电磁感应中的单双杆模型

电磁感应中的单双杆问题

一、单杆问题

（一）与动力学相结合的问题

1、水平放置的光滑金属轨道上静止一根质量为m的金属棒MN，电阻为R，左端连接一电动势为E，内阻为r的电源，其他部分及连接处电阻不计，试求：金属棒在轨道上的最大速度

2、水平放置的光滑金属轨道上静止一根质量为m的金属棒MN，

电阻为R，左端连接一电阻为R，MN在恒力F的作用下从静止开始运动，其他部分及连接处电阻不计，试求：金属棒在轨道上的最大速度

3、金属导轨左端接电容器，电容为C，轨道上静止一长度为L的金属棒cd，

整个装置处于垂直纸面磁感应强度为B的匀强磁场当中，现在给金属棒一初

速度v，试求金属棒的最大速度

（二）与能量相结合的题型

1、倾斜轨道与水平面夹角为 ，整个装置处于与轨道相垂直的匀强磁场当中，导轨顶端连

有一电阻R，金属杆的电阻也为R其他电阻可忽略，让金属杆由静止释放，经过一段时V，且在此过程中电阻上生成的热量为Q。

间后达到最大速度

m

求：（1）金属杆达到最大速度时安培力的大小

（2）磁感应强度B为多少

（3）求从静止开始到达到最大速度杆下落的高度

2．（20分）

如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R1、粗细均匀的

光滑半圆形金属环，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑

金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R2，已知R1＝12R，R2＝

4R。在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B。现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，两平行轨道中够长。已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v1，下落到MN处的速度大小为v2。

（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小。

（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和II之间的距离h和R2上的电功率P2。

（3）当导体棒进入磁场II时，施加一竖直向上的恒定外力F=mg的作用，求导体棒ab 从开始进入磁场II到停止运动所通过的距离和电阻R2上所产生的热量。

二、双杆问题

（一）、同一磁场中的等宽轨道

1、水平放置的光滑金属轨道上静止两根质量为m的金属棒MN、PQ。电阻均为R，现给PQ一个向右的初速度v，其他部分及连接处电阻不计，试求：（1）金属棒MN在轨道上的最大速度（2）回路中产生的最大热量

（二）、同一磁场不等宽轨道

如图所示，光滑、足够长、不计电阻、轨道处在磁感应强度为B的匀强磁场当中，间距左边为l，右边为2l的平行金属导轨上静止M、N两根同样粗细的同种金属棒，除金属棒上电阻为R、2R外，其他电阻均不计。现给N棒一根瞬时冲量I

（1）求金属棒N受到冲量后的瞬间通过金属导轨的感应电流

（2）设金属棒N在运动到宽轨道前M已经达到最大速度，求金属棒M的最大速度值；（3）金属棒N进入Ⅱ宽轨道区后，金属棒MN再次达到匀速运动状态，。求整个过程中金属棒MN中产生的总焦耳热。

（三）、不同磁场区域的平行轨道

1、（20分）如图13所示，光滑、足够长、不计电阻、轨道间距为l的平行金属导轨MN、PQ，水平放在竖直向下的磁感应强度不同的两个相邻的匀强磁场中，左半部分为Ι匀强磁场区，磁感应强度为B1；右半部分为Ⅱ匀强磁场区，磁感应强度为B2，且B1=2B2。在Ι匀强磁场区的左边界垂直于导轨放置一质量为m、电阻为R1的金属棒a，在Ι匀强磁场区的某一位置，垂直于导轨放置另一质量也为m、电阻为R2的金属棒b。开始时b静止，给a 一个向右冲量I后a、b开始运动。设运动过程中，两金属棒总是与导轨垂直。

（1）求金属棒a受到冲量后的瞬间通过金属导轨的感应电流；

（2）设金属棒b在运动到Ι匀强磁场区的右边界前已经达到最大速度，求金属棒b在Ι匀强磁场区中的最大速度值；

（3）金属棒b 进入Ⅱ匀强磁场区后，金属棒b 再次达到匀速运动状态，设这时金属棒a 仍然在Ι匀强磁场区中。求金属棒b 进入Ⅱ匀强磁场区后的运动过程中金属棒a 、b 中产生的总焦耳热。

练习

1、如图所示，固定于水平绝缘平面上的粗糙平行金属导轨，垂直于导轨平面有一匀强磁场。质量为m 的金属棒cd 垂直放在导轨上，除电阻R 和金属棒cd 的电阻r 外，其余电阻不计；现用水平恒力F 作用于金属棒cd 上，由静止开始运动的过程中，下列说法正确的是：

A 、水平恒力F 对cd 棒做的功等于电路中产生的电能

B 、只有在cd 棒做匀速运动时， F 对cd 棒做的功才等于电路中产生的电能

C 、无论cd 棒做何种运动， 它克服安培力所做的功一定等于电路中产生

的电能

D 、R 两端的电压始终等于cd 棒中的感应电动势的值

2、画出下列图中导体棒的速度图像

3、（18分）如图所示，两根足够长的光滑金属导轨MN 、PQ 间距为l =，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒的质量均为，电阻

均为R =Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁

感应强度为B =，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨

向上匀速运动，而棒cd 恰好能保持静止。取g =10m/s 2，问：

（1）通过cd 棒的电流I 是多少，方向如何

（2）棒ab 受到的力F 多大

（3）棒cd 每产生Q =的热量，力F 做的功W 是多少

图13 B 1 B 2 I a b P Q M N ⅡΙ

4、如图所示,在水平台面上铺设两条很长但电阻可忽略的平行导轨MN和PQ,导轨间宽度L= m.水平部分是粗糙的,置于匀强磁场中,磁感应强度B= T,方向竖直向上.倾斜部分是光滑的,该处没有磁场.直导线a和b可在导轨上滑动,质量均为m= kg,电阻均为R=Ω.b放在水平导轨上,a置于斜导轨上高h= m处,无初速释放.设在运动过程中a、b间距离足够远,且始终与导轨MN、PQ接触并垂直,回路感应电流的磁场可忽略不计.求:

（1）由导线和导轨组成回路的感应电流最大值是多少

（2）如果导线与水平导轨间的动摩擦因数μ=,当导线b的速

度达到最大值时,导线a的加速度多大

（3）如果导线与水平导轨间光滑,回路中产生多少焦耳热

5、.如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场I，右端有另一磁场II，其宽度也为d，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B。有两根质量均为m、电阻均为R的金属棒a 和b与导轨垂直放置，b棒置于磁场II中点C、D处，导轨除C、D两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a棒从弯曲导轨某处由静止释放。当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成∆∝∆。

正比，即v x

（1）若a棒释放的高度大于h0，则a棒进入磁场I时会使b棒运动，判断b 棒的运动方向并求出h0。

（2）若将a棒从高度小于h0的某处释放，使其以速度v0进入磁场I，结果a棒以v0/2的速度从磁场I中穿出，求在a棒穿过磁场I过程中通过b棒的电量q和两棒即将相碰时b 棒上的电功率P b。

（3）若将a棒从高度大于h0的某处释放，使其以速度v1进入磁场I，经过时间t1后a 棒从磁场I穿出时的速度大小为2v1/3，求此时b棒的速度大小，在如图坐标中大致画出t1时间内两棒的速度大小随时间的变化图像，并求出此时b棒的位置。