立体几何--空间几何体的表面积与体积

第2讲空间几何体的表面积与体积

考点

考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．

【复习指导】

本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．

基础梳理

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积体积

圆柱S

侧

＝2πrh V＝Sh＝πr2h

圆锥S

侧＝πrl

V＝

1

3Sh＝

1

3πr

2h＝

1

3

πr2l2－r2

圆台S

侧＝π(r1＋r2)l

V＝

1

3(S上＋S下＋S上S下)h＝

1

3π(r

2

1

＋r22＋r1r2)h

直棱柱S

侧

＝Ch V＝Sh

正棱锥S

侧＝

1

2Ch′V＝

1

3Sh

正棱台S

侧＝

1

2(C＋C′)h′V＝

1

3(S上＋S下＋S上S下)h

球S

球面＝4πR2V＝

4

3πR

3

2.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

两种方法

(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．

(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()．

A．4πS B．2πS

C．πS D.23 3πS

解析设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝S π，

又h＝2πr＝2πS，∴S圆柱侧＝(2πS)2＝4πS.

答案 A

2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()．

A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2

解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为(2a)2＋a2＋a2＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝6a.∴S球＝4πR2＝6πa2.

答案 B

3．(2011·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是

( )．

A ．8

B ．6 2

C ．10

D ．8 2

解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C. 答案 C 4．(2011·湖南)设

右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )． A.92π＋12 B.9

2π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18

解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9

2π＋18.

答案 B

5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 解析 V ＝4π

3R 3＝43π，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝4π·3＝12π. 答案 12π

考向一几何体的表面积

【例1】►(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

()．

A．48 B．32＋817

C．48＋817 D．80

[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．

解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817.

答案 C

以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

【训练1】若一

个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()．

A. 3 B．2

C．2 3 D．6

解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.

答案 D

考向二几何体的体积

【例2】►(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()．

A．18 3 B．12 3 C．9 3 D．6 3

[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．

解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V＝3×3×3＝9 3.

答案 C

以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．【训练2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()．

A.28

3π B.

16

3π

C.4

3π＋8 D．12 π

解析由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋

4

3π＝28 3π.

答案 A

考向三几何体的展开与折叠