北师大版数学高一-2.4素材 巧用定比分点公式解题
比的应用北师大版说课稿
比的应用北师大版说课稿比的应用北师大版说课稿（精选篇1）北师大版小学数学六年级（上册）第四单元第54页“比的应用”。
这部分教学内容是在学生已经掌握了比的意义和比的化简的基础上展开学习的，属于按比例分配的内容，但教材并没有给出这个名称，目的有两个，一是由于按比例分配的问题有一定的解题方法，易把解决问题变成套用方法。
二是如果引入，学生易问什么是比例？，这样，在学生刚引入比的概念时，又要去区分比例是什么？而忽视了比的概念，因此，教学时，要充分发挥学生的想象，从多角度思考，用比的意义来解决实际问题。
1、能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题。
2、进一步体会比的意义，感受比在生活中的广泛应用，提高解决问题的能力。
3、培养学生数学学习的兴趣。
1、理解按一定比例来分配一个数量的意义。
2、根据题中所给的比，掌握各部分量占总数量的几分之几，能熟练地用乘法求各部分量。
教师是学生学习活动的组织者，引导者，合作者，所以，在教学中，我采用引导式教学，让学生独立思考，自主探究，合作交流，充分发挥学生的学习主体作用。
为了使学生更好的在学习中探究，我要求学生课前准备圆片若干个。
一、创设情境，生成问题1、课件出示课本主题图：幼儿园大班30人，小班20人，把这些橘子分给大班和小班，怎么分合理？2、请同学们想一想：你认为怎么分合理？说一说你的分法。
通过汇报交流确定按两个班的人数比，也就是3：2分配比较合理。
（设计意图）能激发学生学习数学的兴趣，最需要的是从现实出发，从身边找数学问题，也就是说：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战的。
”利用给人数不同的两个班分橘子，怎样分合理，来引入比的知识，这种贴近学生生活又有一定挑战性的实际问题，不仅能调动学生学习的积极性，还能培养学生解决实际问题的能力。
并且这种学生熟悉的生活素材放入问题中，能使学生真正体会数学不是枯燥无味的，数学就在身边。
二、探究交流，解决问题这个环节是本节课的重点，为了体现学生是学习的主人，这部分内容我设计了两个层次的教学：第一层是明确如何按3：2分配。
高一数学知识点总结大全（最新版）
高一数学知识点总结大全(最新版)要想学好数学，大量做题是必可避免的，熟练地掌握各种题型，这样才能有效的提高数学成绩。
今天小编在这给大家整理了高一数学知识点总结大全(最新版)，接下来随着小编一起来看看吧!高一数学知识点总结第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数——阅读与思考三角形与天文学1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图像与性质——探究与发现函数y=Asin(ωX+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用利用正切线画函数y=tanX,X∈(—2π，2π )的图像1.5函数y=Asin(ωX+φ)的图像——阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念——阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例——阅读与思考向量的运算(运算律)与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式——信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2简单的三角恒等变换复习参考题1.正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。
按边旋转的方向分零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
角负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。
的第一象限角{α|k2360°<α<90°+k2360°,k∈Z}分第二象限角{α|90°+k2360°<α<180°+k2360°,k∈Z}类第三象限角{α|180°+k2360°<α<270°+k2360°,k∈Z}第四象限角{α|270°+k2360°<α<360°+k2360°,k∈Z}或{α|-90°+k2360°<α<k2360°,k∈z}(象间角):当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限.2.终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合s={β|β=α+k2360°,k∈z}即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和。
第二单元-比例(考点聚焦 重点速记 学以致用)六年级数学下册(北师大版)
第二单元比例（考点聚焦+重点速记+学以致用）知识点一：比例的认识应用1、意义:表示两个比相等的式子，叫作比例。
比例表示两个比相等的关系，是一股额等式。
2、比例的基本性质。
（1）认识比例的项。
在比例里，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
（2）比例的基本性质。
在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
3、判断两个比能否组成比例。
4、解比例。
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项，叫作解比例。
解比例的方法：（1）根据比例的基本性质把比例转化成乘法等式，即一般方程；（2）解方程求出未知项的值；（3）把求出的结果代入比例中验算一下，看比例是否成立。
5、比例的应用。
根据比例的意义和基本性质，设未知数、解比例、解决实际问题。
知识点二：比例尺1、意义。
一副图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，因此不能带有计量单位。
2、比例尺的应用。
（1）应用比例尺画图时，要先根据比例尺求出图上距离，再根据图上距离画图；（2）图上距离∶实际距离=比例尺。
（3）实际距离=图上距离÷比例尺。
（4）图上距离=实际距离×比例尺。
3、比例尺的分类。
比例尺根据表现形式的不同，可分为线段比例尺和数值比例尺；根据世纪距离是缩小还是方法，还可分为缩小比例尺和放大比例尺。
知识点三：图形的放大和缩小1、图形的放大和缩小是生活中常见的现象。
