立体几何与空间几何体
空间解析几何与立体几何的联系
空间解析几何与立体几何的联系空间解析几何和立体几何是数学中两个相互联系紧密的分支。
空间解析几何主要研究空间中点、直线、平面的性质及其相互关系，而立体几何则研究空间中的几何体的性质和相互关系。
本文将探讨空间解析几何与立体几何之间的联系以及它们在实际问题中的应用。
一、空间解析几何与立体几何的基本概念在开始讨论两者之间的联系前，我们先回顾一下空间解析几何和立体几何的基本概念。
空间解析几何中，我们研究的点通过坐标来表示，直线则可以表示为两点之间的所有点的集合。
平面则可以表示为某一点和该点的两个不共线向量生成的平面。
而立体几何中，我们研究的是在空间中存在的各种几何体，如球体、立方体、圆锥等。
立体几何研究的对象具有三维的特性，并且可以通过各种投影方法来进行描述和分析。
二、两者之间的联系虽然空间解析几何和立体几何是数学中的不同分支，但它们之间存在着密切的联系。
1. 位置关系的分析空间解析几何中，我们可以通过坐标系来分析点、直线、平面之间的位置关系，例如两直线是否平行、共面、相交等。
这种位置关系的分析在立体几何中同样适用。
例如，我们可以通过空间解析几何的方法来判断一个点是否在一个几何体内部或外部，或者两个几何体是否相交。
2. 空间投影的应用立体几何中的一个重要概念是投影，即将三维几何体投影到二维平面上。
而在空间解析几何中，我们研究的点、直线、平面都可以通过坐标来表示，因此可以将三维几何体的投影问题通过空间解析几何的方法进行研究。
例如，通过计算三维几何体在不同方向上的投影，我们可以得到几何体的截面图形，从而更好地理解几何体的形状和性质。
3. 各种几何体的性质分析在空间解析几何中，我们可以通过坐标方程来分析各种几何体的性质，如点的距离、直线的倾斜角度等。
类似地，在立体几何中，我们可以通过各种几何体的投影、相交等特性来分析几何体之间的关系及其性质。
通过两者之间的联系，我们可以更全面地认识和理解各种几何体的性质。
三、空间解析几何与立体几何在实际问题中的应用空间解析几何和立体几何不仅仅是一门学科，它们在实际问题中也有着广泛的应用。
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习 探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
高中数学立体几何知识点归纳总结
高中数学立体几何学问点归纳总结一、立体几何学问点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的构造特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的构造特征1.棱柱1.1棱柱——有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA=++②（理解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos1αβγ++=，222sin sin sin2αβγ++=；③（理解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面绽开图：正n 棱柱的侧面绽开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面绽开图：圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
新课标2023版高考数学一轮总复习第6章立体几何第1节空间几何体教师用书
第一节 空间几何体考试要求：1．认识柱、锥、台及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、棱柱及其简易组合)的直观图．3．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．一、教材概念·结论·性质重现1．多面体的结构特征互相平行且全等多边形互相平行平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点平行四边形三角形梯形相互平行且相等并垂直于底相交于一点延长线交于一圆空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)“斜”：在直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°．(2)“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线，在直观图中长度为原来的一半．画直观图要注意平行，还要注意长度及角度两个要素．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl圆台侧＝π(r1＋．空间几何体的表面积与体积公式名称表面积体积几何体柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S 底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝S底·h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解6．常用结论几个与球有关的切、接常用结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R．①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a．(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1．解决与球“外接”问题的关键：二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( √ )(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS．( × ) 2．如图，长方体ABCD A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱 D．简单组合体C 解析：由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．3．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A．1 cm B．2 cmC．3 cm D． cmB 解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2 cm．4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．12π B．C．8π D．4πA 解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π．故选A．5．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为__________，面积为________cm2．矩形 8 解析：由斜二测画法的规则可知，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2．考点1 空间几何体的结构特征与直观图——基础性1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球D．圆柱、圆锥、球体的组合体C 解析：截面是任意的，且都是圆面，则该几何体为球体．2．下列命题正确的是( )A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台C 解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A，B错误，C正确．对于D，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，D不正确．3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C ′D′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形C 解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm．所以OC＝＝＝6(cm)，所以OA＝OC，所以四边形OABC是菱形．4．(多选题)下列命题中正确的是( )A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C．