立体几何与空间几何体

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解析：满足正视图和侧视图的几何体只有可能是C、D.再满足俯视 图的几何体只能是D.
答案：D
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考点3 几何体的直观图与斜二测画法
1.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形
的面积S之间的关系是S′＝
2 4 S.
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则在Rt△A′O′M′中，
∵A′O′＝ 23a，∠A′M′O′＝45°，
∴M′O′＝A′N′＝
23a.故A′M′＝
6 2 a.
在直角坐标系中，在x轴上方y轴左侧取到x轴距离为 6 a，到y轴距
离为 23a的点A，则△ABC即为所求，显然S△ABC＝12a× 6a＝ 26a2.
、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的 一．但新课标对这部分内容
三视图，能识别上述的三视图所表示 的要求较低，常以选择填空
的立体模型，会用斜二测画法画出它 题形式出现，有时作为解答
们的直观图．
题的背景出现．与立体几何
3．会用平行投影与中心投影两种方 中有关的证明计算问题融合
法画出简单空间图形的三视图与直观 在一起考查.
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到． 旋 (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到． 转 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线 体 旋转得到，也可由平行于棱锥底面的平面截圆锥得到．
(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.
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问题探究1：由棱柱的结构特征可知：棱柱有两个面互相平行，其 余各面都是平行四边形，反过来，成立吗？
故其体积V＝13×12×1×1×1＝16(cm3)．故选C. 答案：C
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1．对空间几何体的认识 (1)根据几何体的结构特征判断几何体的类型，首先应熟练掌握各 类几何体的概念和性质，其次要有一定的空间想象能力； (2)圆柱、圆锥、圆台可以看成是分别以矩形的一边、直角三角形 的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边 旋转而成的曲面所围成的几何体．其轴截面分别是矩形、等腰三角形、 等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要要素，处理旋转体的 有关问题一般通过作出轴截面来解．
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直 观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且 直 使∠x′O′y′＝45°(或135°)，已知图形中平行于x轴的线段， 观 在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来 图 的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应 的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段， 在直观图中仍平行于z′轴且长度不变.
2．对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点
的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线
段确定端点在直观图中的位置．
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例3 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ ABC的面积．
【解】 如图所示，(1)为直观图，(2)为实际图形，取B′C′所在直 线为x′轴，过B′C′的中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′ x′交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′交x′轴于M′点．
提示：不一定成立． 如图所示几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不 满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，故它不是棱柱．
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2．三视图与直观图
三 空间几何体的三视图是用正投影得到的，这种投影下与投影 视 面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完 图 全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．
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2．三视图 从近几年的高考情况来看，空间几何体的三视图题目类型主要有 识图，将三视图还原为实物图后再做一些计算等，直接画三视图的题目 很少见；常用的图形载体是柱、锥、台、球以及它们的组合，所以必须 掌握其一般的作图规则．
体一定是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱，圆锥，球体的组合体
解析：由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面．
答案：C
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2．(2011年青岛模拟)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示， 则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确 的是( )
答案：B
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6．(2011年安徽省新安中学、望江三中联考)下图是某几何体的直 观图，其三视图正确的是( )
解析：观察可得此几何体的三视图． 答案：A
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(对应学生用书P146) 考点1 几何体的结构及定义 1.几种特殊的四棱柱 平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊的四棱 柱，要特别注意． (1)直四棱柱不一定是直平行六面体． (2)正四棱柱不一定是正方体． (3)长方体不一定是正四棱柱．
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下列结论正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱 锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
D正确．
答案：D
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考点2 几何体的三视图 画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注 意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视 图想象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几 何体之间的关系．
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4．(2010年北京高考)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体 的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 ()
解析：由几何体的正视图、侧视图，结合题意，可知选C. 答案：C
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5．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：还原为原来的图形即：
如右图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
答案：C
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易错点 因对三视图理解不到位致错
(对应学生用书P147)
已知四棱锥P－ABCD水平放置如图，且底面ABCD是边长为2cm的 正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB.试画出该几何体的三视图．
【错解】
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2．几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形 时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)． (2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面 中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体． (3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知， 该几何体的三视图不可能是圆和正方形． 答案：B
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3．一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．底面是正方形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直 D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 解析：根据正四棱柱的结构特征加以判断． 答案：C
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【错因分析】 本题忽略了三视图的形成过程．虽然三个图的形 状画对了，但是侧视图的直角顶点画错了．
【正确解答】 该几何体的三视图如下：
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(1) 三 视 图 是 新 课 标 中 新 增 的 内 容 ， 要 求 是 能 画 ， 能 识 别 ， 能 应 用．经常与立体几何中有关的计算问题融合在一起考查，如面积、体积 的计算，考查学生的空间想象能力，因此我们应对常见的简单几何体的 三视图有所理解，能够进行识别和判断．(2)注意三视图的特点：“正、 侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”．(3)空间想象能力与多观察 实物相结合是解决此类问题的关键．
例2 (2011年高考课标卷)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视 图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
【解析】 当几何体是半个圆锥和半个棱锥的组合体时，其侧视 图为D.
【答案】 D
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(2011年浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 直观图可以是( )
图， 了解空间图形的不同表示形式.
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(对应学生用书P145)
知识梳理
1．空间几何体的结构特征
多 面 体
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形． (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是 相似多边形．
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考纲要求
考情分析
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合
体的结构特征，并能运用这些特征描 三视图是新课标新增的内
述现实生活中简单物体的结构．
容，是一个知识交汇的载体
2．能画出简单空间图形(长方体、球 ，因而是高考的重点内容之
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用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图与直观图中的 “三变、三不变”：
“三变”坐 与标y轴轴平的行夹线角段改的变长，度改变减半， 图形改变.
“三不变”平 与行x轴性平不行变的，线段长度不变， 相对位置不变.
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解析：A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构 成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．
B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋 转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．
C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边 长．
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已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)， 可得这个几何体的体积是( )
1 A.2
cm3
1 C.6
cm3
1 B.3
cm3
1 D.12
cm3
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解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面一边长为1， 此边上的高为1，三棱锥的高为1，
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问题探究2：空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区 别？
提示：观察直角：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的 图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形.
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自主检测
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何
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例1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________． 【解析】 命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的， 底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的， 因直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的，命题④由 棱台的定义知是正确的． 【答案】 ①④