保持图形原来的形状不变，和原图相比，图形变大了，叫做图形的放大；保持图形原来的形状不变，和原图相比，图形变小了，叫做图形的缩小。
2、图形的放大与缩小的意义。
（1）使图形按一定的比变大，叫作图形的放大。
（2）使图形按一定的比变小，叫作图形的缩小。
（3）把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。
3、图形放大或缩小的方格。
在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步；一看：看原图形每边各占几格；二算：计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画：按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
定比分点公式的运用及类比推理
1 x2 P2 ( 2
＋0) ,且
P1 P PP2
，
则 f(x)=
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
巧用平面向量解立体几何问题
=1+12(2cos60°cos40°)-12(cos40°-cos120°)=1+12cos40°-12cos40°+12cos120°=1-14=34.四、其它转化在求值问题中,除了重组角度转化之外,还应重视三角函数名,结构等方面的转化,如:①切割化弦;②降幂转化来计算.例6 求tan20°+4sin20°的值.分析:对此类问题一般先将切化弦:tan20°+4sin20°=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+4sin20°cos20°cos20°由于题目中出现了20°与40°的角,其和为60°的特殊角,这样就为转化带来了空间,而且方法不是唯一的.变式1 tan20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin(60°-40°)+sin40°cos20°=sin60°cos40°-cos60°sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°-12sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°+32sin40°cos20°=3(12cos40°+32sin40°)cos20°=3sin70°cos20°=3.变式2 tan20°+4sin20°=sin20°+2sin(60°-20°)cos20°=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.以上几种形式的转化求值问题,只是在三角函数教学中比较普遍存在的转化思想的体现,在很多的具体求值中,还有些异于上述的其它方法.但任何问题的解决都是将未知转化为已知的过程,在三角函数求值中体现得更为突出.在教学中应提炼出来,以便于学生共享.黑龙江省农垦总局哈尔滨分局高级中学(150088)●韩晓辉巧用平面向量解立体几何问题 平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1 如图1,AB、CD为异面直线,CD<平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证MN∥平面α证明因为D<平面α,B∥平面α且··数理化学习(高中版)©:.:C A12AB 、CD 异面,所以在α内存在�a 、�b 使AB =�a ,CD =�b ,且�a 、�b 不共线,由M 、N 分别是AC 、BD 的中点,得MN =12(MB +MD )=12[(MA +AB )+(MC +CD )]=12[(MA +AB )+(MC +C D )]=12[-M C +AB +MC +CD ]=12[AB +CD ]=12(�a +�b ),即MN 与�a 、�b 共面.又因为�a 、�b 在平面α内,故MN ∥平面α或MN <平面α,而若MN <平面α,则A B 、C D 同在平面α内,与AB 、CD 为异面直线矛盾,所以MN ∥平面α.例2 正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ,AC 的中点为M.求证:A O 、BO 、CO 两两垂直.证明:设V A =�a,V �b =�b ,VC =�c ,正四面体棱长为m,则VD =13(�a +�b +�c ),A O =16(�b +�c -5�a ),BO =16(�a +�c -5�b ),CO =16(�a +�b -5�c ).因为AO ·BO =136(�b +�c -5�a )·(�a +�c -5�b )=0,所以AO ⊥BO,即AO ⊥BO,同理,AO ⊥CO ,BO ⊥C O.例3 如图3,在三棱锥S -A BC 中,∠S AB =∠S AC =∠AC B =90°,AC =2,SA =23,BC =13,S B =29.证明:(1)SC ⊥BC;(2)求异面直线SC 与AB 所成角α的余弦值.解:(1)证明:由题意,S ·B =,·B =,所以S ·B =(S +)·B =S A ·CB +AC ·C B =0,即SC ⊥BC .(2)因为SC ·AB =(S A +AC)·(AC +C B )=S A ·AC +SA ·C B +AC ·AC +AC ·CB =0+0+|AC |2+0=|AC |2=4,|SC |=(23)2+22=4,|A B |=(13)2+22=17,所以cosα=SC ·AB |SC |·|AB |=4417=1717.例4 如图3,已知平行六面体ABC D -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,且∠C 1CB =∠C 1C D=∠BC D =60°.(1)证明:C 1C ⊥BD ;(2)当CDCC 1的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD 请给予证明.证明:(1)取C D 、CB 、CC 1为空间的一个基.因为∠C 1CB =∠BC D =60°,ABCD 是棱形,所以|C D |=|CB |,又因为BD =C D -CB,所以CC 1·BD =CC 1·(C D -CB )=CC 1·CD -CC 1·C B =0.所以C 1C ⊥BD.(2)设CDCC 1=λ(λ>0),即|C D |=λ|CC 1|时,能使A 1C ⊥平面C 1BD.因为C 1D ∩BD =D ,所以A 1C ⊥平面C 1BD ΖA 1C ⊥C 1D 且A 1C ⊥BD ΖA 1C ·C 1D =0且A 1C ·BD =0.