存在每个面都是直角三角形的四面体D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等BC 解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1 ABC，四个面都是直角三角形；D不正确棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．1．解决空间几何体的结构特征的判断问题主要方法是定义法，即紧考点2 空间几何体的表面积与体积——综合性考向1 空间几何体的表面积问题(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2 B．2 C．4 D．4B 解析：由题意知圆锥的底面周长为2π．设圆锥的母线长为l，则πl＝2π，即l＝2．故选B．(2)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为()A ．4＋4B ．4＋4C ．12D ．8＋4A 解析：连接A 1B ．因为AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥BC ，又AB ⊥BC ，AA 1∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为∠CA 1B ＝30°．又AA 1＝AC ＝2，所以A 1C ＝2，所以BC ＝．又AB ⊥BC ，则AB ＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4．(3)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝ cm 2．2 600π 解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S ＝×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm 2)．求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积1．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_________．12 解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′．由题意，得×6××2××h＝2，所以h＝1，所以斜高h′＝＝2，所以S侧＝6××2×2＝12．2．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知一个堑堵的底面积为6，体积为的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为________．36 解析：设球的半径为r，底面三角形的周长为l，由已知得r＝1，所以堑堵的高为2．则lr＝6，l＝12，所以表面积S＝12×2＋6×2＝36．考向2 空间几何体的体积问题(1)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为( )A． B．C． D．A 解析：易知三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，又三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝．(2)(2021·八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．61π 解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝＝＝3．据此可得圆台的体积V＝π×3×(52＋5×4＋42)＝61π．求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．通过选择合适的底面来求几何体体积，主要用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积1．(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．39π 解析：设圆锥的高为h ，母线长为l ，则圆锥的体积V ＝×π×62×h ＝30π，解得h ＝．所以l ＝＝＝，故圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π×6×＝39π．2．如图，已知体积为V 的三棱柱ABCA 1B 1C 1，P 是棱B 1B 上除B 1，B 以外的任意一点，则四棱锥PAA 1C 1C 的体积_________． 解析：如图，把三棱柱ABCA 1B 1C 1补成平行六面体A 1D 1B 1C 1ADBC ．设点P 到平面AA 1C 1C 的距离为h ，则V ＝S ·h ＝V ＝·2V＝．考点3 与球有关的切、接问题——综合性考向1 “相切”问题已知正四面体PABC 的表面积为S 1，此四面体的内切球的表面积为S 2，则＝________． 解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S1＝4××a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝×a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝．考向2 “相接”问题已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )A． B． 2C． D．3C 解析：如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝．1．已知三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥PABC的外接球的体积为( )A．π B．π C．27π D．27πB 解析：因为三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC．因为PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥PABC的外接球．因为正方体的体对角线长为＝3，所以其外接球半径R＝．因此三棱锥PABC的外接球的体积V＝×＝π．2．(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．π 解析：方法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝＝2．易知BE ＝BD＝1，则CE＝2．设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(2－R)2－R2＝4，所以R＝，圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π．方法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝2，则S△ABC＝2．设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π．。
第九章 立体几何9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图
2．空间点、直线、平面之间的位置关系 这一部分是立体几何的核心．其中四个公理 及其推论是立几理论体系的基础，是空间中 确定平面的依据，是空间中平移变换的依据， 是空间问题转化为平面问题的依据，是作图 的依据，线面的平行与垂直关系是本章的主 体内容，故高考命题一是以客观题形式考查 对线线、线面、面面位置关系的理解与掌 握．二是通过大题考查对空间线线、线面、 面面的平行与垂直的判定与性质定理的掌握， 及有关角与距离的求法．以多面体与旋转体 为载体，结合三视图、直观图及面积、体积 的计算是命题的主要方向．
●课程标准 一、空间几何体 1．利用实物模型、计算机软件观察大量空 间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合 体的结构特征，并能运用这些特征描述现实 生活中简单物体的结构． 2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识 别上述几何体的三视图所表示的立体模型， 会使用材料制作模型，会用斜二测画出它们 的直观图．
3．空间向量与立体几何(理)
高考试题中的立体几何解答题，包括部分选 择、填空题，大多都可以使用空间向量来解 答．高考在注重对立体几何中传统知识和方 法考查的同时，加大了对空间向量的考 查．给考生展现综合利用所学知识解决实际 问题的才能提供更宽阔的舞台．
这一部分高考命题主要有以下几个方面：
