均值检验
二、单一样本的比例检验
三、两个总体均值之差的检验 四、两个总体比例之差的检验
6-28
一、单个总体，的检验
• 1、正态总体且2已知
STAT
• [例]某厂商声称其新开发的钓鱼线的强度服从正态分布， 且平均强度为8kg，标准差为0.5kg。现从中随机抽出50 条，测试结果为平均强度为7.85kg，问能否接受厂商的 声称？（=0.05） • 解：H0：=8 H1： 8
接受域： Z 2＝ Z 0.025 1.96
H0 : 2cm
6-9
备择假设
(alternative hypothesis)
STAT
• 在提出原假设的同时，还要制定另一个假 设称做备择假设。 • 原假设是待检验的假设，备择假设则是原 假设被拒绝后替换的假设。因为对于任何 一个假设检验问题所有可能的结果都应包 含在两个假设之内，非此即彼。如上述例 子中零件长度要么等于2厘米，要么不等 于2厘米，备择假设通常用H1表示，因此可 以建立 H1 : 2cm
6-10
提出假设
(例题分析)
STAT • 【例】一种电子元件的生产标准是直径为 0.1cm，为对生 产过程进行控制，质量检测人员定期对一台加工设备检 查，确定这台设备生产的电子元件是否符合标准要求。 如果元件的平均直径大于或小于 0.1cm，则表明生产过程 不正常，必须进行调整。试建立用来检验生产过程是否 正常的原假设和备择假设 解：研究者想收集证据予以证明的假设应 该是“生产过程不正常”。建立的原假设 和备择假设为
6-14
2、检验统计量
(test statistic)
STAT
• 对原假设检验时必然要样本的数据来判断。 对样本数据进行加工并用来判断是否接受原 假设的统计量称为检验统计量。例如上面列 举的原假设 H0 : 0 (0为一已知数值) • 那么样本均值就可以作为检验统计量，有时 为了方便还将样本均值标准化为 X z • ，称为Z统计量。 n
H0 ： 0.1cm
H1 ： 0.1cm
6-11
提出假设
• STAT 【例】某厂家声称，所生产的某品牌灯管寿命不低于 4000 小时，经销商在对该灯管经销前，有关研究人员 想通过抽检其中的一批灯管来验证该生产厂家的声称 是否属实。试建立用于检验的原假设和备择假设。
(例题分析)
解：研究者想搜集证据予以证明的 假设应该是“灯管寿命低于 4000 小 时”。于是原假设和备择假设应设 定为 H0 ： 4000 H1 ： < 4000
点估计量 — 假设值 标准化检验统计量 点估计量的抽样标准差
6-15
3、接受域和拒绝域
• 假设检验根据检验统计量的具体结果来判别是否接受 H0 因此在假设为真的情况下将抽样所有可能结果组 成的样本空间划分为两部分： • 一部分是原假设为真时允许范围内的变动，应该接受 原假设，因此称作接受域； • 另一部分是超出了一定的界限，当原假设为真时只有 很小的概率出现，因而当统计量的结果落入这一区域 便应拒绝原假设，这一区域称作拒绝域。 • 接受域和拒绝域之间的分割点通常称作临界值
第6章
假设检验
STAT
第一节 假设检验的基本概念
第二节 参数的假设检验
第三节 非参数假设检验
6-1
假设检验在统计方法中的地位
STAT
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
6-2
第一节 假设检验的基本概念
STAT
1、原假设和备择假设
2、检验统计量
3、接受域和拒绝域
4、显著性水平
5、双侧检验与单侧检验 6、假设检验中的两类错误
4. 样本容量 n
– 当 n 减少时增大
6-23
(significant level)
STAT
显著性水平
• 1. 是一个概率值
• 2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率
– 被称为抽样分布的拒绝域
• 3. 常用的 值有0.01, 0.05, 0.10 • 4. 由研究者事先确定
6-24
STAT
(例题分析)
H0 ： 10%
H1 ： 10%
6-13
提出假设
(结论与建议)
STAT
1. 原假设和备择假设是一个完备事件组，而且 相互对立
– 在一项假设检验中，原假设和备择假设必有一 个成立，而且只有一个成立
2. 先确定备择假设，再确定原假设
3. 等号“=”总是放在原假设上
4. 因研究目的不同，对同一问题可能提出不同 的假设(也可能得出不同的结论)
6-12
提出假设
• STAT 【例】一家研究机构估计，某县60岁以下人群中初中及 其以下文化程度的人口所占比重超过 10%。为验证这一 估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检 验。试建立用于检验的原假设与备择假设。 解：研究者想搜集证据予以支持的假 设是“该县60岁以下人群中初中及其 以下文化程度的人口所占比重超过 10%”。于是原假设和备择假设应设 定为：
检验统计量与拒绝域
6-25
决策规则
1. 给定显著性水平，查表得出相应的临界值z或 z/2，t或t/2
2. 将检验统计量的值与水平的临界值进行比较
STAT
3. 作出决策
– 双侧检验：｜统计量｜ > 临界值，拒绝H0
–
–
左侧检验：统计量 < -临界值，拒绝H0
右侧检验：统计量 > 临界值，拒绝H0
6-3
什么是假设?
(hypothesis)
STAT
• 对总体参数的具体 数值所作的陈述
– 总体参数包括总体均值、 比率、方差等 – 分析之前必须陈述
我认为这种新药的疗效 比原有的药物更有效!
6-4
什么是假设检验?
(hypothesis test)
1. 先对总体的参数(或分布形式)提出某种假 设，然后利用样本信息判断假设是否成 立的过程 2. 有参数检验和非参数检验 3. 逻辑上运用反证法，统计上依据小概率 原理
和 的关系
STAT
和的关系就像 翘翘板，小就 大，大就小
你不能同时减 少两类错误!


6-22
影响 的因素
STAT
•
• • •
1. 总体参数的真值
– 随着假设的总体参数的减少而增大
2. 显著性水平
当减少时增大
3. 总体标准差 5 (9) 1.8331（P289）
x 10600 10620 t 0.78 s 81 n 10
T ~ t (n 1)
接受域
6-31
以95%的把握接受 H 0 拒绝H1
3、非正态分布或总体分布形式未知 STAT
[例]一食品加工者关心500g的水果罐头是否装得太满。现随 机抽取一个容量为50的样本，发现平均重量为510g，标准 差为8g。试根据0.05的显著性水平检验罐头是否装得太满？ 解：H0： 500 H1： >500
STAT
6-5
假设检验的基本思想
抽样分布
这个值不像我 们应该得到的 样本均值 ... ... 因此我们拒 绝假设 = 50
STAT
... 如果这是总 体的假设均值
20
= 50 H0
样本均值
6-6
假设检验的过程
STAT
提出假设
作出决策
拒绝假设 别无选择!
总体
我认为人口的平 均年龄是50岁

7.85 8 Z 2.12 0.5 n 50 x
Z ~ N (0,1)
接受域
-Z/2 0 Z/2
2
6-29
以95%的把握拒绝 H 0 接受H1
• [例]某厂商声称其新开发的钓鱼线的强度服从正态分布， 且平均强度不超过8kg，标准差为0.5kg。现从中随机抽 出50条，测试结果为平均强度为8.1kg，可否认为其平均 强度比8kg高？（=0.05） • 解：H0： 8 H1： > 8