因为=(D +B +),D =D ,<B,D >=6°,<B ,>=6°,··数理化学习(高中版)©A C 0AC C 0C C A AC C A 1C -C C CC 1C 1C -CC 1C C 0C CC 1022|CD|=|CB|,所以A1C·C1D=-(|C D|2-CD·CC1+ CB·CD-CB·CC1+CC1·CD-|CC1|2)=-(λ2|CC1|2+12λ2|CC1|2-12λ|CC1|2-|CC1|2)=-(32λ2-12λ-1)|CC1|2.所以A1C·C1D=0Ζ32λ2-12λ-1=0Ζ(λ-1)(3λ+2)=0,因为λ>0,所以λ=1.经验证,当λ=1时,A1C·C1D=0.即当C DCC1=1时,能使A1C⊥平面C1BD.前面这些题目若采用传统的立体几何方法证明,大多数不可避免地需要添加“辅助线”,然后再分别证明线线平行(垂直)或面面平行(垂直),而这些证法与用平面向量法相比,显然难度是大的.因此,平面向量确实是处理立体几何问题的重要而又简便的方法.作为平面向量的主要技巧,是将相关量表示为基向量的形式,把问题转化为平面向量的运算,这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比,显然是更高的思维方式,它抓住了空间的主要特征和其内在规律,使“纷繁复杂的现象变得井然有序.”河北省乐亭县第一中学(063600)●张云飞线段定比分点的向量公式及应用例举(一) 线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式,它在中学数学中有较为广泛的应用,近几年的高考也时有涉及,如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用.同学们所熟悉的是定比分点的坐标公式,其实,除此以外,定比分点公式还有其向量形式.运用定比分点的向量形式解题有时显得更为简洁明快.一、线段的定比分点向量公式设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于、的任意一点,O 是平面内任意一点,设O P1=�a,O P2=�b,P分有向线段P1P2所成的比为λ,则有O P=�a+λ�b1+λ.证明:如图1,因为P1P=O P-�a,.PP2=�b-O P,P1P=λPP2,所以O P-�a=λ(�b-O P)所以O P=�a+λ�b1+λ①公式①就是线段的定比分点向量公式.二、应用例1 在△ABC中,已知D是BC的中点, E是AD的中点,直线B E交AC于F,求证:CF =2FA.证明如图,在△B中,设BD=�,B=�,·3·数理化学习(高中版)©P1P2:2A Ca A b2。
巧用定比分点公式解题
定比公点公式除了用来求定比分点坐标和点分线段的比外，还有很多巧妙的应用，了解这些应用可以进一步拓宽思维空间，有助于发散思维能力的培养．
一．判断直线或曲线与线段相交问题
例1．若l：kx－y－k＝0与以A(－3，2)，B(2，3)为端点的线段相交，求k的范围．
解 设l与AB交于点C，C分AB的比为λ，则λ≥0．由定比分点公式得C．代入l的方程并整理得．
解：由点(x，y)在直线x＋2y＝3上，且0＜x＜3，0＜y＜．设A(0，)，B(3，0)，M(x，y)为线段AB内任一点(不包含端点)，则M分AB的比为λ且λ＞0，
∴解得，再考虑端点得m∈[)．
二．解(证)不等式
例3．解不等式．
解：不等式可变为．－3，，3可看作数轴上的三点坐标．设点分－3和3的对应点的比为λ，则
，
∴x＜－2或x＞－1．
例3．求证：sin2θ≥0，8＋5sin2θ＞0，
∴λ≥0，即对应的点内分与3对应的点(或过端点)．
∴原不等式成立．
三．求函数的定义域，值域和最值
例5．求函数的定义域．
解：∵≥0，∴0＜．
．
∵λ≥0，∴＜x＜3．再考虑端点，有．
例6．求函数的值域．
解：令λ＝－，则λ≤0．而y＝．λ为数轴上y对应的点分1和－3所对应点的比，
∴，则，解得y＜－3或y≥1．
∴函数的值域为{y|y＜－3或y≥1}
例7．设x，y∈R＋，x＋y＝3，求的最小值．
由λ≥0，并考虑端点，得k≥3或k≤．
例2．设A(0，1)，B(2，3)，已知线段AB与抛物线y＝x2＋mx＋2有两个相异交点，求m的取值范围．
解：设抛物线与线段AB的交点为C，C分AB所成的比为λ，则λ≥0．由定比分点公式得C，代入抛物线方程并整理得(3＋2m)λ2＋2mλ＋1＝0．线段与抛物线有两个交点等价于该方程有相异非负实根，
相似三角形常考综合题精练(11大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
相似三角形常考综合题精练（11大题型）本讲目录链接题型01比例线段的应用题型02黄金分割题型03平行线分线段成比例定理题型04相似多边形的性质题型05相似三角形的性质与判定题型06相似三角形的实际应用题型07图形的位似题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定题型11相似三角形的综合问题题型01比例线段的应用1．定义一个运算()()1212121212,,,,0n n n n nx x x H x x x y y y y y y y y y +++=+++¹+++L L L L L ，下列说法正确的有（ ）个①()1,231H =；②若()()24,41,21H x H x ---=-，则=1x -或2；③()()()()22217511,212,413,6110,20264H H H H ++++=L ；④若()()()(),,,,,,,,H a b c d H b a c d H c a b d H d a b c ===，则1c d a b +=+．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知代数式x A y z =+，y B x z=+，z C x y =+，下列结论中，正确的个数是（ ）①若::1:2:3x y z =，则::2:5:10A B C =；②若A B C a ===，则一次函数1y ax =-的图像必过第一、三、四象限；③若x ，y ，z 均为正整数，且x y z <<，则A B C <<；④若1y =，2z =-，且x为方程21m =的一个实数根，则22182023y A B C +=+．A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，已知在ABC V 中，点D F 分别为边AB BC AC 、、上的点，且AE BF CD 、、相交于点G ，如果2014AG BG CG GE GF GD ++=，那么AG BG CG GE GF GD ××的值为 ．4．