、锥、台、球等基本几何体组合而成的 几何体叫做组合体． 8．平行投影 (1)平行投影的有关概念 平行投影：已知图形F，直线l与平面α相交 (下图)，过F上任意一点M作直线MM′平行于l， 交平面α于点M′，则点M′叫做M在平面α内关 于直线l的平行投影(或象)．
图形的平行投影：如果图形F上的所有点在 平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′， 则F′叫做图形F在平面α内关于直线l的平行投 影．平面α叫做投射面，l叫做投射线．
2023年新高考数学大一轮复习专题四立体几何第1讲空间几何体(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第1讲 空间几何体[考情分析] 几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积与体积是高考题的重点与热点，多以小题的形式进行考查，属于中等难度． 考点一 表面积与体积 核心提炼1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． 2．空间几何体的体积公式V 柱＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； V 锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)； V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．例1 (1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案 402π解析 因为母线SA 与圆锥底面所成的角为45°， 所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形． 设底面圆的半径为r ，则母线长l ＝2r . 在△SAB 中，cos∠ASB ＝78，所以sin∠ASB ＝158.因为△SAB 的面积为515，即12SA ·SB sin∠ASB＝12×2r ×2r ×158＝515， 所以r 2＝40，故圆锥的侧面积为πrl ＝2πr 2＝402π.(2)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三棱锥D －BB 1C 1的体积为________．答案 233解析 如图，取BC 的中点O ，连接AO .∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2， ∴AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝ 3. ∵AA 1∥平面BCC 1B 1，∴点D 到平面BCC 1B 1的距离为 3. 又11BB C S＝12×2×2＝2， ∴11D BB C V ＝13×2×3＝233.易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)． (2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解． (3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．跟踪演练1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π答案 B解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意可知2r ＝h ＝22，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πr ·h ＝4π＋8π＝12π.故选B.(2)如图，在Rt△ABC 中，AB ＝BC ＝1，D 和E 分别是边BC 和AC 上异于端点的点，DE ⊥BC ，将△CDE 沿DE 折起，使点C 到点P 的位置，得到四棱锥P －ABDE ，则四棱锥P －ABDE 的体积的最大值为________．答案327解析 设CD ＝DE ＝x (0<x <1)，则四边形ABDE 的面积S ＝12(1＋x )(1－x )＝12(1－x 2)，当平面PDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P －ABDE 的体积最大，此时PD ⊥平面ABDE ，且PD ＝CD ＝x ，故四棱锥P －ABDE 的体积V ＝13S ·PD ＝16(x －x 3)，则V ′＝16(1－3x 2)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33时，V ′>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫33，1时，V ′<0. ∴当x ＝33时，V max ＝327. 考点二 多面体与球 核心提炼解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O 与截面圆的圆心O 1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．例2 (1)已知三棱锥P －ABC 满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝4，∠APB ＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 答案 64π解析 因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC 的外接球球心在平面PAB 上， 即球心就是△PAB 的外心，根据正弦定理ABsin∠APB ＝2R ，解得R ＝4，所以外接球的表面积为4πR 2＝64π.(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 答案23π 解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ， 故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π.规律方法 (1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S －ABC 的外接球球心O 的确定方法：先找到△ABC 的外心O 1，然后找到过O 1的平面ABC 的垂线l ，在l 上找点O ，使OS ＝OA ，点O 即为三棱锥S －ABC 的外接球的球心． (3)多面体的内切球可利用等积法求半径．跟踪演练2 (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36πB．64πC．144πD．256π 答案 C解析 如图所示，设球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°， 所以S △AOB ＝12R 2，因为V O －ABC ＝V C －AOB ， 而△AOB 的面积为定值，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大， 此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD ＝5，ED ＝3，若鳖臑P －ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P －ABCD 的外接球的表面积为________．答案 20π解析 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ，即AD ⊥CE ，且AD ＝5，ED ＝3， ∴△ADE 的外接圆半径为r 1＝AE 2＝AD 2＋ED 22＝2，设鳖臑P －ADE 的外接球的半径为R 1， 则43πR 31＝92π，解得R 1＝322. ∵PA ⊥平面ADE ，∴R 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 21，可得PA 2＝R 21－r 21＝102，∴PA ＝10.正方形ABCD 的外接圆直径为2r 2＝AC ＝2AD ＝10， ∴r 2＝102， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴阳马P －ABCD 的外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 22＝5， ∴阳马P －ABCD 的外接球的表面积为4πR 22＝20π.专题强化练一、单项选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形 答案 A解析 AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2.