用HL证明三角形全等
专题1-8 HL判定三角形全等-重难点题型(举一反三)(苏科版)(解析版)
专题1.8 HL判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【题型1 HL判定三角形全等的条件】【例1】（2020秋•秦淮区期末）结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根据条件可知，少一组斜边，所以可添加为：AB＝DE．【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，{AC=DFAB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案为：AB＝DE．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理，【变式1-1】（2020秋•金乡县期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．故答案为：AB＝DC（答案不唯一）【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．【变式1-2】（2021春•宝安区期中）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．【解答】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时直角三角形又是特殊的三角形，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．【变式1-3】（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（）①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．1B．2C．3D．4【分析】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论，【解答】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，求证：△ABC≌△DEF，证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），∴BM＝EN∵AM＝BM，DN＝EN，∴AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；故选：A．【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解决问题的关键．【题型2 直角三角形全等的判定与性质（求角的度数）】【例2】（2020秋•昌平区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．71°【分析】根据已知条件得出△CDF≌△EDB，从而得出CD＝DE，从而得出△ACD≌△AED，从而得出∠DAE＝20°，即可得出答案．【解答】解：根据题意：在Rt△CDF和Rt△EDB中，{FC=BEDF=DB，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CD＝DE，∵在Rt△ACD和Rt△AED中{CD=DEAD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠DAE＝20°，∴∠ADE＝70°．故选：C．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及全等三角形的性质，难度适中．【变式2-1】（2021春•娄底月考）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等；（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．【解答】（1）证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，在Rt△ACB和Rt△DFE中，{AC=DFAB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°，∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【变式2-2】（2021春•姑苏区期末）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．【分析】（1）由AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，AE ＝CF ，即可利用HL 证得Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）由AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，即可求得∠ACB 的度数，即可得∠BAE 的度数，又由Rt △ABE ≌Rt △CBF ，即可求得∠BCF 的度数，则由∠ACF ＝∠BCF +∠ACB 即可求得答案．【解答】（1）证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，{AE =CF AB =BC， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；（2）解：∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝45°，∴∠ACB ＝45°，又∵∠BAE ＝∠CAB ﹣∠CAE ＝45°﹣30°＝15°，由（1）知：Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°，∴∠ACF ＝∠BCF +∠ACB ＝45°+15°＝60°．【点评】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【变式2-3】（2020秋•鹿城区校级月考）如图，已知BC ＝ED ，∠B ＝∠E ＝Rt ∠，∠ACD ＝∠ADC ．（1）求证：△ABC ≌△AED ；（2）当∠BAE ＝140°时，求∠BCD 的度数．【分析】（1）由∠ACD ＝∠ADC 知AC ＝AD ，再利用“HL ”即可证明△ABC ≌△AED ；（2）由Rt △ABC ≌Rt △AED 可设∠BAC ＝∠EAD ＝x ，∠CAD ＝y ，根据∠BAE ＝140°知2x +y ＝140°，由∠B ＝90°得∠ACB ＝90°﹣x 、AC ＝AD 知∠ACD ＝∠ADC ＝90°−12y ，再根据∠BCD ＝∠ACB +∠ACD 求解可得．【解答】证明：（1）∵∠ACD ＝∠ADC ，∴AC ＝AD ，在Rt △ABC 和Rt △AED 中，∵{BC =ED AC =AD， ∴Rt △ABC ≌Rt △AED （HL ）；（2）∵Rt △ABC ≌Rt △AED ，∴可设∠BAC ＝∠EAD ＝x ，∠CAD ＝y ，∵∠BAE ＝140°，∴2x +y ＝140°，∵∠B ＝90°，∴∠ACB ＝90°﹣x ，又∵AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC =180°−∠CAD 2=90°−12y ， 则∠BCD ＝∠ACB +∠ACD＝90°﹣x +90°−12y＝180°−12（2x +y ）＝180°﹣70°＝110°．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质．【题型3 直角三角形全等的判定与性质（求线段长度）】【例3】（2020秋•西城区校级期中）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 是AC 上一点，E 在BC 的延长线上，且AE ＝BD ，BD 的延长线与AE 交于点F ．若CD ＝3，则求CE 的长．【分析】证明△BDC≌△AEC得出：CD＝CE．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．在Rt△BDC与Rt△AEC中，{BC=ACBD=AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴CD＝CE＝3；【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．【变式3-1】（2020秋•承德校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过E 作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm【分析】根据HL证Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE＝DC，得出AD+DE＝AD+DC＝AC，代入求出即可．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，在Rt△BED和Rt△BCD中{BD=BDBE=BC，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．【变式3-2】（2020秋•平谷区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，连接AD，过D 点作DE⊥AB，且DE＝DC．若AB＝5，AC＝3，则EB＝．【分析】由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△ADC，可得AC＝AE＝3，即可求BE．