已知代数式x A y z =+，y B x z=+，z C x y =+，下列结论中，正确的个数是（ ）①若::1:2:3x y z =，则::2:5:10A B C =；②若()0A B C a a ===¹，则一次函数1y ax =-的图象必定经过第一、三、四象限；③若x ，y ，z 为正整数，且x y z <<，则A B C <<；④若1y =，2z =-，且x为方程21m =的一个实根，则2211A B +与82023C+的值相等；⑤若222x y zx yzxy yz zx z-+-=+++，222y z xy zxxy yz zx x-+-=+++()()()A AB B BC C C A-+-+-的值为28．A．1B．2C．3D．4题型02黄金分割5．我们把宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD()AB BC<中,ABCÐ的平分线交AD边于点E,EF BC^于点F,则下列结论错误的是（）A．AE DEAD AE=B．CF BFBF BC=C．AE BEBE BC=D．DE ABEF BC=6．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF BE=，以AF为边作正方形AFGH，则点H 即是线段AB的黄金分割点．若20AD=，记正方形AFGH的面积为1S，矩形BCIH的面积为2S，则1S与2S 的和为．7．如图①，点C把线段AB分成两部分()AC BC>，若AC BCAB AC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．类似的，可以定义“黄金分割线”：直线l把一个面积为S的图形分成面积为1S和2S的两部分12()S S>，如果121S SS S=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在ABC V 中，若点D 是线段AB 的黄金分割点()BD AD >，线段CD 所在直线是ABC V 的黄金分割线吗？为什么？(2)在（1）的条件下，如图③，过点C 作一条直线交BD 边于点E ，过点D 作DF EC ∥交ABC V 的一边于点F ，连接EF ，交CD 于点G ，回答问题．①CFG S V ______EDG S △（填“＞”“＜”或“=”）．②EF 是ABC V 的黄金分割线吗？为什么？8．（1）在图①中按下列步骤作图：第一步：过点C 画CD AC ^，使12CD AC =；第二步：连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E ；第三步：以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B ．（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？（3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC ．（不写作法，保留作图痕迹）9．请阅读下列材料，并完成相应的任务：公元前300著．黄金分割（goldensection ）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图①，在线段AD 上找一个点C ，C 把AD 分为AC 和CD 两段，其中AC 是较小的一段，如果::AC CD CD AD =，那么称线段AD 被C 点黄金分割，点C 叫做线段AD 的黄金分割点，AC 与CD 的比值叫做黄金分割数．为简单起见，设1,AD CD x ==，则1AC x =-．∵::AC CD CD AD =，∴……任务：(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设AB 是已知线段，过点B 作BD AB ^且使12BD AB =；②连接DA ，在DA 上截取DE DB =；③在AB 上截取AC AE =；则点C 即为线段AB 黄金分割点．你能说说其中的道理吗？(3)已知线段1AB =，点C ，D 是线段AB 上的两个黄金分割点，则线段CD 的长是 ．10．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：“如图 ，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC AB .”根据定义不难发现，在线段AB 另有一点D 把线段AB 分成两条线段AD 和BD ，满足BD AB ＝AD BD ，所以点D 也是线段AB 的黄金分割点．材料二：对于实数：a 1＜a 2＜a 3＜a 4，如果满足（a 3﹣a 1）2＝（a 4﹣a 3）（a 4﹣a 1），（a 4﹣a 2）2＝（a 2﹣a 1）（a 4﹣a 1）则称a 3为a 1，a 4的黄金数，a 2为a 1，a 4的白银数．请根据以上材料，回答下列问题（1）如图，若AB ＝4，点C 和点D 是线段AB 的黄金分割点，则AC ＝ ，CD ＝ ．（2）实数0＜a ＜b ＜1，且b 为0，1的黄金数，a 为0，1的白银数，求b ﹣a 的值．（3）实数k ＜n ＜m ＜t ，t ＝2|k |，m ，n 分别为k ，t 的黄金数和白银数，求m n 的值．11．根据以下素材，探索完成任务．题型03平行线分线段成比例定理12．如图，在正方形中，分别以点A 和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和ABCD B 12AB E，作直线，再以点A 为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ）AB ．CD13．如图是一张矩形纸片，点为AD 中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则．14．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：．15．如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．F EF AD EFG G ABCD DG BC K 2BK =ABCD 1521ABCD E F BC EF A B A ¢B ¢A E ¢BC G B A ¢¢C 23BF GC =AD AB =AB CD ∥AD CE F G AC FD G AB AD CD CE M N P Q 2PQ PN +=OPQ a Ð=A PQ A PO OPQ ÐB M PB C PM P M ，AC AC A 180a °-AD BD(1)①直接写出线段与之间的数量关系；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；(2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系．