(完整版)全等三角形证明
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例2:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连结 DE交BC于F.求证:DF=EF. 证明:∴DB=DH.
又∵CE=BD, ∴CE=DH. 又∵ ∠1= ∠2, ∴△DHF≌△ECF. ∴DF=EF.
三、利用角的平分线对称构造全等
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分 ∠ABC, ∠A+∠C=180°.证明AD=CD.
全等三角形的判定
全等三角形的判定
全等三角形的判定
全等三角形的判定
全等三角形的判定
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD.
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD. 证明:在AC上截取AF=AE,
全等三角形判定
全等三角形的判定
SSS(边边边):三边对应相等的三角形是全等三角形. SAS(边角边):两边及夹角对应相等的三角形是全等三角形. ASA(角边角):两角及其夹边对应相等的三角形全等. AAS(角角边):两角及其一角的对边对应相等的三角形全等. HL(斜边,直角边):在一对直角三角形中,斜边及另一条直角边对应相等的两个三角形全 等.
二、作平行线
例2:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连结 DE交BC于F.求证:DF=EF. 证明:作DH∥AE交BC于H.
∵AB=AC, ∴ ∠B= ∠5. 又∵DH∥AE, ∴ ∠4= ∠5, ∠3= ∠E. ∴ ∠4= ∠B.
二、作平行线
三、利用角的平分线对称构造全等
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC, ∠A+∠C=180°.证明AD=CD. 证明:∴AD=ED, ∠A=∠3.
∵∠A+∠C=180°, ∴ ∠3 +∠C=180°. 又∵∠3 +∠4=180°, ∴ ∠C=∠4. ∴CD=DE. ∴AD=CD.
三、利用角的平分线对称构造全等
证明:∵ ∠ABC=60°,
∴ ∠BAC+ ∠BCA=180°- ∠ABC=180°-60°=120°.
又∵CE平分∠ACB,
∴ ∠3= ∠4.
又∵ ∠5= ∠3+ ∠2= ∠1BAC+ ∠B1CA
=
(∠12 BAC+
2 ∠BCA)
2
= 1120°=60°,
2
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD. 证明:∴ ∠6= ∠8=60°,
∴ ∠7=180°- ∠5 - ∠6=180°-60°-60°=60°. ∴ ∠7= ∠8. 又∵OC=OC, ∴△ODC≌△OFC. ∴CD=CF.
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD. 证明:∴ ∠6= ∠8=60°,
∵BD平分∠ABC,BD⊥AF. ∴ ∠1= ∠2, ∠ADB= ∠ FDB=90°. 又∵BD=BD, ∴△ABD≌△FBD.
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠B=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长. 解:∴FD=AD=a,即AF=2a.
三、利用角的平分线对称构造全等
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分 ∠ABC,∠A+∠C=180°.证明AD=CD. 证明:在BC上截取BE=BA,连结DE.
三、利用角的平分线对称构造全等
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC, ∠A+∠C=180°.证明AD=CD. 证明:在BC上截取BE=BA,连结DE.
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长. 解:延长AD、BC交于F.
∵BD平分∠ABC,BD⊥AF.
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长. 解:延长AD、BC交于F.
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC, ∠A+∠C=180°.证明AD=CD. 证明:∴AD=ED, ∠A=∠3.
∵∠A+∠C=180°, ∴ ∠3 +∠C=180°. 又∵∠3 +∠4=180°, ∴ ∠C=∠4. ∴CD=DE. ∴AD=CD.
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长.
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD. 证明:在AC上截取AF=AE,
∵AD平分∠ABC, ∴ ∠1= ∠2. 又∵ AE=AF,AO=AO, ∴△AEO≌△AFO. ∴ ∠5= ∠6.
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD.
∵BD平分∠ABC, ∴ ∠1= ∠2. 又∵AD=BE,BD=BD, ∴△ABD≌△EBD.
三、利用角的平分线对称构造全等
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC, ∠A+∠C=180°.证明AD=CD. 证明:在BC上截取BE=BA,连结DE.
∵BD平分∠ABC, ∴ ∠1= ∠2. 又∵AD=BE,BD=BD, ∴△ABD≌△EBD. ∴AD=ED, ∠A=∠3.
∴ ∠7=180°- ∠5 - ∠6=180°-60°-60°=60°. ∴ ∠7= ∠8. 又∵OC=OC, ∴△ODC≌△OFC. ∴CD=CF. 又∵AC=AF+CF, ∴AC=AE+CD.
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二、作平行线
例2:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连结 DE交BC于F.求证:DF=EF.
又∵ ∠3+ ∠4=90°, ∠3+ ∠F=90°, ∠4= ∠5, ∴ ∠5= ∠F. 又∵ ∠2= ∠3,AC=BC, ∴△AFC≌△BEC. ∴BE=AF=2a.