【解答】解：在Rt△ADE和Rt△ADC中，{AD=ADDE=DC，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），∴AC＝AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝2，故答案为2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．【变式3-3】（2020秋•兰山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝时，△ABC和△APQ全等．【分析】分情况讨论：①AP＝BC＝8cm时，Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP＝AC＝15cm．【解答】解：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：在Rt △ABC 和Rt △QP A 中，{AB =QP BC =PA， ∴Rt △ABC ≌Rt △QP A （HL ），即AP ＝B ＝8cm ；②当P 运动到与C 点重合时，如图2所示：在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，{AB =PQ AC =PA， ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），即AP ＝AC ＝15cm ．综上所述，AP 的长度是8cm 或15cm ．故答案为：8cm 或15cm ．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．【题型4 直角三角形全等的判定与性质（证垂直）】【例4】（2021春•万柏林区校级月考）如图，AC ∥BD ，∠C ＝90°，AC ＝BE ，AB ＝DE ，求证：DE ⊥AB ．【分析】先根据平行线的性质求出∠DBE＝∠C＝90°，再由HL定理可判定△ACB≌△EBD，由全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：设AB与DE相交于点M，∵AC∥BD，∴∠C+∠DBE＝180°，∵∠C＝90°，∴∠DBE＝90°，在Rt△ACB与Rt△EBD中，{AC=BE，AB=DE∴Rt△ACB≌Rt△EBD（HL），∴∠ABC＝∠D，∵∠D+∠MEB＝90°，∴∠ABC+∠MEB＝90°，∴∠EMB＝180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°，∴DE⊥AB．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据HL判定Rt△ACB≌Rt△EBD是解题的关键．【变式4-1】（2021•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；（2）求证∠BAC＝90°．【分析】（1）由HL证明△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，{AB=CABM=AN，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式4-2】（2020秋•西湖区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）试判断CE和DE的关系，并说明理由．【分析】（1）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；（2）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，再根据题意，∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，又∠AED ＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，所以，∠AED+∠BEC＝90°，即可证得∠DEC＝90°，即可得出．【解答】解：（1）结论：Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，而∠A＝∠B＝90°，AE＝BC∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，DE＝CE，AE＝BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；（2）结论：DE＝CE且DE⊥CE，理由如下：∵∠1＝∠2∴DE＝CE，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，又∵∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，∴2（∠AED+∠BEC）＝180°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥CE．【点评】本题主要考查了直角三角形的判定与性质，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．【变式4-3】（2020秋•城北区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．【分析】猜想：BF⊥AE，先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【解答】解：猜想：BF⊥AE．理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．∴在Rt△BDC与Rt△AEC中{BC=ACBD=AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴∠CBD＝∠CAE．又∴∠CAE+∠E＝90°．∴∠EBF+∠E＝90°．∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【点评】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质．猜想问题一定要认真观察图形，根据图形先猜后证．。
hl证三角形全等的格式
hl证三角形全等的格式hl证三角形全等的格式在几何学中，全等三角形是指具有完全相同大小和形状的两个三角形。
在证明两个三角形全等时，我们可以使用不同的方法和格式。
其中一种常用的证明方法是使用hl证法，即横边-腿法。
这种证法简单明了，易于理解，因此在教学和解题中被广泛使用。
hl证法的格式如下：1. 我们假设两个三角形ABC和DEF是全等的。
我们需要证明AB = DE，BC = EF，∠B = ∠E。
2. 根据hl证法，我们知道如果两个三角形的一条边与另一个三角形的对应边相等，并且两个三角形的一条边与对应边的夹角相等，那么这两个三角形就是全等的。
3. 根据假设，我们已经知道AB = DE。
接下来，我们需要证明BC = EF和∠B = ∠E。
4. 通过观察三角形ABC和DEF的图形，我们可以发现它们的结构相似，并且BC和EF分别是这两个三角形的一个共同边。
这里可以引入类似三角形的概念。
5. 在类似三角形中，相似的两个三角形具有相似的角度。
我们可以得到∠B = ∠E。
6. 接下来，我们需要证明BC = EF。
由于我们已经知道AB = DE，我们可以通过BC = AB + AC和EF = DE + DF来得出这个结论。
我们可以通过将BC和EF分别表示为AB + AC和DE + DF来展开证明。
7. 通过展开BC和EF，我们可以得到BC = DE + AC + DF。
由于我们已经知道AB = DE，我们可以将AC + DF表示为AE。
我们可以得到BC = AB + AE = AB + DE = EF。
8. 我们可以得出结论：AB = DE，BC = EF，∠B = ∠E。
根据hl证法，我们可以证明三角形ABC和DEF是全等的。
在实际解题中，对于三角形全等的证明，我们可以根据问题自身的条件进行选择合适的证明方法。
对于某些问题而言，hl证法可能是最简便的证明方法之一。
除了求证全等三角形外，理解全等三角形的概念对于解决其他几何问题也很重要。
【数学812020402】如何运用HL判定三角形全等？
A
B
∴ Rt△AEB ≌△Rt△DFC（HL）. ∴ AE=DF.
如何运用HL判定三角形全等？
三个条件？ 它们的斜边、一条直角边 分别相等？
两个直角三角 录制时间：二Ｏ一六年十二月
例2 如图，AB=CD， AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，BF=CE. 求证：AE=DF. C D 证明：∵ BF=CE， E F ∴ BE=CF.
∵ AE⊥BC，DF⊥BC， ∴ ∠AEB= ∠DFC= 900. 在Rt△AEB和Rt△DFC中，
AB CD, BE CF ,
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD. 求证：BC=AD. D
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴ ∠C= ∠D=900 . 在Rt△ABC和△Rt△BAD中，
A
C B
AB BA, AC BD, ∴ Rt△ABC ≌△Rt△BAD（HL）.
∴ BC=AD.
初中
数学
人教版八年级上册第十二章
如何运用HL判定三角形全等？
主讲教师：肖光明（一级） 武汉市第一初级中学
内容介绍
内容介绍： 1.关于三角形全等判定方法HL的理解；
2.运用HL判定三角形全等的要领.
