有限元基础

有限元入门基础
(1)许多工程分析问题，如固体力学中位移场和应力场分析、振动特性分析、传热学中的温度场分析、流体力学中的流场分析等都可归结为在给定边界条件下求解其控制方程（一般为常微分方程或偏微分方程）的问题。这些控制方程只有在极简单的情况下才能获得解析解，大部分情况下只能用数值方法求得其近似解。 随着计算机技术的飞速发展，数值解法变得越来越重要。
目前工程中实用的偏微分方程的数值解法主要有三种，即有限差分法、有限元法和边界元素法。其中以有限元法通用性最好，应用最广。

(2)有限元法是适应电子计算机的使用而发展起来的一种比较新颖和有效的数值计算方法。这种方法大约起源于20世纪50年代航空工程中飞机结构的矩阵分析。结构矩阵分析是结构力学的一种分析方法。结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的力学特性可以比作建筑物中的砖瓦，装配在一起就能提供整体结构的力学特性。
为什么要首先分析力学小单元的特性呢?直接分析整体结构不是更好吗?我们说人类的认识能力是有限的，不可能一下子就弄清楚很复杂的东西。因此往往把复杂系统分解成性态容易了解的单个元件或“单元”，研究其性态。再将这些元件重建原来的系统以得到整体性态。这是工程技术人员和科学家经常采用的分析问题的方法。
有限元方法即表现出这种分析问题的特征，将一个物体划分成由小的物体或单元(有限元)组成的等价系统，这些单元通常与两个或更多的单位(节点)相互连接，或与边界线或表面相互连接，这个过程叫做离散化。在有限元方法中，代替一次求解整个物体，建立每一个有限单元的方程，并组合这些方程得出整个物体的解答。

(3)随着数字电子计算机的出现，求解离散系统问题一般比较容易，即使单元数目非常大时也是如此。但对于连续系统，由于实际上有无限个单元，而计算机的存储量总是有限的，因此由计算机不容易处理。工程上处理连续体问题的方法一般是将连续系统离散化，通过离散，使连续系统变成离散系统，从而可以采用解决离散系统问题的方法，用计算机进行处理。这种离散当然都带有近似性，但是，它是这样一种近似：当离散变量的数目增加时，它可以逼近真实的连续解。有限元法用于求解连续系统问题时就是一种离散化方法。
目前，有限元法已成为工程设计中不可或缺的一种重要方法，在结构问题分析，例如大型结构作用力分析、变形分析、振动分析，和非结构问题分析，例如失效分析、传热

分析、电磁场分析、流体流动（包括通过多孔材料的渗流）分析，乃至某些生物力学工程问题的分析(可能包含应力分析)，例如人的脊柱、头骨、股关节、颁移植、树胶牙齿移植、心脏和眼的分析等方面扮演着越来越重要的角色。

(4)下面给出一些有限元方法应用的例子。目的是说明可以用有限元方法求解的问题的类型、规模和复杂程度，并说明典型的离散过程和所用单元类型。

(5)图1-1表示一个铁路控制塔，该塔是由一系列梁单元组成的三维框架。用带圆圈的数字标出了单元，用不带圈的数字表示节点。每个节点有三个转动分量和三个位移分量，称为自由度。由于该塔结构所受的荷载情况，分析中使用了三维模型。

(6)第二个例子是地下箱形涵洞在炸弹爆炸产生的地面振动地区荷载作用下的位移和应力分析。图1-2表示离散的模型，共369个节点、40个一维杆单元或桁架单元用来模拟箱形涵洞中的钢筋，333个平面应变二维三角形和矩形单元用来模拟周围的土壤和混凝土箱形涵洞。由于对称，仅需要分析箱形涵洞的一半。

(7)第三个例子是液压缸杆端应力集中的分析，如图1-3所示，将对称性应用于整个杆端，因此只须分析杆端的一半，如图所示。此分析的目的是找出杆端应力集中最高的位置。

(8)图1-4表示一个烟囱叠加段，高度为4个模型高度(或总高32英尺)。在这个例子中，用584个梁单元模拟构成模板的垂直和水平钢筋，用252个平板单元模拟内部的木模板和混凝土壳。由于结构受的荷载不规则，所以需要三维单元。