在Rt△AOB 中，AB ＝12＋32＝2，同理AC ＝2，所以原△ABC 是等边三角形．2．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12答案 C解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ， 侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′， 则由已知得h 2＝12ah ′.如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，则在Rt△SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，∴h ′2＝12ah ′＋14a 2，∴⎝⎛⎭⎪⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0， 解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)． 3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( )A.12B.13C.14D.18答案 C解析如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长，则12lR＝2πr2，即12·2π·r·R＝2πr2，解得R＝2r，故∠ADC＝30°，则△DEF为等边三角形，设B为△DEF的重心，过B作BC⊥DF，则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径，则BCBD＝12，∴r内r外＝12，故S1S2＝14.4．(2020·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体的费用最少为( )A．4500元B．4000元C．2880元D．2380元答案 B解析因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高 1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，因为气体每立方米1000元，所以气体的费用最少为4×1000＝4000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关 答案 B解析 由已知得V 三棱锥O －AEF ＝V 三棱锥E －OAF ＝13S △AOF ·h (h 为点E 到平面AOF 的距离)．连接OC ，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值．又AO ∥A 1C 1，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，所以△AOF 的面积是定值，所以三棱锥O －AEF 的体积与x ，y 都无关．6．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3 C.5π3D ．2π 答案 C解析 如图，过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3.7．(2020·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( ) A ．64πB．48πC．36πD．32π 答案 A解析 如图，设圆O 1的半径为r ，球的半径为R ，正三角形ABC 的边长为a . 由πr 2＝4π，得r ＝2， 则33a ＝2，a ＝23， OO 1＝a ＝2 3.在Rt△OO 1A 中，由勾股定理得R 2＝r 2＋OO 21＝22＋(23)2＝16，所以S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π.8．(2020·武汉调研)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为( ) A.32π3B ．3πC.4π3D ．8π 答案 A解析 设△ABC 外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，∴2r ＝AB sin∠ACB ＝112＝2，即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3，∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，∴球O 的体积V ＝43π·OA 3＝32π3.故选A.9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2000π9B.4000π27C ．81πD ．128π答案 B解析 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h (0<h <5)，底面半径为r (0<r <5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱的体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，把V 看成是关于h 的函数，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h <53时，V ′>0，V 单调递增；当53<h <5时，V ′<0，V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值．即V max ＝π⎝⎛⎭⎪⎫25－259×⎝⎛⎭⎪⎫53＋5＝4000π27，故选B.10．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为( ) A.36B.12C.13D.32答案 C解析 ∵在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等，∴此三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ， ∵球O 的半径为1，∴正方体的边长为233，即PA ＝PB ＝PC ＝233，球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×h ＝13S △PAB ×PC ＝13×12×⎝⎛⎭⎪⎫2333， ∵△ABC 为边长为263的正三角形，S △ABC ＝233，∴h ＝23， ∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为13.二、多项选择题11．(2020·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图③所示时，AE ·AH 为定值 答案 AD解析 由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD ∥HG ∥EF ∥AB ，且平面AEHD ∥平面BFGC ，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A 正确；因为水面EFGH 所在四边形，从图②，图③可以看出，EF ，GH 长度不变，而EH ，FG 的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH 所在四边形的面积是变化的，故B 错；假设A 1C 1与水面所在的平面始终平行，又A 1B 1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A 1B 1C 1D 1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C 错；水量不变时，棱柱AEH －BFG 的体积是定值，又该棱柱的高AB 不变，且V AEH －BFG ＝12·AE ·AH ·AB ，所以AE ·AH ＝2V AEH －BFGAB，即AE ·AH 是定值，故D 正确．12.(2020·青岛检测)已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22，A 1B 1＝2，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A ．该四棱台的高为 3B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π 答案 AD解析 将四棱台补为如图所示的四棱锥P －ABCD ，并取E ，E 1分别为BC ，B 1C 1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为O 1，O ，连接AC ，BD ，A 1C 1，B 1D 1，A 1O ，OE ，OP ，PE .