怎么理解三角形全等判定方法HL？
【内容】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或 “HL”）. 【解析】 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等， 结论：这两个直角三角形全等 .
用“HL”判定直角三角形全等人教版八级数学上册作业课件
12.2第4课时 用“HL”判定直角三角形全等-2020 秋人教 版八年 级数学 上册作 业课件( 共21张 PPT)
解：∵A(－3，1)， ∴OB＝3，AB＝1. ∵∠POQ＝∠ABO＝90°， PQ＝AO， ∴只要有一条直角边对应相等，两个直角三角形就全等． 当P(－1，0)时，Q1(0，3)，Q2(0，－3)； 当P(－3，0)时，Q3(0，1)，Q4(0，－1)； 当P(1，0)时，Q5(0，3)，Q6(0，－3)； 当P(3，0)时，Q7(0，1)，Q8(0，－1)．
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°. 在Rt△ABD和Rt△ABF中， AB＝AB， AD＝AF， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴DB＝FB. 在Rt△ADC和Rt△AFE中，
12.2第4课时 用“HL”判定直角三角形全等-2020 秋人教 版八年 级数学 上册作 业课件( 共21张 PPT)
用“HL”判定直角三角形全等人教版 八级数 学上册 作业课 件
用“HL”判定直角三角形全等人教版 八级数 学上册 作业课 件
证明：∵∠ACB＝∠CFE＝90°， ∴∠ACB＝∠DFE＝90°. 在Rt△ACB和Rt△DFE中， AB＝DE， BC＝EF， ∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL)． ∴AC＝DF. ∴AC－AF＝DF－AF，即AD＝CF.
12.2第4课时 用“HL”判定直角三角形全等-2020 秋人教 版八年 级数学 上册作 业课件( 共21张 PPT)
AC＝AE， AD＝AF， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴DC＝FE. ∴DB－DC＝FB－FE，即BC＝BE.
全等三角形证明方法h l-概述说明以及解释
全等三角形证明方法h l-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对全等三角形的概念和重要性进行简要介绍，概括全等三角形的定义以及涉及到的相关性质和重要定理。
以下是一种可能的写作方式：全等三角形是几何学中的重要概念，它起源于欧几里得几何学，并在数学和几何学的研究中扮演着至关重要的角色。
全等三角形代表着两个三角形在形状和大小上完全相等的关系，这意味着它们具有相等的角度和相等的边长。
全等三角形的定义非常简单明了，它要求两个三角形的对应边和对应角分别相等。
这个定义为我们提供了证明两个三角形全等的基础原则。
通过证明两个三角形的对应边和对应角相等，我们就能够得出它们是全等的结论。
全等三角形具有一些重要的性质和定理。
其中，SSS（Side-Side-Side）定理，SAS（Side-Angle-Side）定理和ASA（Angle-Side-Angle）定理是三个最基本的全等三角形的证明方法。
此外，还有其他一些定理，如AAS（Angle-Angle-Side）定理和HL（Hypotenuse-Leg）定理，它们也可以用来证明三角形全等。
研究全等三角形的证明方法对于理解几何学的基本原理和思维方式非常关键。
全等三角形在解决实际问题中具有广泛的应用，特别是在测量和建模等领域。
因此，熟练掌握全等三角形的证明方法对于我们的数学学习和实际应用都具有重要意义。
本文将首先介绍全等三角形的定义和性质，然后分别探讨证明方法h 和证明方法l。
最后，我们将总结全等三角形的证明方法，并探讨全等三角形在实际应用中的重要性。
通过深入研究全等三角形的证明方法，我们将能够拓展我们的数学思维和解决实际问题的能力。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文主要分为以下几个部分：引言：首先，我们会在引言部分对全等三角形的概念进行概述，并介绍本文的结构和目的。
正文：正文部分包含三个小节，分别介绍全等三角形的定义和性质、证明方法h以及证明方法l。
全等三角形hl的证明方法-概述说明以及解释
全等三角形hl的证明方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述本篇文章主要讨论全等三角形hl的证明方法。
在几何学中，全等三角形是具有相同边长和角度的三角形。
在证明全等三角形时，我们可以运用几何学中的一些基本定理和性质。
作为本篇文章的概述部分，我们将简要介绍全等三角形的重要性以及证明方法的目的。
全等三角形在几何学中具有重要的地位，它们能够帮助我们解决许多几何问题，例如计算未知边长或角度、证明图形的相似性等。
研究全等三角形的证明方法可以增进我们对三角形的认识，并提高解题能力和逻辑思维能力。
本文将主要讨论全等三角形的证明方法。
全等三角形的证明方法包括：SSS（边-边-边）准则、SAS（边-角-边）准则、ASA（角-边-角）准则、AAS（角-角-边）准则以及HL（斜边-直角边）准则等。
我们将详细讲解每一种准则的使用条件和证明步骤，以便读者能够灵活运用这些方法进行全等三角形的证明。
通过学习和掌握这些全等三角形的证明方法，读者将能够提高自己的几何证明能力，并能够更好地应用到解决实际问题中。
同时，本文也展望了全等三角形证明方法的未来发展，并指出了一些可能的研究方向。
接下来的章节将详细介绍三角形的定义和性质，全等三角形的定义，以及全等三角形的证明方法。
通过深入学习这些内容，读者将能够更好地理解和应用全等三角形的证明方法，为进一步探索几何学的奥妙打下坚实基础。
1.2文章结构1.2 文章结构在本文中，我们将按照以下结构来讨论全等三角形hl的证明方法。
首先，我们将在引言部分对全等三角形的概念进行简要说明，包括其定义和性质。
这将为后续的证明方法提供重要的基础。
接着，在正文部分的第2.1节，我们将详细介绍三角形的定义和性质。
我们将讨论三角形的基本构成要素，并探讨它们之间的关系。
这些知识将为我们理解全等三角形的概念和证明方法奠定基础。
紧接着，在正文部分的第2.2节，我们将给出全等三角形的定义。
我们将详细解释什么是全等三角形，以及它们在几何中的意义和应用。
三角形全等的判定(HL)-图
综合练习题
总结词
考察HL全等定理的综合应用
题目1