图1-2 地下箱形插洞的离散模拟






图1-3 液压缸杆端二维分析



图1-4 烟囱叠加段有限元模型

(9)图1-5表示在塑料膜加工过程中拟使用的钢模的有限元离散模型。由于几何形状不规则和相关的应力集中，必须使用有限元方法得到合理的解。这里用了240个轴对称单元模拟三维钢模。

(10)图1-6表示用三维固体单元模拟用于反向铲框架的—个摆铸件。由于三维铸件的形状不规则，必须用三维六边形单元模拟。对于这样的问题，二维模拟一定不能得到精确的工程解答。

(11)最后，图1-7表示一个有植入的骨盆骨的三维有限元模型，用来研究骨胳中和骨胳与植入之间的粘结层中的应力。






图1.5 塑料薄膜工业使用的高强度钢模有限元模型




图1.6 反向铲摆动铸件的三维固体单元模型












图1.7 带有植入的骨盆骨有限元模型

(12)正如前面所说，有限元方法已应用于大量问题，既包括结构问题，也包括非结构问题。这种方法有很多优点，因而变得很普遍。这些优点包括：
◆ 可以很容

易地模拟不规则形状的结构；
◆ 可以毫无困难地处理一般的荷载条件；
◆ 因为单元方程是单个地建立的，因此可以模拟由几种不同材料构成的物体；
◆ 可以处理数量不受限制的和各种类型的边界条件；
◆ 单元的尺寸大小可以变化，必要时可使用小单元；
◆ 改变有限元模型比较容易，花费不大；
◆ 可包括动态作用；
◆ 可处理大变形和非线性材料带来的非线性问题。




(1) ★直接刚度法
单元分析的主要工作是建立起单元刚度矩阵，建立单元刚度矩阵的方法主要有以下四种：①直接刚度法，②虚功原理法，③能量变分法，④加权余数法。主要视有限元问题的复杂程度而被选用。作为一维有限元问题，可以采用直接刚度法获得单元刚度矩阵，下面对此作以简单介绍。

(2) 如图平面粱单元(图4-1)，它有2个节点，每个节点的自由度数为3，即受力后节点除了可以产生线位移外，还允许单元发生弯曲变形，即节点处还可以有角位移。

图4-1平面粱单元
(3) 令左节点为节点i，右节点为节点j，则节点的位移分量和载荷或节点力分量可依次表示为 和 ，用矩阵形式表示
（4-1）
称为单元节点位移列阵，

称为单元节点力(载荷)列阵。

(4) 在弹性小位移范围内，节点位移分量与节点力分量之间可存在如下线性关系，这种线性关系可以用矩阵形式表示为
（4-3a）
或

式中，[K]为单元刚度矩阵(简称单元刚阵)，上式(4-3b)称为单元有限元方程。单元刚阵元素kst可以理解为第t个节点位移分量对第s个节点力分量的贡献。

(5) 采用直接刚度法就是利用影响系数法逐一确定刚度矩阵中的各个分量，同时利用对称性的原理。下面简单举例说明。
① 设ui=1，其余位移分量均为0，此时梁单元等效于图4-3(a)
伸缩 ，EA为梁的抗拉刚度。
挠度 ，EI为梁的抗弯刚度。
倾角
由上述三式可以解出

利用力平衡条件

由式(4-3a)，可以得到


(6) ②设 ，其余位移分量均为0，此时粱单元等效于图4-3(b)。

图4-3 平面梁元变形示意图
伸缩
挠度
倾角
由上述三式可以解出

利用力平衡条件

由式(4-3a)，可以得到


(7) ③设 ，其余位移分量均为0，此时梁单元等效于图4-3(c)
伸缩
挠度
倾角
由上述三式可以解出

利用力平衡条件

由式(4-3a)，可以得到


(8) 剩余得三种情况，可以仿此推出。最后可以得到单元刚度矩阵如下

可以明显看出，[K]为对称矩阵。
采用直接刚度法确定单元刚度矩阵具有明确得物理意义，但是它也有明显的局限性

，对于其它类型的单元是较难直接引用的。

(9) ★弹簧系统的刚度分析
1 单个弹簧的刚度矩阵
图4—4所示弹簧只有一个可能的位移。但一般情况下一根弹簧可能两端都连接在其他弹簧上，因此弹簧的两端都是可以随被连接弹簧而动的节点，从而每个节点都有作用力施加其上。图4—4所示弹簧系统中F1和u1是作用于节点1上的力和位移，F2和u2是作用于节