16．四边形的两条对角线，相交于点O ，．(1)如图1，已知．①求证：；②若，求的值；(2)如图2，若，，，求的值．题型04相似多边形的性质17．如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动AP AB BD BM MC DC AB PO E F ，M OP DC N CF CN NE ABCD AC BD 90BAD Ð=°AC CD =ACD BAC Ð=Ð225OC OA =OB OD 90BCD Ð=°AB AD =3CD BC =AC BDABCD AB 2=BC 6=E D DA 1A F B AB 3E到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ 的值为定值．上述结论中正确的个数为 （ ）个．A．B ．C ．D ．18．已知E、F 、G 、H 各点分别在四边形的、、、边上（如图）．(1)当时，求证：(2)当上述条件中比值为3，4，…，n 时（为自然数），那么与之比是多少？19．如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODEF ∽矩形ABCO ，其相似比为1：4，矩形ABCO 的边AB =4，BC （1）求矩形ODEF 的面积；（2）将图1中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连接EC 、EA ，ACE 的面积是否存在最大值或最小A E F BD E EH BD ^H EF BD G BC M CF CDE CBF V V ∽DBC EFC ÐÐ=DE HG AB EH=GH 1234ABCD AB BC CD DA 2AE BF CG DH EB FC GD HA ====59EFGH ABCDS S =四边形四边形n EFGH S 四边形ABCD S 四边形V值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．20，则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线．（1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度；（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠．如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由．ABCD EF BC^AD BC E F AE AB =EF ABCD ABCD 2AB = 3AD =ABCD MN M AD N BC AM GH ABCD（3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）．21．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，连接EG ，HF 交于点O ，易知分割成的四个四边形AEOH 、EBFO 、OFCG 、HOGD 均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）如图1中正方形ABCD 分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；（2）如图2，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC 也是“自相似图形”，他的思路是：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD 将△ABC 分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD ∽△ABC ，则△ACD 与△ABC 的相似比为________；（3）现有一个矩形ABCD 是自相似图形，其中长AD=a ，宽AB=b （a ＞b ）．请从下列A 、B 两题中任选一条作答．A ：①如图3﹣1，若将矩形ABCD 纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b 的式子表示）；ABCD 1AB =AD a =ABCD EF ABCD a=②如图3﹣2若将矩形ABCD 纵向分割成n 个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n ，b 的式子表示）；B ：①如图4﹣1，若将矩形ABCD 先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b 的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD 先纵向分割出m 个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m ，n ，b 的式子表示）．题型05相似三角形的性质与判定22．如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（ ）A ．的长B ．的长C ．的长D ．的长23．如图，，，，点E 在边上运动（不与端点重合），边始终过点A ，交于点G 是等腰三角形时，的面积是（ ）．A ．8或B ．8C．D ．6或 24．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边AB ，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ．Rt ABC △90ACB Ð=°AB ABDE EF BC ^F AD G BG BFG V AC BC BF FG ABC DEF ≌△△5AB AC ==6BC EF ==BC DE EF AC AEG AEG △625108625108625107ABCD EF BC G H 5GH =25．如图，在正方形中，为边上的两个三等分点，点关于的对称点为，的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的大小；(3)求证：．26．如图1，四边形是正方形，点E 在边的延长线上，点F 在边上，且，连接交于点P ，连接交于Q ，连接．(1)求证：；(2)连接，如图2，①若的长；②若，则 ．27．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略．