已知直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，且BC=B'C'，若D、E分别是AB、BC的中点，D'、 E'分别是A'B'、B'C'的中点，求证：△ACD≌△A'C'D'、△ACE≌△A'C'E'。
题目2
已知直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，且BC=B'C'，若F、G分别是AB、 AC上的两个动点，F'、G'分别是A'B'、A'C'上的两个动点，当FF'=G′G时，求证：△ACF≌△A′CF′、 △AGF≌△A′GF′。
与其他判定定理的关系
与SAS判定定理的关系
当两个三角形有一组非直角边和夹角分别相等时，可以使用SAS判定定理来判断 它们是否全等。
与SSS判定定理的关系
当两个三角形有三边分别相等时，可以使用SSS判定定理来判断它们是否全等。
三角形全等的证明方
03
法
边边边(SSS)判定法
总结词
如果两个三角形的三边分别相等，则 这两个三角形全等。
进阶练习题
总结词
考察HL全等定理的灵活应用
题目1
已知直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， AC=A'C'，且BC=B'C'，若点D是AB的中点，点D'是A'B'的中点， 求证：△ACD≌△A'C'D'。
三角形全等的判定HL
B
“HL”判定方法的运用
变式1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． AD = BC （ 1） （ HL）； （ 2） AC = BD （ HL）； D C
（3） ∠DAB = ∠CBA （AAS ）； （4） ∠DBA = ∠CAB （AAS ）． A
B
课堂练习
练习1 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时 出发，以相同的速度两地．DA⊥AB，EB⊥ A AB． D，E 与路段AB的距离 相等吗？为什么？ C
E B
课堂练习
练习2 如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂 足分别为E ，F，CE =BF．求证：AE =DF．
C
D
F
E
A
B
课堂小结
（1）“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学 的四种判定方法有什么不同？ （2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？
12.2 三角形全等的判定 （第4课时）-HL
A
Rt△ABC，∠C =90°, Rt△A＇B＇C＇，∠C＇=90°
C
A＇
B
C＇
B＇
归纳概括“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）． A
几何语言： ∵ 在Rt△ABC 和 Rt△A＇B＇C＇中， C AB =A＇B＇， A＇ BC =B＇C＇， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A＇B＇C＇（HL） ． C＇
B
B＇
“HL”判定方法的运用
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证： BC =AD．
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， D ∴ ∠C =∠D =90° 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB =BA， A AC =BD， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）． ∴ BC =AD（全等三角形对应边相等）． C
用“HL”证直角三角形全等同步练习含答案
用“HL ”证直角三角形全等同步练习含答案基础题基础题知识点1 1 用“用“用“HL HL HL”判定两个三角形全等”判定两个三角形全等”判定两个三角形全等1．如图，∠．如图，∠A A ＝∠D＝＝∠D＝909090°，°，°，AC AC AC＝＝DB DB，则△ABC≌△DCB ，则△ABC≌△DCB 的理由是（的理由是（ ） A ．HL HL B ．ASA C ．AAS D ．SAS2．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是（．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是（ ） A ．两条直角边分别对应相等．两条直角边分别对应相等 B ．斜边和一锐角分别对应相等．斜边和一锐角分别对应相等 C ．斜边和一条直角边分别对应相等．斜边和一条直角边分别对应相等 D ．两个三角形的面积相等．两个三角形的面积相等3．如图所示，△．如图所示，△ABC ABC 中，中，AD AD AD⊥⊥BC 于D ，再添加一个条件，再添加一个条件____________________________________________________________，可使△ABD≌△ACD.，可使△ABD≌△ACD.，可使△ABD≌△ACD.4．如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从A ，B 出发，小明沿AC 行走，小芳沿BD 行走，并同时到达C 、D ，若CB⊥AB，CB⊥AB，DA DA DA⊥⊥AB AB，则，则CB 与DA 相等吗？为什么？21世纪教育网版权所有5．已知AD⊥BE，垂足C 是BE 的中点，的中点，AB AB AB＝＝DE DE，请说明，请说明AB∥DE 的理由．的理由．6．如图，∠．如图，∠ACB ACB ACB＝∠CFE＝＝∠CFE＝＝∠CFE＝909090°，°，°，AB AB AB＝＝DE DE，，BC BC＝＝EF EF，求证：，求证：，求证：AD AD AD＝＝CF.知识点2 2 直角三角形全等判定方法的选用直角三角形全等判定方法的选用直角三角形全等判定方法的选用7．在Rt Rt△△ABC 和Rt Rt△△A ′B ′C ′中，∠′中，∠C C ＝∠C′＝＝∠C′＝909090°，如图，那么下列各条件中，不能使°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt Rt△△ABC ABC≌≌Rt △A ′B ′C ′的是（′的是（）21教育网A ．AB AB＝A′B′＝＝A′B′＝＝A′B′＝55，BC BC＝B′C′＝＝B′C′＝＝B′C′＝3 3 B ．AB AB＝B′C′＝＝B′C′＝＝B′C′＝55，∠，∠A A ＝∠B′＝＝∠B′＝404040°° C ．AC AC＝A′C′＝＝A′C′＝＝A′C′＝55，BC BC＝B′C′＝＝B′C′＝＝B′C′＝3 3D ．