由条件知A 1，B 1，C 1，D 1分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则PA ＝2AA 1＝4，OA ＝2，所以OO 1＝12PO ＝12PA 2－OA 2＝3，故该四棱台的高为3，故A 正确；由PA ＝PC ＝4，AC ＝4，得△PAC 为正三角形，则AA 1与CC 1所成角为60°，故B 不正确；四棱台的斜高h ′＝12PE ＝12PO 2＋OE2＝12×232＋22＝142，所以该四棱台的表面积为(22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C 不正确；易知OA 1＝OB 1＝OC 1＝OD 1＝O 1A 21＋O 1O 2＝2＝OA ＝OB ＝OC ＝OD ，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为4π×22＝16π，故D 正确．三、填空题13．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________． 答案 1解析 如图，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积S 侧＝πrl ＝2π， 即r ·l ＝2.由于侧面展开图为半圆， 可知12πl 2＝2π，可得l ＝2，因此r ＝1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2.答案 2600π解析 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S ＝12×(π×40)×(50＋80)＝2600π(cm 2)．15．已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为________． 答案823π 解析 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径2R ＝22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π.16．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________． 答案2π2解析 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ， 连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形， 则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ， 则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2. 又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ . 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1， 同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点， ∴∠PEQ ＝π2，知PQ 的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.。
立体几何中的相交关系 → 空间几何中的相交关系
立体几何中的相交关系→ 空间几何中的相交关系介绍在几何学中，相交关系是指两个或多个几何体之间的交叉或重叠关系。
在空间几何中，我们研究的是三维空间中的几何体相交关系。
本文将介绍一些常见的空间几何中的相交关系。
平面与平面的相交关系两个平面可以有三种相交关系：相交、平行和重合。
1. 相交：当两个平面有一条公共的直线时，我们称它们相交。
相交：当两个平面有一条公共的直线时，我们称它们相交。
2. 平行：当两个平面没有公共的直线时，我们称它们平行。
平行：当两个平面没有公共的直线时，我们称它们平行。
3. 重合：当两个平面完全重合时，我们称它们重合。
重合：当两个平面完全重合时，我们称它们重合。
直线与平面的相交关系一条直线与平面可以有三种相交关系：相交、平行和垂直。
1. 相交：当一条直线与平面有一点同时在两者上时，我们称它们相交。
相交：当一条直线与平面有一点同时在两者上时，我们称它们相交。
2. 平行：当一条直线与平面没有任何公共点时，我们称它们平行。
平行：当一条直线与平面没有任何公共点时，我们称它们平行。
3. 垂直：当一条直线与平面相交，并且与平面上的任意一条直线都垂直时，我们称它们垂直。
垂直：当一条直线与平面相交，并且与平面上的任意一条直线都垂直时，我们称它们垂直。
直线与直线的相交关系两条直线在空间中可以有三种相交关系：相交、平行和共面。
1. 相交：当两条直线在空间中有且只有一个交点时，我们称它们相交。
相交：当两条直线在空间中有且只有一个交点时，我们称它们相交。
2. 平行：当两条直线位于不同平面上，并且在空间中没有任何交点时，我们称它们平行。
平行：当两条直线位于不同平面上，并且在空间中没有任何交点时，我们称它们平行。
3. 共面：当两条直线位于同一个平面上时，我们称它们共面。
共面：当两条直线位于同一个平面上时，我们称它们共面。
空间几何中的其他相交关系除了以上介绍的基本相交关系，空间几何中还存在其他一些特殊情况的相交关系。
初中数学立体几何知识点归纳
初中数学立体几何知识点归纳立体几何是数学中的一个重要分支，涉及到空间中的图形、体积和表面积等概念。
在初中数学中，学生将会接触到一些基本的立体几何知识点。
本文将对初中数学中的立体几何知识点进行归纳和介绍。
1. 空间几何体空间几何体是指在空间中存在的具有一定形状和大小的物体。
常见的空间几何体包括立方体、球体、长方体、圆柱体等。
这些几何体具有不同的性质和特点，对于初中学生来说，需要了解它们的名称、形状和基本性质。
2. 平面与直线在立体几何中，平面和直线是两个重要的概念。
平面是一个无限延伸的二维几何图形，由无数的点组成。
直线是由无数个点延伸而成的一维图形，没有宽度和厚度。
初中学生需要掌握平面和直线的基本定义，并能够通过给定的条件进行判断和绘制。
3. 点、线、面、棱、角在空间几何中，点、线、面、棱、角是常见的基本概念。
点是空间中最基本的要素，它没有长度、宽度和厚度。
线是由无数个点连接而成的图形，具有长度但没有宽度和厚度。
面是由无数个连续的点组成的平面形状，它具有长度和宽度但没有厚度。
棱是由二维图形的边界上的相邻点连接而成的线段，它具有长度但没有宽度和厚度。
角是由两条相交的线段组成的图形，它具有大小和形状。
4. 体积和表面积在立体几何中，体积和表面积是两个重要的指标，用来描述立体几何体的大小。
体积是一个三维图形所包含的空间的大小，通常用立方单位（如立方厘米）来表示。
初中学生需要掌握计算简单几何体（如立方体、长方体）的体积的方法，并能够应用到实际问题中。
表面积是一个三维图形外部的总面积，通常用平方单位（如平方厘米）来表示。
初中学生需要了解计算简单几何体的表面积的方法，并能够应用到实际问题中。
5. 空间图形的展开与还原空间图形的展开是指将一个立体图形展开成一个平面图形，以便于计算其面积或进行其他几何运算。
还原则是将展开后的平面图形重新折叠成原来的立体图形。
初中学生需要理解展开和还原的概念，并能够应用到实际问题中。
立体几何的基本概念与性质
空间几何体具有三维性，即具有长度、宽度和高度。 空间几何体具有方向性，即具有上、下、左、右、前、后六个方向。 空间几何体具有对称性，即具有中心对称、轴对称和面对称三种对称形式。 空间几何体具有连续性，即空间几何体的形状和大小可以无限接近于零。
旋转：几何体绕固定轴转动 平移：几何体在平面内沿直线移动 翻转：几何体绕垂直轴翻转 组合运动：几何体的多种运动方式的组合
平行关系：两个 几何体在同一平 面内且没有公共 点时，称为平行 关系
相交关系：两个 几何体在同一平 面内有且仅有一 个公共点时，称 为相交关系
包含关系：一个 几何体在另一个 几何体内时，称 为包含关系
异面关系：两个 几何体不在同一 平面内且没有公 共点时，称为异 面关系
建筑设计：利用空间几何体的形状和结构，设计出美观实用的建筑
力学研究：空间几何体在分析力学问题中的应用，如物体运动轨迹、碰撞等。
电磁学研究：空间几何体在研究电磁场、电磁波传播等问题中的应用。
光学研究：空间几何体在研究光的传播、折射、反射等问题中的应用。
物理学中的几何图形：空间几何体在描述物理现象、规律和公式中的应用，如几何 光学、量子力学等。
建立空间坐标系 确定点的坐标 运用向量或向量的数量积、向量的模等知识进行计算 结合几何性质，得出结论