如图①，在正方形中，E 、F 、G 分别是、、上的点，于点Q ．求证：．小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法：方法一：平移线段使点F 与点B 重合，构造全等三角形；ABCD E F ，AB A DE A ¢AA ¢BC G DE A F ¢∥GA B ¢Ð2A C A B ¢¢=ABCD BC AB AF CE =EF DC AC EF DE DF 、EQ FQ =BQ AQ DP ×=BQ FP FD =PE PQ=ABCD BC AB CD FG AE ^=AE FG FG方法二：平移线段使点B 与F 重合，构造全等三角形；【尝试应用】(1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明；(2)如图②，点E 、F 、G 、H 分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值；【拓展探究】(3)如图③，点E 、F 分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G ，若，求证：．28．如图，，，．(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；(2)如图2，若点E 落在边上，求证：；(3)如图3，若点H ，I ，J 分别为，AB ，AD 中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）．题型06相似三角形的实际应用29．将一本高为（即）的词典放入高（AB ）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD 中点．BC ABCD AB CD AD BC EF GH ^3AB =4BC =EF GHABCD AB AD CF DE 180B EGC Ð+Ð=°DE AD CF CD=90BAC AED ÐÐ==°AB AC =EA ED =BC 2222AD EF BF EF =+×BC IJ HE 17cm 17cm EF =16cm 8cm H H ¢（1）收纳盒的长 ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．30．【问题探究】（1）如图①，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点落在上，则的长为 ；（2）如图②，在矩形中，，，点是矩形的对称中心，点在边上，且，点是边上的动点，连接与，求的最大值；【问题解决】（3）有一块三角形草地，其示意图如图③所示，，，是一条小道（宽度不计），点是的中点，点在内，、两点之间的距离为，．市政府为丰富市民的业余生活，计划将部分草地改建，在、上分别找点、，在、处栽种梧桐树，，连接、，在．根据规划，现要沿线段修建一段文化长廊（宽度不计），为容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊的长度尽可能的长，当文化长廊的长最大时，请求出此时点的位置（即的长）．31．BC =Rt ABC △90BAC Ð=°4AB=AC =ABC V C DEC V A D BC BD ABCD 2AB =6AD =O ABCD E AD 2AE =F BC EF OF EF OF -ABC 24cm AB BC ==90ABC Ð=°DE D BC E ABC V B E 13cm DE BC ^BC BA M N M N BM BN =EM EN EP EM =PN PN PN NBN32．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜的焦距为f ，主光轴，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，，蜡烛（蜡烛可移动，EF l EF ^2OB OD f ==PQ l ^且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为h ，像高为，物距，像距为v ．(1)若，，， ．(2)求证．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？33．阅读理解：如图1，在△ABC 中，当DE ∥BC 时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE ∥BC ．理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．（1）如图2，已知矩形DEFG 是△ABC 的一个内接矩形，将矩形DEFG 沿CB 方向向左平移得矩形PBQH ，其中顶点D 、E 、F 、G 的对应点分别为P 、B 、Q 、H ，在图2中画出平移后的图形；（2）在（1）所得的图形中，连接CH 并延长交BP 的延长线于点R ，连接AR ．求证：AR ∥BC ；（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC 空地的边AB ＝400米，BC ＝600米，∠ABC ＝45°；准备在△ABC 内建一个内接矩形广场DEFG （点E 、F 在边BC 上，点D 、G 分别在边AB 和AC 上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG 的对角线EG 最短，请在备用图中画出使对角线EG 最短距离（不要求证明）．34．阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF BC ，可以得到以下结论：．OQ f >PG l ∥GC PP ¢P ¢P Q l ¢¢^()PQ ()P Q ¢¢h ¢()OQ ()OQ ¢10cm f =10cm h =15cm u ==v cm 111u v f+=()u f >AD AE DE AB AC BC ==AD AE BD CE =BD CE AB AC=//AH EF AD BC=拓展应用：(1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC 上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？35．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔（2）请求出丙树的高度．36．【问题背景】人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少?