AC AC＝A′C′＝＝A′C′＝＝A′C′＝55，∠，∠A A ＝∠A′＝＝∠A′＝404040°°8．如图，在△．如图，在△ABC ABC 中，点D 是BC 的中点，的中点，DE DE DE⊥⊥AB 于点E ，DF DF⊥⊥AC 于点F ，BE BE＝＝CF.(1)(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；图中有几对全等的三角形？请一一列出；图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)(2)选择一对你认为全等的三角形说明理由．选择一对你认为全等的三角形说明理由．选择一对你认为全等的三角形说明理由． 中档题中档题9．如图，在Rt Rt△△ABC 中，∠中，∠BAC BAC BAC＝＝9090°，°，°，DE DE DE⊥⊥BC BC，，AC AC＝＝6，EC EC＝＝6，∠，∠ACB ACB ACB＝＝6060°，则∠ACD °，则∠ACD 的度数为（的度数为（）A ．4545°°B ．3030°°C ．2020°°D ．1515°°1010．如图，在直角三角形．如图，在直角三角形ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°，一条线段°，一条线段PQ PQ＝＝AB AB，点，点P ，Q 两点分别在AC 和AC 的垂线AX 上移动，当AP AP＝＝________________时，才能使△ABC≌△QPA.时，才能使△ABC≌△1111．如图，已知方格纸中是．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠3＝个相同的正方形，则∠1＋∠3＝________________________．．1212．如图，已知．如图，已知AE AE＝＝DE DE，，AB AB⊥⊥BC BC，，DC DC⊥⊥BC BC，且，且AB AB＝＝EC.EC.求证：求证：求证：BC BC BC＝＝AB AB＋＋DC.1313．如图所示，已知．如图所示，已知AB AB＝＝CD CD，，DE DE⊥⊥AC 于E ，BF BF⊥⊥AC 于F ，且BF BF＝＝DE DE，求证：AB∥CD.，求证：AB∥CD.，求证：AB∥CD.1414．如图，已知．如图，已知AD AD，，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD AD＝＝AF AF，，AC AC＝＝AE.AE.求证：求证：求证：BC BC BC＝＝BE.综合题综合题1515．已知：点．已知：点O 到△ABC 的两边AB AB，，AC 所在直线的距离相等，且OB OB＝＝OC.(1)(1)如图如图1，若点O 在边BC 上，求证：∠ABO＝∠ACO；上，求证：∠ABO＝∠ACO；(2)(2)如图如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.参考答案参考答案1．A A 2.D 2.D 2.D 3.3.3.答案不唯一，如答案不唯一，如AB AB＝＝AC AC，或，或BD BD＝＝CD 等 4.CB 4.CB＝＝DA.DA.理由：由题意易知理由：由题意易知AC AC＝＝BD. ∵CB⊥AB，∵CB⊥AB，DA DA DA⊥⊥AB AB，， ∴∠∴∠DAB DAB DAB＝∠CBA＝＝∠CBA＝＝∠CBA＝909090°°.在Rt Rt△△DAB 与Rt Rt△△CBA 中，îïíïìBD BD＝＝AC AC，，AB AB＝＝BA BA，， ∴Rt Rt△△DAB DAB≌≌Rt Rt△△CBA(HL)CBA(HL)．． ∴DA＝∴DA＝CB. CB. CB. 5.∵C 是BE 的中点，的中点， ∴BC BC＝＝CE .∵AD⊥BE，.∵AD⊥BE，∴∠∴∠ACB ACB ACB＝∠DCE＝＝∠DCE＝＝∠DCE＝909090°°.在Rt Rt△△ACB 与Rt Rt△△DCE 中，îïíïìAB AB＝＝DE DE，，BC BC＝＝EC EC，，∴Rt Rt△△ACB ACB≌≌Rt Rt△△DCE(HL)DCE(HL)．． ∴∠B＝∠E.∴∠B＝∠E. ∴AB∥DE.∴AB∥DE.6.6.证明：∵∠ACB＝∠CFE＝证明：∵∠ACB＝∠CFE＝证明：∵∠ACB＝∠CFE＝909090°，°，°， ∴∠∴∠ACB ACB ACB＝∠DFE＝＝∠DFE＝＝∠DFE＝909090°°.在Rt Rt△△ACB 和RtRt△△DFE 中，îïíïìAB AB＝＝DE DE，，BC BC＝＝EF EF，，∴Rt Rt△△ACB ACB≌≌Rt Rt△△DFE(HL)DFE(HL)．． ∴AC＝∴AC＝DF. DF.∴AC－∴AC－AF AF AF＝＝DF DF－－AF AF，即，即AD AD＝＝CF. CF. 7.B8．(1)△BDE≌△CDF，△．(1)△BDE≌△CDF，△AED AED AED≌△≌△≌△AFD AFD AFD，△，△，△ABD ABD ABD≌△≌△≌△ACD. ACD. (2)∵DE⊥AB，(2)∵DE⊥AB，DF DF DF⊥⊥AC AC，， ∴△∴△BDE BDE 和△CDF 是直角三角形．是直角三角形． ∵D 是BC 的中点，的中点，∴BD BD＝＝CD. 又∵BE＝又∵BE＝CF CF CF，，∴Rt Rt△△BDE BDE≌≌Rt Rt△△CDF(HL)CDF(HL)．． 9.B 10．CB CB 11.9011.9011.90°° 12.12.证明：∵AB⊥BC，证明：∵AB⊥BC，证明：∵AB⊥BC，DC DC DC⊥⊥BC BC，， ∴∠∴∠B B ＝∠C＝＝∠C＝909090°°.在Rt Rt△△ABE 和Rt Rt△△ECD 中，îïíïìAE AE＝＝ED ED，，AB AB＝＝EC EC，， ∴Rt Rt△△ABE ABE≌≌Rt Rt△△ECD. ∴BE BE＝＝CD. ∵BC＝∵BC＝BE BE BE＋＋EC EC，， ∴BC BC＝＝AB AB＋＋DC. DC.13.13.证明：∵DE⊥AC，证明：∵DE⊥AC，证明：∵DE⊥AC，BF BF BF⊥⊥AC AC，， ∴∠∴∠AFB AFB AFB＝∠CED＝＝∠CED＝＝∠CED＝909090°°.在Rt Rt△△ABF 和Rt Rt△△CDE 中，îïíïìAB AB＝＝CD CD，，BF BF＝＝DE DE，， ∴Rt Rt△△ABF ABF≌≌Rt Rt△△CDE(HL)CDE(HL)．． ∴∠∴∠BAF BAF BAF＝∠DCE.＝∠DCE.＝∠DCE. ∴AB∥CD.∴AB∥CD.14.14.