点2上的力和位移。因此弹簧的作用力向量为

位移向量为


(10)从而这个弹簧的刚度矩阵是2x2阶的,有
＝ （4-5）
但是 我们还不知道。为求出它们，将图4—4所示弹簧系统看作两个简单的系统，如图4—5(a)、(b)所示，然后合成。

(11) (1)只有节点1可以变形，节点2固定。如图4—5(a)所示。这时





由力的平衡有

则
(2)只有节点2可以变形，节点1固定，如图4—5(b)所示。
这时


(12) (3)根据线弹性系统的叠加原理，叠加(1)、(2)两种情形，就得到与原始问题一样的结构，如图4—5(c)所示。叠加结果为
作用于节点1上的合力
作用于节点2上的合力
或
将方程组写成矩阵形式有
(4—6)
从而，由式(4—5)给出的一个刚度矩阵[Ke]为(e表示单元)
(4—7)
从上式可以看出，这一刚度矩阵是对称的，即 。另外，这一矩阵是奇异的，即它的行列式的值等于零。

(13)2 组合弹簧的刚度矩阵
知道了一个弹簧单元的刚度矩阵的求法，可以将它推广到多个弹簧单元的组合系统。首先我们来看看两个弹簧的系统，如图4—6所示。

图4—6 两弹簧受力系统

(14) 首先，仍采用分解再合成的方法，如图4—7所示。

图4—7 两弹簧系统的分解与合成

(15) (1) 先让 = =0，只允许节点1有位移 ，如图4—7(a)所示。这种情况下力F1a。与位移 之间的关系为

考虑弹簧1—2，由静力平衡条件有

由于 = =0，没有力作用于节点3，因此
=0
(16) (2)让 = =0，只允许节点2有位移 (见图4—7(b))。这时由于位移的连续性，每个弹簧在节点2要求有相同的位移，即弹簧1—2的伸长量与弹簧2—3的缩短量相等。对弹簧1—2有拉力 ，对弹簧2—3有压力 ，因此

分别对两弹簧求静力平衡，有

(3)最后让 = =0，只允许节点3有位移 ，(见图4—7(c))。类似于情况(1)，有

由于节点1、节点2无位移，有
＝0
(17) (4)合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只有一个方向的位移。因此单元

方程应有如下形式：

利用线弹性系统的叠加上述三种情况，可以找出式(4—8)中3x3阶刚度矩阵各单元的表达式
(18)
将这一组方程写成矩阵的形式，可得出两弹簧组合系绕的刚度矩阵

从式(4—9)中又一次可以看出刚度矩阵是对称矩阵，而且是奇异矩阵。

(19)上面我们从最基本的力学原理出发，推导出了两个弹簧系统的刚度矩阵。用同样的方法可以求解具有更多个弹簧的串联系统。但是当弹簧数目增加时，推导过程是令人乏味的。在知道了单个弹簧单元的刚度矩阵式(4—7)之后。是否可以利用它来直接叠加出多个弹簧串联系统的总刚度矩阵呢?答案是肯定的。仍以上面两弹簧系统为例。首先，写出每个弹簧单元的受力方程和单元刚度矩阵

单元1 单元2

(20)由于整个系统有3个节点(位移)，将上述方程扩大成3阶方程，有
，
按矩阵相加原则将两式叠加，有

从式(4—10)中可以看出，等式右边刚度矩阵与式(4—9)完全相同。在上面的叠加单元刚度矩阵的过程中我们采用了矩阵扩大的办法。这对于只有几个单元的简单系统比较方便，但是系统中单元一多，相应扩大后的矩阵就相当大，扩大后的非零元素在矩阵的什么位置，概念上就不很清楚。现在一般采用按节点号将相应单元的刚度矩阵中元素 写到总刚度矩阵中去的办法来叠加。