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定义：立体几何是研究三维空间中图形和几何对象的一门学科。 分类：根据图形的形状和性质，可以将立体几何分为多面体、旋转体、平面图形等不同类型。
点、线、面是构成空间几何体的基 本元素
不同形状的面可以组成不同的空间 几何体，例如长方体由六个矩形面 组成
掌握基本概念：理解空间几何体的定义、性质和定理，为解题打下基础。 运用辅助线：通过添加适当的辅助线来帮助解决问题。 善于观察：观察几何体的结构，寻找解题的突破口。 实践练习：多做习题，提高解题能力和技巧。
立体几何第1单元 空间几何体的结构2
第1单元空间几何体的结构〖要点梳理〗1.多面体：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体。
2.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
3.棱柱的高：如果棱柱的一个底面水平放置，则铅垂线与两底面的交点之间的线段或距离，叫做棱柱的高（通常用h表示）。
4.棱柱的一种分类按底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。
另一种分类（按侧棱与底面的关系分）：斜棱柱——侧棱与底面不垂直的棱柱。
直棱柱——侧棱与底面垂直的棱柱。
正棱柱——底面是正多边形的直棱柱。
5. 特殊的四棱柱：平行六面体——底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。
侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体。
底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体。
6. 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是的一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥，这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
7. 棱锥的高：如果把棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅垂线和底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥的高（通常用h表示）。
8. 正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥。
正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高（通常用h′表示）。
高中数学立体几何中空间几何体的相关题型及解题思路
高中数学立体几何中空间几何体的相关题型及解题思路立体几何是高中数学中的重要内容之一，而空间几何体是立体几何的核心概念。
在高中数学中，空间几何体的相关题型涉及到体积、表面积、相似性等多个方面。
本文将以一些具体的题目为例，通过分析和说明，介绍解决这些题目的思路和技巧。
一、体积计算题体积是空间几何体的一个重要属性，计算体积是我们经常遇到的题型之一。
例如，有一个正方体，边长为3cm，求其体积。
解题思路：首先，我们知道正方体的体积计算公式是边长的立方。
所以，这个题目中正方体的体积就是3cm × 3cm × 3cm = 27cm³。
通过这个例子，我们可以看到，计算体积的关键是找到正确的计算公式，并将给定的数据代入公式进行计算。
二、表面积计算题除了体积，空间几何体的表面积也是一个重要的属性。
计算表面积也是我们经常遇到的题型之一。
例如，有一个长方体，长为5cm，宽为3cm，高为4cm，求其表面积。
解题思路：长方体的表面积计算公式是2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)。
所以，这个题目中长方体的表面积就是2 × (5cm × 3cm + 5cm × 4cm + 3cm × 4cm) = 94cm²。
通过这个例子，我们可以看到，计算表面积的关键是找到正确的计算公式，并将给定的数据代入公式进行计算。
三、相似性题相似性是空间几何体中一个重要的概念，也是解决一些题目的关键。
例如，有两个立方体，它们的体积比为8：27，求它们边长的比。
解题思路：首先，我们知道，两个立方体的体积比等于它们边长的比的立方。
所以，这个题目中，设立方体1的边长为x，立方体2的边长为y，则有x³/y³ = 8/27。
进一步化简，我们可以得到x/y = 2/3。
通过这个例子，我们可以看到，解决相似性题的关键是找到体积比与边长比的关系，并通过化简等方法求解。
2022复习立体几何----空间几何体及其表面积与体积(学
空间几何体的表面积和体积知识梳理1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.3.正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.()2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.32cm3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.4.(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.24πC.36πD.144π5.(2020·全国Ⅲ卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.6＋42B.4＋42C.6＋23D.4＋236.(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__________.考点一空间几何体的表面积与侧面积1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6＋ 3B.6＋23C.12＋ 3D.12＋233.(2021·成都诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是()A.23π B.324πC.223π D.22π考点二空间几何体的体积角度1简单几何体的体积【例1】(1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A.158B.162C.182D.324(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.【训练1】(1)(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.角度2不规则几何体的体积【例2】如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.【训练2】(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.73 B.143C.3D.6考点三多面体与球的切、接问题【例3】(经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.【迁移】本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？【训练3】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.(2)(2021·济南质检)已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，P A＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝22，点D是PB的中点，且CD＝7，则球O的表面积为()A.28π3 B.14π3C.2821π27 D.16π3空间几何体的实际应用“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念，既有利于培养考生的探究意识和创新精神，又能够很好地提升考生的数学综合素养，因而成为高考试卷中的一道亮丽的风景线.如全国Ⅲ卷第16题是以学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型为背景创设的与空间几何体的体积有关的问题.考查运用空间几何求解实际问题的能力.【典例】(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.