证明：∵证明：∵证明：∵AD AD AD，，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，的高， ∴∠∴∠ADB ADB ADB＝∠AFB＝＝∠AFB＝＝∠AFB＝909090°°. ∵AB AB＝＝AB AB，，AD AD＝＝AF AF，， ∴Rt Rt△△ABD ABD≌≌Rt Rt△△ABF. ∴DB DB＝＝FB.∵AC＝∵AC＝AE AE AE，，AD AD＝＝AF AF，， ∴Rt Rt△△ADC ADC≌≌Rt Rt△△AFE. ∴DC DC＝＝FE.∴DB－∴DB－DC DC DC＝＝FB FB－－FE FE，即，即BC BC＝＝BE. BE.15.15.证明：证明：证明：(1)(1)(1)过点过点O 作OE⊥AB 于E ，作OF⊥AC 于F ，则∠BEO＝∠CFO＝，则∠BEO＝∠CFO＝909090°°. 又∵OB＝又∵OB＝OC OC OC，，OE OE＝＝OF OF，，∴Rt Rt△△BOE BOE≌≌Rt Rt△△COF(HL)COF(HL)．． ∴∠ABO＝∠ACO.∴∠ABO＝∠ACO.(2)(2)过点过点O 分别作OE⊥AB，OE⊥AB，OF OF OF⊥⊥AC AC，，E ，F 分别是垂足，则∠BEO＝∠CFO＝分别是垂足，则∠BEO＝∠CFO＝909090°°. 又∵OB＝又∵OB＝OC OC OC，，OE OE＝＝OF OF，， ∴Rt Rt△△OEB OEB≌≌Rt Rt△△OFC.∴∠∴∠EBO EBO EBO＝∠FCO，即∠ABO＝∠ACO.＝∠FCO，即∠ABO＝∠ACO.＝∠FCO，即∠ABO＝∠ACO.。
hl证明三角形全等格式
hl证明三角形全等格式三角形全等，听起来是不是有点儿高大上？其实啊，生活中随处可见这种情况。
比如说，你和朋友一起去买衣服，你们挑中的T恤一模一样，款式、颜色、甚至连尺寸都一样，这不就是全等吗？咱们今天就来聊聊这个三角形全等的趣事儿，让数学也变得轻松有趣。
咱们得知道，三角形全等有几种条件。
简单来说，三角形全等就是两个三角形的边长和角度完全相等，简直就是双胞胎三角形！比如，咱们可以通过“边边边”（SSS）条件来证明，如果三角形A的三条边都和三角形B的三条边相等，那这两个三角形就是全等的。
这就像是你和朋友一样，身高、体重、肩宽都差不多，嘿嘿，完全可以互换衣服！再比如“边角边”（SAS），只要两边和夹角相等，嘿，那也是一对好兄弟。
还有一种条件叫“角边角”（ASA），这时候，只需要两角和夹边相等，就能证明全等。
想象一下，你跟朋友去参加一个舞会，你俩都穿着同样的舞鞋，跳同样的舞蹈，别人一眼就能认出你们是好基友。
而“角角边”（AAS）也是类似，只要两个角和一边相等，兄弟情谊立马浮现。
这种情况就像你们俩在一起讨论同一个电影，甚至还会对剧情做出相同的判断，简直默契得不要不要的！说到这里，肯定有人会问，为什么要证明这些全等呢？其实这跟我们的生活息息相关。
就像咱们平常搭积木，只有那些形状完全一样的积木，才能完美地拼接在一起。
想想看，假如你用两块不一样的积木拼在一起，那多尴尬啊，根本就不搭调，浪费时间不说，还可能弄坏了，真是得不偿失。
再说了，三角形全等在工程和建筑上也是大有用处的。
你想啊，建筑师在设计房子的时候，必须要确保每个角和边都精确无误，不然房子就会倾斜，变得不稳定，甚至会有安全隐患。
这就像是咱们在生活中，得讲究配合和默契，才能把事情做好。
试想一下，搬家时，两个朋友一个拿着沙发，一个扛着茶几，结果沙发大了一号，茶几小了一圈，碰到一起，那简直是个笑话。
更有意思的是，咱们可以通过“等边三角形”、“等腰三角形”和“直角三角形”这些特殊的三角形来探讨全等。
12.2三角形全等的判定--HL(4)
12.2三角形全等的判定---HL教学目标：1．探索并理解“HL”判定方法．2．会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等．教学重点：理解并运用“HL”判定方法教学难点：灵活运用HL证明直角三角形全等教学过程：一、复习引入本节课是在学生学习了“SSS、SAS、ASA、AAS”四种三角形全等判定方法的基础，探究直角三角形全等的一种特殊判定方法“HL”．二、探究新知探索“HL”判定方法任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC，A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？AB C画法：（1）画∠MC＇N =90°；（2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC；（3）以B＇为圆心，AB为半径画弧，交射线C＇N于点A＇；（4）连接A＇B＇．现象：两个直角三角形能重合．说明：这两个直角三角形全等．结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．几何语言：∵在Rt△ABC 和Rt△A＇B＇C＇中，AB =A＇B＇，BC =B＇C＇，∴Rt△ABC ≌Rt△A＇B＇C＇（HL）．三、巩固练习例1 如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC =BD ．求证：BC =AD ．证明：∵ AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴ ∠C 和∠D 都是直角．在Rt △ABC 和 Rt △BAD 中，AB =BA ，AC =BD ，∴ Rt △ABC ≌ Rt △BAD （HL ）．∴ BC =AD （全等三角形对应边相等）． ABC A ＇B ＇C ＇变式1 如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，要证△ABC ≌△BAD ，需要添加一个什么条件？请说明理由．（1） （ ）；（2） （ ）；（3） （ ）；（4） （ ）． 例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯 的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？AB C D A B CD四、能力提高练习1 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D ，E 两地．DA ⊥AB ，EB ⊥AB ． D ，E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？AB C DE练习2 如图，AB =CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，CE =BF ．求证：AE =DF ．五、课堂小结 （1）“HL ”判定方法应满足什么条件？与之前所学的四种判定方法有什么不同？（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？六、作业教科书习题12.2第6、7、8题． AB C DEF。