【提出问题】在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？【分析问题】小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题．【解决问题】为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究．如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上．请你完成下面两个问题：（1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小；（2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其ABC 120mm BC =80mm AD =BC AB AC，556cm cm cm ，，AB AC ，EFGH E H ，AB AC ，FG BC MNPQ M N ，AB BC ，PQ AC余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）．【学以致用】定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题：在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由．题型07图形的位似37．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A ，B ，C 三点是格点，点P 在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点B 与点C 重合，画出平移后的线段；再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；(2)在图（2）中，连接，将以C为位似中心缩小为原来的得到，画出；88´BC AB BC CD PC AC 180°GA GA AP APC △12EFC V EFC V(3)在图（3）中，在上画一点M ，在AB 上画一点N ，使得最小．38．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC 是一个格点三角形，点A 的坐标为（－2，2）．①△ABC 的面积为______；②在所给的方格纸中，请你以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图）③在（2）中，若P （a ，b ）为线段AC 上的任一点，则缩小后点P 的对应点P 1的坐标为______．（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．AC PM PN+①如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，作BC 的中点F ．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH ．39．如图①，在中，，，点D 是上一点，且．动点F 从点C 出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B 运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F 为直角顶点，且点E 与点B 位于线段两侧．设点F 的运动时间为t （秒）．AI(1)求线段的长度；(2)当点E 落在的中位线上时，求出t 的值：(3)连接，则线段的最小值是______．(4)如图②．以点B 为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t 的值．题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定40．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A 为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为Rt ABC △9AB =12BC =AB 2AD BD =CB DF DEFDF AC Rt ABC △CE CE DEF V D E F ¢¢¢△3DF D F ¢¢=E C ¢E C ¢Rt DEF △ABC V 465AB AC BC ===，，AB C ¢¢△ABC V A AB C ¢¢¢¢△B C ¢¢¢¢，B C 、B C ¢¢¢¢41．在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）．（1）发现问题：如图1，若，猜想：________；（2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，的长．42．综合与实践．问题情境：综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．实践操作：如图1，将等腰Rt △AEF 绕正方形ABCD 的顶点A 逆时针方向旋转，其中∠AEF ＝90，EA ＝EF ，连接CF ，点H 为CF 的中点，连接HD ，HE ，DE ，得到△DHE ．应用探究：（1）勤奋组：如图2，当点E 恰好落在正方形ABCD 的对角线AC 上时，判断△DHE 的形状，并说明理由；（2）善思组：如图3，当点E 恰好落在正方形ABCD 的边AB 上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；深入探究：（3）创新小组：ABCD O AC BD EPF ÐP O OE OF AB BC E F EF BC k AB =×k 1k =OE OF=1k ¹OE OF FO FC =k OD =EF发现若连接BE ，在旋转Rt △AEF 的过程中，为定值，请你直接写出其值 ．43．数学课上，有这样一道探究题．如图，已知中，AB =AC =m ，BC =n ，，点P 为平面内不与点A 、C 重合的任意一点，将线段CP 绕点P 顺时针旋转a ，得线段PD ，E 、F 分别是CB 、CD 的中点，设直线AP 与直线EF 相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m 、n 、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了时，如图1，求出了___________，___________；小红研究了时，如图2，求出了___________，___________；【类比探究】他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m 、n 的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．