人教A版高中数学必修5同步 不等式 6

C.1
D.5
人教A 版高中数学必修5 同步 不等式 6 （精品课件）
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【思维·引】1.利用目标函数与可行域边界平行求解. 2.作出可行域,用m表示最优解,利用最小值求m的值.
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2
直线越往下, z1 越小,z越小,
2
由
y x
2 x得，最优解为(1,2),
1 y，
所以z=2y-x的最小值为3.
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答案:3
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【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若线性规划问题存在最优解,它只能在可行域的某个顶点达
到. ( )
(2)线性目标函数的最优解是唯一的. ( )
(3)若目标函数为z=x-y,则z的几何意义是直线z=x-y的截距.
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()
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2.目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是
()
A.该直线的截距
B.该直线的纵截距
C.该直线纵截距的相反数 D.该直线的横截距
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【解析】选C.y=2x-z,故z的意义是该直线纵截距的相 反数.
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3.已知x,y满足
y x－
0， y
3
0，
且z=2x+y的最大值为4,则k
的值为______. k x － y 3 0，
【解析】如图,取z=4得直线方程y=-2x+4,分别画出y=
由 3 xx3y y 4 4 0 0， ， 解 得所 x y以 2 2A， ， (2,2), 所以zmax=3×2+2×2=10.
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2.(2018·北京高考)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的 最小值是______ .
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【解析】x+1≤y≤2x,等价于不等式组
y x
2画x ，出可
1 y，
行域如图,令z=2y-x,化为斜截式得y= 1 x+ 1 z,直线
2
2
斜率为 1 ,在y轴上的截距为 z1,
2
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B.0
C.1
D.-1或0
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x y 3 0，
2.(2019·昌平高二检测)若x,y满足
x
2y
3
0，且
2x+y的最小值为1,则实数m的值为
y m，
世纪金榜导学号
()
A.-5
B.-1
22
在y轴上的截距最小;由
x
x
m，解得A(m,1-m),
y 1 0，
所以zmin=m+2(1-m)=2-m,
又z=x+2y的最小值为0,所以2-m=0,解得m=2.
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2x y 0
【解析】选B.由x,y满足条件
x
y
1
0，
作出可行域,
x m
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又目标函数z=x+2y表示直线y=-1 x+z 在y轴上的截
22
距的二倍,因此截距越小,z就越小;
由图象可得,当直线y=- 1 x+ z 过点A时,
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【习练·破】
2x y 0
已知x,y满足条件
x
y
1
0 ， 若z=x+2y的最小值为0,则
m= (
)
x m
A.1
B.2
C.3
D.4
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平移直线l,可知:当直线l过点C(2,3)时,z取得最大值为 3×2+5×3=21.
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(2)目标函数中含有参数:此时目标函数对应的直线是 可变的,如果斜率一定,则对直线作平移变换;如果斜率 可变,则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定 最优解的位置,从而求出参数的值.
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【思考】 (1)线性目标函数的最优解一定存在吗? 提示:不一定.当可行域是开放区域,可行域的边界取不到时可 能没有最优解. (2)可行域右上方的顶点一定是最优解吗? 提示:不一定.要根据目标函数对应的直线特点,即在y轴上的 截距的意义确定.
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3 0，
由z=2x+y得:y=-2x+z,
显然直线过A(2m+3,m)时,z最小,
所以4m+6+m=1,解得:m=-1.
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【内化·悟】 当最优解不唯一时,目标函数满足什么条件? 提示:目标函数对应的直线与可行域的边界平行.
x+3,y=0以及y=-2x+4,由图可知,当y=kx+3过点(2,0)
时,y=-2x+z通过点(2,0)时截距最大,即z取得最大值,
代入得0=2k+3,解得k=- 3 .
2
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答wk.baidu.com:- 3
B.1
C.10
D.12
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【解析】选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影 部分所示:
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【类题·通】 含参数的线性目标函数问题的求解策略 (1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的,应分情 况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值.
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设变量x,y满足约束条件
2 x
x
y y
4， 1，
则目标函数z=3x+
5y的最大值为 ( ) y 0 ，
A.6
B.19
C.21
D.45
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【解析】选C.在平面直角坐标系中画出可行域ABCD以 及直线l:3x+5y=0,
b
z,
b
(1)当b>0时z随着直线l在y轴上的截距变大而变大; (2)当b<0时,z随着直线l在y轴上的截距变大而变小.
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2.直线的斜率k与倾斜角α的关系
(1)0<k1<k2时,0<α1<α2<
【加练·固】
(2019·景德镇高二检测)已知实数x,y满足不等式
2x y 10
组
x
3y
5
,则z=5x-y的最小值为
()
3 x 2 y 8
A.3
B.9
C.22
D.25
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【解析】选B.作不等式组对应的平面区域如图:
【提示】(1)×.存在最优解,但不一定只在顶点达到. (2)×.最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的 可行解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个. (3)×.z的几何意义是直线z=x-y的截距的相反数.
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类型二 线性目标函数的参数问题
【典例】1.(2019·马鞍山高二检测)x、y满足约束条
x y
件
x
2
y 1
,若z=kx+y取得最大值的最优解有无数个,则
实数k的值为 ( )
A.-1
2
;
(2)k1<k2<0时,
2
<α1<α2.
即当斜率同为正或同为负时,均满足斜率越大,倾斜角
越大,可以通过斜率来比较目标函数与边界倾斜程度的
大小,从而确定最优解的位置.
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【习练·破】
x y 5，
定义
如果约束条件是关于变量的一次不等式 (或等式),则称为线性约束条件
在线性约束条件下,求线性目标函数的最 大值或最小值问题,称为线性规划问题
使目标函数达到最大值或最小值的点的 坐标,称为问题的最优解
满足线性约束条件的解,叫做可行解
由所有可行解组成的集合叫做可行域
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3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题
线性规划中的基本概念
名称
定义
目标函数
要求最大值或最小值的函数,叫做目标函数
约束条件
目标函数中的变量所要满足的不等式(组)
线性目标函数
如果目标函数是关于变量的一次函数,则称为线性目标函数
名称 线性约束 条件 线性规划 问题
最优解
可行解 可行域
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2.选B.画出满足条件的平面区域,如图所示:
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由xy
m 2y
解得A(2m+3,m),
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【内化·悟】 当可行域是封闭区域时,最优解在哪里取得? 提示:在封闭区域的顶点、边界处取得.
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【类题·通】
确定最优解时需要注意的问题 1.不妨令目标函数z=ax+by(b≠0),变形为l:y=- a x+
2
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类型一 线性目标函数的最值问题 【典例】1.(2019·浙江高考)若实数x,y满足约束条件
x 3 y 4 0，
3
x
y
4
0， 则z=3x+2y的最大值是
(
)
x y 0，
A.-1
【解析】1.选A.不等式组对应的平面区域如图:
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由z=kx+y得y=-kx+z, 当k=0时,直线y=-kx+z=z,此时取得最大值的最优解只有一 个,不满足条件; 当-k>0时,直线y=-kx+z截距取得最大值时,z取得最大值,直 线与x=y重合时,最大值有无数个,则-k=1,解得k=-1;当-k<0 时,目标函数的最优解只有一个,不满足题意.
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由z=5x-y得y=5x-z, 平移直线y=5x-z, 由图象可知,当直线y=5x-z经过点A时, 直线y=5x-z的截距最大,此时z最小. 由 3xx32yy解5得8，A(2,1), 此时z=5x-y的最小值为9.