逻辑函数的卡诺图化简法

卡诺图

3.3.1 卡诺图化简的基本原理（略）

3.3.2 逻辑函数的标准式—最小项

1. 最小项的定义

先看一个有三变量的真值表:

三变量的真值表

A B C 三变量与因式最小项编号

0 0 0 ABC m0

0 0 1 ABC m1

0 1 0 ABC m2

0 1 1 ABC m3

1 0 0 ABC m4

1 0 1 ABC m5

1 1 0 ABC m6

1 1 1 ABC m7

对于n个变量，有2n个可能的取值，全部变量的“与”项，称为最小项。

观察表中，在一个最小项中，每个变量只能以原变量或反变量出现一次。

举例：

下列三变量乘积项中，哪些是最小项，哪些是一般项？

ABCA A（B+C） AB ABC ABC

一个变量有21=2个最小项, A, A

二个变量有22=4个最小项, AB，AB，AB，AB。

n个有2n个最小项。

2.最小项的性质（看表）

（1）对于任意一个最小项，只有一组取值使得它的值为1，而在其他各组值时，这个最小项的值都是0（纵向看）

（2）不同的最小项，使它为1的那一组变量取值也不同。

（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。

（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。（横向看）

(2)真值表法

A B C A B C BC AC F

0 0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 1

1 0 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 1

写逻辑表达式

F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC

（根据最小项性质：逻辑函数，对于任意一个最小项，只有一组变量的取值使其为1，而其他组取值为0。）。

1 1 1 0 1 0 1

3.3.3 卡诺图的结构

卡诺图是用方格中填有最小项的图形来表示逻辑函数。

（1）一变量的卡诺图

（2）二变量的卡诺图

（3）三变量的卡诺图

关于卡诺图的说明：

1。卡诺图是真值表的一种特殊形式。它的构成有两个特点：

（1）将真值表的变量分为两组，构成两维图表。第一组变量的所有组合安排在最上行（列变量），第二组变量的所有组合安排在最左列（行变量）。行列交叉处的小方格即是该行、列变量组合对应的最小项。

（2）行、列排列的顺序应按循环码排列，这样，可以保证各相邻项行（列）之间只有一个变量取值不同。

（4）四变量的卡诺图

（5）五变量的卡诺图

由卡诺图可看出：凡是几何位置相邻，其对应的最小项均是逻辑相邻项。

3.3.4 逻辑函数的卡诺图表示法

例21 将F=BC+CD+BCD+ACD+ABCD

用卡诺图表示。

逐项用卡诺图表示

第一项 B C 在B=1，C=0所对应的方格填入1，而不管A、D取何值。得m1,

m3 , m5 , m7

第二项CD，在C=1，D=0所对应的主格内填入1，而不管AB取值。依此类推。

3.3.5 相邻最小项合并规律

1. 两相邻项可合并为一项，消去一个取值不同的变量，保留相同变量。

2. 相邻项是封闭的。

图3—8相邻最小项合并规律

（a）图(b) (c) (d)

相邻项：

ABCD与ABCD可消去一个互为相反的变量；

ABCD与ABCD可消去一个互为相反的变量。

由B图写出相邻项

由C图写出相邻项表达式

由D图写出相邻项表达式

3.3.6 与或逻辑化简

运用最小项标准式，在卡诺图上进行逻辑函数化简，得到的基本形式是与或逻辑。化简步骤如下：

1. 将原始函数用卡诺图表示;

2.根据最小项合并规律画卡诺图圈,圈住全部“1”方格;

3.将上述全部卡诺图圈的结果,“或”起来即得化简后的新函数;

4.由逻辑门电路组成逻辑电路图。

1. 卡诺圈越大，经化简消去的变量越多，结果越简单。

2. 每个卡诺圈应至少有一个“1”方格未被别的卡诺圈圈过。

画出逻辑图　

例：用圈0的办法化简逻辑函数先求反函数，化简后再求原函数。

3.3.7 其它逻辑形式的化简(省略)

3.3.8 无关项及无关项的应用

无关项的概念

又称任意项，不决定函数的值的最小项。

对应变量的每一组取值都有定义，函数F有确定的值。这类问题称为完全描述问题。

在实际的逻辑问题中，变量的某些取值组合不允许出现，或者变量之间具有一定的制约关系，而与另一些最小项无关。这类问题称为非完全描述。

与任意项对应的逻辑函数值既可以看成1，也可以看成0。因此在卡诺图或真值表中，任意项常用φ或d或×来表示；在函数表达式中常用φ或d来表示任意项。如：

F(A,B,C)=∑m(0,1,5,7)+∑d(4,6)

化简具有任意项的逻辑函数的步骤是：

①画出函数对应的卡诺图，任意项对应的小方格填上φ或d或×。

②按2的整数次幂为一组构成卡诺圈，如果任意项方格为1时可以圈得更大，则将任意项当作1来处理，否则当0处理。未被圈过的任意项一律当作0处理。

③写出化简的表达式。

例29 化简F=∑（5，6，7，8，9）+