又∵CE=BD, ∴CE=DH. 又∵ ∠1= ∠2, ∴△DHF≌△ECF. ∴DF=EF.
三、利用角的平分线对称构造全等
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分 ∠ABC, ∠A+∠C=180°.证明AD=CD.
全等三角形的判定
全等三角形的判定
全等三角形的判定
全等三角形的判定
全等三角形的判定
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD.
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD. 证明:在AC上截取AF=AE,
全等三角形判定
全等三角形的判定
SSS(边边边):三边对应相等的三角形是全等三角形. SAS(边角边):两边及夹角对应相等的三角形是全等三角形. ASA(角边角):两角及其夹边对应相等的三角形全等. AAS(角角边):两角及其一角的对边对应相等的三角形全等. HL(斜边,直角边):在一对直角三角形中,斜边及另一条直角边对应相等的两个三角形全 等.
二、作平行线
例2:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连结 DE交BC于F.求证:DF=EF. 证明:作DH∥AE交BC于H.
∵AB=AC, ∴ ∠B= ∠5. 又∵DH∥AE, ∴ ∠4= ∠5, ∠3= ∠E. ∴ ∠4= ∠B.
二、作平行线
三、利用角的平分线对称构造全等
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC, ∠A+∠C=180°.证明AD=CD. 证明:∴AD=ED, ∠A=∠3.
∵∠A+∠C=180°, ∴ ∠3 +∠C=180°. 又∵∠3 +∠4=180°, ∴ ∠C=∠4. ∴CD=DE. ∴AD=CD.
三、利用角的平分线对称构造全等
证明:∵ ∠ABC=60°,
∴ ∠BAC+ ∠BCA=180°- ∠ABC=180°-60°=120°.
又∵CE平分∠ACB,
∴ ∠3= ∠4.
又∵ ∠5= ∠3+ ∠2= ∠1BAC+ ∠B1CA
=
(∠12 BAC+
2 ∠BCA)
2
= 1120°=60°,
2
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD. 证明:∴ ∠6= ∠8=60°,
∴ ∠7=180°- ∠5 - ∠6=180°-60°-60°=60°. ∴ ∠7= ∠8. 又∵OC=OC, ∴△ODC≌△OFC. ∴CD=CF.
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD. 证明:∴ ∠6= ∠8=60°,
∵BD平分∠ABC,BD⊥AF. ∴ ∠1= ∠2, ∠ADB= ∠ FDB=90°. 又∵BD=BD, ∴△ABD≌△FBD.
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠B=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长. 解:∴FD=AD=a,即AF=2a.
三、利用角的平分线对称构造全等
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分 ∠ABC,∠A+∠C=180°.证明AD=CD. 证明:在BC上截取BE=BA,连结DE.
三、利用角的平分线对称构造全等
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC, ∠A+∠C=180°.证明AD=CD. 证明:在BC上截取BE=BA,连结DE.
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长. 解:延长AD、BC交于F.
∵BD平分∠ABC,BD⊥AF.
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长. 解:延长AD、BC交于F.
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC, ∠A+∠C=180°.证明AD=CD. 证明:∴AD=ED, ∠A=∠3.
∵∠A+∠C=180°, ∴ ∠3 +∠C=180°. 又∵∠3 +∠4=180°, ∴ ∠C=∠4. ∴CD=DE. ∴AD=CD.
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长.
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD. 证明:在AC上截取AF=AE,
∵AD平分∠ABC, ∴ ∠1= ∠2. 又∵ AE=AF,AO=AO, ∴△AEO≌△AFO. ∴ ∠5= ∠6.
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD.
∵BD平分∠ABC, ∴ ∠1= ∠2. 又∵AD=BE,BD=BD, ∴△ABD≌△EBD.
三、利用角的平分线对称构造全等
例3:如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC, ∠A+∠C=180°.证明AD=CD. 证明:在BC上截取BE=BA,连结DE.
∵BD平分∠ABC, ∴ ∠1= ∠2. 又∵AD=BE,BD=BD, ∴△ABD≌△EBD. ∴AD=ED, ∠A=∠3.
∴ ∠7=180°- ∠5 - ∠6=180°-60°-60°=60°. ∴ ∠7= ∠8. 又∵OC=OC, ∴△ODC≌△OFC. ∴CD=CF. 又∵AC=AF+CF, ∴AC=AE+CD.
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二、作平行线
例2:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连结 DE交BC于F.求证:DF=EF.
又∵ ∠3+ ∠4=90°, ∠3+ ∠F=90°, ∠4= ∠5, ∴ ∠5= ∠F. 又∵ ∠2= ∠3,AC=BC, ∴△AFC≌△BEC. ∴BE=AF=2a.