【训练】(2021·潍坊联考)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()A.32π3，4 B.9π2，3C.6π，4D.32π3，3A级基础巩固一、选择题1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.32 3πC.8πD.4π2.(2021·郑州调研)现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为()A.3πB.3π2C.5π2 D.5π3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A.3B.3 2C.1D.3 24.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B.210C.132D.3105.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π46.(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) A. 3 B.32 C.1 D.327.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为98π，则它的表面积是( )A.92πB.9πC.454πD.544π8.(2021·安庆调研)已知在四面体P ABC 中，P A ＝4，BC ＝26，PB ＝PC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P ABC 的外接球的表面积是( ) A.160π B.128π C.40π D.32π二、填空题9.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________.10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为________.12.(2021·太原质检)已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形，且面积为43，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为________.B级能力提升13.(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π14.已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，则四面体ABCD的体积为________.15.(2021·贵阳调研)如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB＝3，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，AB⊥CD，CD＝22，则该球的体积为________.16.(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为______.。
精英数学 之 立体几何、解析几何篇(必修2)第1讲 空间几何体---Pdf
【例 11】一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比。
【例 12】求侧棱长和底面边长都为 1 的正三棱柱的体积。
斜二测画法规则： （1）建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立直角坐标系； （2）画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 O’X’,O’Y’,使 ∠X 'O'Y ' =450（或 1350）， 它们确定的平面表示水平平面； （3）画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X‘轴，且长度保持不 变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y‘轴，且长度变为原来的一半；擦去辅 助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 3、三视图 （1）正投影及其性质 （2）三视图： 正视图：光线从几何体的前面向后面的正投影； 侧视图：光线从几何体的左侧面向右面侧的正投影； 俯视图：光线从几何体的上底面向下底面的正投影。 （3）结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下） 三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果。→ 正视图、侧视图、俯视图。
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（4）三视图中反映出的位置关系和数量关系 正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 一般俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右边，高度和主视图一
高考数学第七篇立体几何第1节空间几何体的结构、三视图和直观图理高三数学
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.
2.正方体的内切球直径等于其棱长;长方体的外接球直径等于其体对角线长.
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3.斜二测画法(huà fǎ)中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变， “三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，
解析:当用过高线的平面截圆柱(yuánzhù)和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满足
任意截面都是圆面.
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3.(教材改编题)如图,直观图所表示的平面图形是( )
D
(A)正三角形(zhènɡ sān jiǎo xínɡ)
(C)钝角三角形 (D)直角三角形
(B)锐角三角形
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2.旋转体的形成(xíngchéng)
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
旋转图形 矩形
直角三角形 直角梯形 半圆
旋转轴
矩形(jǔxíng) 一一直边(yīzhí) 角边
所在的直线 所在的直线
直角腰 所在的直线
直径 所在的直线
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第1节 空间(kōngjiān)几何体的结构、三视图和直观图
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第三页，共三十九页。
[考纲展示(zhǎnshì)]
简易组合)的三视图,能识别上述三
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体 视图所表示的立体模型,会用斜二测
的结构特征,并能运用这些特征描述现 画法画出它们的直观图.
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RJ·A版·数学 新课标高考总复习（理）
问题探究2：空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区 别？
提示：观察直角：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的 图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形.
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自主检测
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何
例2 (2011年高考课标卷)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视 图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
【解析】 当几何体是半个圆锥和半个棱锥的组合体时，其侧视 图为D.