第十三讲 三角形全等的判定定理4(HL)(含解析) (人教版)
第十三讲三角形全等的判定定理4（“HL”）【学习目标】1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．【新课讲解】知识点1：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）1.文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）.2.几何语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′ (HL).方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）【例题】如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.【答案】见解析。
【解析】证明：∵ AC⊥BC， BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.三角形全等的判定定理4问题新课程过关检测满分100分，答题时间60分钟一、选择题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）1.下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一直角边对应相等D. 两个直角三角形的面积相等【答案】D【解析】如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确；如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS可判断两三角形全等，故选项B正确；如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL可判断两三角形全等，故选项C正确；如果两个直角三角形的面积相等，那么无法判定两个直角三角形全等，故D错误；故选：D．2．要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解析】根据全等三角形的判定，逐个分析即可.①有两条直角边对应相等;根据SAS，可判定两个直角三角形全等；②有两个锐角对应相等; 没有边，不能判定两个直角三角形全等；③有斜边和一条直角边对应相等; 根据HL，可判定两个直角三角形全等；④有一条直角边和一个锐角相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等；⑤有斜边和一个锐角对应相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等；⑥有两条边相等.边位置不确定，不能判定两个直角三角形全等.故选C3．如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM=ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．AASD ．SSS【答案】A 【解析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，OM ON OP OP =⎧⎨=⎩， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP=∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故选择：A.4．如图，∠ACB=90°，AC=BC ．AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．B ．2C ．2D ．【答案】B ．【解析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出BE=DC ，就可以求出DE 的值．∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=25.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH 的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】△AEH≌△CEB，EH=BE=3CE=AE=4CH=CE-HE=4-3=1二、填空题（每空4分，共28分）6．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．【答案】AC=BC．【解析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC 可利用AAS判定△ADC≌△BEC．添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS）7．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．【答案】AB=ED．【解析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC ≌△DEF．添加AB=ED，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）8.如图，，，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，，，，则________．【答案】7解析：，，，，在和中，≌，，，．故答案为7．9.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的关系是_______。
三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等课件(共23张PPT)
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
随堂练习
1.如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证：(1) AE = DF. 分析： CE - EF = BF - EF. 即 CF = BE
Rt△ABE≌Rt△DCF ( HL )
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
课堂小结
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等( “斜边、直角边”或“HL”).