【答案】 D
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(2011年浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 直观图可以是( )
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解析：A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构 成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．
B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋 转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．
C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边 长．
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用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图与直观图中的 “三变、三不变”：
“三变”坐 与标y轴轴平的行夹线角段改的变长，度改变减半， 图形改变.
“三不变”平 与行x轴性平不行变的，线段长度不变， 相对位置不变.
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考纲要求
考情分析
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合
体的结构特征，并能运用这些特征描 三视图是新课标新增的内
述现实生活中简单物体的结构．
容，是一个知识交汇的载体
2．能画出简单空间图形(长方体、球 ，因而是高考的重点内容之
D正确．
答案：D
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考点2 几何体的三视图 画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注 意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视 图想象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几 何体之间的关系．
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下列结论正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱 锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知， 该几何体的三视图不可能是圆和正方形． 答案：B
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3．一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．底面是正方形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直 D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 解析：根据正四棱柱的结构特征加以判断． 答案：C
如右图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
答案：C
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易错点 因对三视图理解不到位致错
(对应学生用书P147)
已知四棱锥P－ABCD水平放置如图，且底面ABCD是边长为2cm的 正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB.试画出该几何体的三视图．
【错解】
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直 观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且 直 使∠x′O′y′＝45°(或135°)，已知图形中平行于x轴的线段， 观 在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来 图 的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应 的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段， 在直观图中仍平行于z′轴且长度不变.
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2．三视图 从近几年的高考情况来看，空间几何体的三视图题目类型主要有 识图，将三视图还原为实物图后再做一些计算等，直接画三视图的题目 很少见；常用的图形载体是柱、锥、台、球以及它们的组合，所以必须 掌握其一般的作图规则．
2．对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点
的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线
段确定端点在直观图中的位置．
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例3 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ ABC的面积．
【解】 如图所示，(1)为直观图，(2)为实际图形，取B′C′所在直 线为x′轴，过B′C′的中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′ x′交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′交x′轴于M′点．
答案：B
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6．(2011年安徽省新安中学、望江三中联考)下图是某几何体的直 观图，其三视图正确的是( )
解析：观察可得此几何体的三视图． 答案：A
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(对应学生用书P146) 考点1 几何体的结构及定义 1.几种特殊的四棱柱 平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊的四棱 柱，要特别注意． (1)直四棱柱不一定是直平行六面体． (2)正四棱柱不一定是正方体． (3)长方体不一定是正四棱柱．
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（理）
4．(2010年北京高考)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体 的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 ()
解析：由几何体的正视图、侧视图，结合题意，可知选C. 答案：C
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5．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：还原为原来的图形即：
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【错因分析】 本题忽略了三视图的形成过程．虽然三个图的形 状画对了，但是侧视图的直角顶点画错了．
【正确解答】 该几何体的三视图如下：
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(1) 三 视 图 是 新 课 标 中 新 增 的 内 容 ， 要 求 是 能 画 ， 能 识 别 ， 能 应 用．经常与立体几何中有关的计算问题融合在一起考查，如面积、体积 的计算，考查学生的空间想象能力，因此我们应对常见的简单几何体的 三视图有所理解，能够进行识别和判断．(2)注意三视图的特点：“正、 侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”．(3)空间想象能力与多观察 实物相结合是解决此类问题的关键．
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2．几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形 时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)． (2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面 中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体． (3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱．
提示：不一定成立． 如图所示几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不 满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，故它不是棱柱．
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2．三视图与直观图
三 空间几何体的三视图是用正投影得到的，这种投影下与投影 视 面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完 图 全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．
、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的 一．但新课标对这部分内容
三视图，能识别上述的三视图所表示 的要求较低，常以选择填空
的立体模型，会用斜二测画法画出它 题形式出现，有时作为解答
们的直观图．
题的背景出现．与立体几何
3．会用平行投影与中心投影两种方 中有关的证明计算问题融合
法画出简单空间图形的三视图与直观 在一起考查.
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到． 旋 (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到． 转 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线 体 旋转得到，也可由平行于棱锥底面的平面截圆锥得到．
(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.
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问题探究1：由棱柱的结构特征可知：棱柱有两个面互相平行，其 余各面都是平行四边形，反过来，成立吗？
图， 了解空间图形的不同表示形式.
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(对应学生用书P145)
知识梳理
1．空间几何体的结构特征
多 面 体
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形． (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是 相似多边形．
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已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)， 可得这个几何体的体积是( )
1 A.2
cm3
1 C.6
cm3
1 B.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱcm3
1 D.12
cm3
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解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面一边长为1， 此边上的高为1，三棱锥的高为1，