用“HL”判定 直角三角形全等
前提条件 在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对 应边相等）
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
针对训练 1.如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 与 路段 AB 的距离相等吗？为什么？
分析： CA = CB， CD = CE， ∠A =∠B = 90°.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
②当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
AB＝PQ， AC＝PA， ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP＝AC＝10 cm. 综上， 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
用符号语言表达： 在 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°
AB = A'B' ∵
用“HL”判定直角三角形全等人教版(广东)八级数学上册课件
第十二章 全等三角形 第5课时 用“HL”判定直角三角形全等
01 课前预习
1.斜边和一条 直角边 边、直角边”或“ HL
分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜 ”)．
2.如图，∠B＝∠E＝ 90 °.
在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
AB＝ DE
AC
＝ DF
， ，
∴Rt△ABC≌Rt△ DEF
解：由题可知 AC＝DF，AC⊥AB，ED⊥DF， ∴∠CAB＝∠FDE＝90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，BACC＝＝EDFF，， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)． ∴∠BCA＝∠EFD.
∵∠CAB＝90°， ∴∠ABC＋∠BCA＝90°. ∴∠ABC＋∠DFE＝90°.
03 分层检测
A组 1．如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.求证：△ABC≌△BAD.
证明：∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ABC 和△BAD 都是直角三角形． 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AD＝BC， AB＝BA， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
2．如图，点 E，F 在线段 BD 上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE ＝BF.求证：△ADF≌△CBE.
用“HL”判定直角三角形全等人教版 （广东 ）八级 数学上 册课件
用“HL”判定直角三角形全等人教版 （广东 ）八级 数学上 册课件
知识点 2 直角三角形全等判定方法的选用 【例 2】 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列 各条件中，不能使 Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( B ) A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40° C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
hl定理证明三角形全等
hl定理证明三角形全等
HL定理是指在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，AC=DF，
∠A=∠D，则三角形ABC与DEF全等。
下面是HL定理的证明：
已知三角形ABC和DEF，且AB=DE，AC=DF，∠A=∠D。
我们需要证明三角形ABC与DEF全等，即证明∠B=∠E和∠C=∠F。
根据条件，我们可以得到以下等式：
1. AB=DE（已知条件）
2. AC=DF（已知条件）
3. ∠A=∠D（已知条件）
由于两边相等，则可以推导出两个三角形的两边分别相等：
1. BC=EF（AB=DE，由等式1可得）
2. AC=DF（由等式2可得）
接下来，我们需要证明∠B=∠E和∠C=∠F。
由于∠A=∠D，我们可以得知∠B和∠C相对应的两个角分别与
∠E和∠F相对应的两个角相等：
1. ∠B=∠E（由∠A=∠D可得）
2. ∠C=∠F（由∠A=∠D可得）
综上所述，根据等边等角条件，我们可以得出三角形ABC与DEF 全等。
注：HL定理是三角形全等的一个判定条件之一，也可以通过其他证明方法来证明三角形全等。
hl全等的书写格式
hl全等的书写格式
HL全等的书写格式是指在数学中表示两个角度或两个线段相等的方式。
HL全等是指在一个直角三角形中，如果两个直角三角形中的一个直角和两个非直角边分别等于另一个直角三角形的一个直角和两个非直角边，那么这两个直角三角形是全等的。
HL全等的书写格式如下：
在书写中，我们可以使用以下公式表示HL全等关系：
△ABC≌△DEF
其中，△ABC和△DEF分别表示两个直角三角形。
在这个表示中，A、B、C、D、E和F分别代表两个直角三角形中的顶点。
通过这个表示方式，我们可以清晰地表示出两个直角三角形之间的全等关系。
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课题：《11.2三角形全等的判定》(HL)导学案 编审:主备 审核 数学组 学科 数学 年级 八年级 时间
【学习目标】 姓名 ：班级 ；第 组 1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”，并能灵活选择方法判定三角形全等；
2．独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；
【学习过程】
一、学
（一）、自主学习：
1、复习思考
(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
(2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是
(3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，
①若∠A=∠D ，AB=DE ，
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
②若∠A=∠D ，BC=EF ，
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
③若AB=DE ，BC=EF ，
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
(1)自行预习：见书上13-14页探究8 ；动手画一画。
(2)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个特殊方法:
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）
(3)用数学语言表述上面的判定方法
在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,
∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △ ( ) （5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”
3、自行欣赏书上14页例题4
（二）、合作学习： 1、书上14页练习1、2题、
2、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，
AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？答： ，
说说你的理由
A B C A 1 B 1
C 1
理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）
∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）
∵BE=CF ，∴BF=CE
在Rt △ 和Rt △ 中
∵⎩⎨⎧==_________
______________________
∴ ≌ （ ）
∴ = （ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）、
二、展 1、组内展示： 2、全班展示：
三、点 1、学生点评： 2、教师点拨：
四、练
1、当堂训练：
（1）、书上16页练习7、8题
2、当堂检测：
（1）、如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，
若AC//DB ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据
若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据
若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据
若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。
则△ACE ≌△BDF ，根据
若AC=BD ，CE=DF （或AE=BF ），则△ACE ≌△BDF ，根据
（2）、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A 、两条直角边对应相等
B 、斜边和一锐角对应相等
C 、斜边和一条直角边对应相等
D 、两个锐角对应相等
（3）、能力提升：（学有余力的同学完成）
如图1，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E 点，BF ⊥AC 于F 点，若AB=CD,AF=CE,BD 交AC 于M 点。
（1）求证：MB=MD,ME=MF;(2)当E 、F 两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证明。
3、当堂小结
（1）学生小结（我的收获、疑惑）：
（2）教师小结：本节课你们都学到了什么？还有什么疑惑？
【课后反思】。