（2）求出时的值和的度数．BE CFABC V ()0180BAC a a Ð=°<<°EF AP b 60a =°EF PA =b =90a =°EF PA =b =EF PA EF PA =b =120a =°EF PAb44．在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究．(1)【问题初探】如图1，在中，点D 在边上，交于点E ．绕点A 逆时针旋转得到（点D 的对应点为点，点E 的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现．请你帮助他们证明这一发现．(2)【问题应用】如图3，中，，，，M ，N 分别为边与的中点．绕点C 旋转，点M 的对应点为点E ，点N F ，直线与直线交于点G ．①如图4，当点E 落在线段AF 上时，求证：；②当点A ，E ，F 三点在同一条直线上时，直接写出的长．(3)【问题拓展】如图5，在（2）条件下，连接，取中点K ，取中点H ，请直接写出的最大值为___________．题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定45．在边长为4的正方形中，E 是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A 落在点H 处，直线交于点F ，连接，，分别与AC 交于点P 、Q ，连接，．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为．ABC V AB DE BC ∥AC ADE V AD E ¢¢△D ¢E ¢BD ¢CE ¢ABD ¢△ACE ¢V ABD ACE ¢¢△∽△Rt ABC V 90ACB Ð=°6AC =8BC =AC BC CMN V EF BC 90BFE Ð=°BG AF AF EB HK ABCD AD ABE V BE EH CD BF BE BF PD PF =PB PD 2EFD FBC Ð=ÐPQ AP QC =+BPF △DHDH 446．如图，正方形的边长为6，点P 是边上的动点，将沿折叠得到，射线与边和射线的延长线交于F ，E 点．(1)如图①，若四边形是平行四边形，求证：；(2)如图②，当时，求的长；(3)如图③，当时，求的面积．47．如图①，在中，，动点D 从点C 出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A 从点A 出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B 运动．设点D 运动的时间是t 秒．过点D 作于点F ，连结．(1) ， ；（用含t 的代数式表示）(2)当四边形是菱形时，t 的值为 ；ABCD BC ABP V AP APB ¢V AB ¢DCBC APED DF EF =DF 2CF =BP FB CF ¢=DFE △Rt ABC △90159ABC AC AB Ð=°==，，CA AB ()03t <<DF BC ^DE EF、AE =AD =AEFD(3)当垂直于的一边时，求t 的值；(4)如图②，将沿翻折，点A 的对应点为点，直接写出点在外部时t 的取值范围．48．在矩形中，点E ，F 分别在边AD ，上，将矩形沿折叠，使点A 的对应点P 落在边CD 上，点B 的对应点为点G ，交于点H ．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当P 为CD 的中点，，时，求的长；(3)如图3，连接，当P ，H 分别为CD ，的中点时，探究与AB 的数量关系，并说明理由．49．（1）【动手操作】如图1，将正方形沿直线折叠，使点的对应点M 始终落在边上（点M 不与点A ，D 重合），点C 落在点N 处，与交于点P ，折痕分别与边，交于点，，连接．求证：；（2）【问题探究】在图1中，若正方形的边长为，当点运动到的中点时，求的长；（3）【拓展延伸】如图2，若把（1）【动手操作】中的正方形改成矩形，且，其中，其他条件不变，若，直接写出折痕的长度的取值范围是______．（用含m 的式子表示）题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定50．如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿AB 边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）．DE ABC V DEA △DE A ¢A ¢ABC V ABCD BC ABCD EF PGBC DEP CPH △∽△2AB =3AD =GH BG BC BG ABCD EF B AD MN CD AB CD E F BM BM EF=ABCD 3P CD MD ABCD ABCD AB mAD =1m ³2AD =EF ABCD 12AB =6BC =P A B 2Q DA D A 1t 06t ££。
定比分点公式参数_妙用
aq a +λ = ap+q= p ∴ 1+λ
即 ap+q=0。
q 1p
=0,
三、 求函数解析式 例3 已知二次函数 f 满足条件 : ( x)
(1)f ( -1) =0,
2
(2)对一切 x∈R ,恒有 x≤f ( x) ≤ 1+x 。
2
求f 的解析式。 ( x)
2 2
2 2 %& 上三点P1,P,P2的横坐标。 ,由定比分点公式可知 P分 P1P2所成比为 λ
2
解
由 x∈R 及 x≤f , 1+x 分别对应 x轴 ( x) ( x) ≤ 1+x ,可设数 x,f
x+λ1+x 2 。 f ( x) = 1+λ
2
-1) -1+λ1+( 2 。 f ( -1) = ∴ 1+λ ∵ f ( -1) =0,
52
解题技巧
伴你走进课堂
1+1 -1+λ 2 ∴ =0,λ =1。 1+λ
又 c=t a+( 1-t ) b, d=( 1-t ) a+t b, 比较可知 t =
1+2λ , 2( 1+λ ) 1+2λ 满足题设和结论。 2( 1+λ )
即存在实数 t ,且 t =
又 Q 在线段 M P上 (不包括 M 、 >0。 P),则 λ 由t =
2t -1 2t -1 1+2λ ,得 λ ,即 >0。 = ) ) ) 2( 1+λ 2( 1-t 2( 1-t 1 <t <1。 ’ 2
2
x+ 1+x 1 1 1 2 ∴ f ( x) = = x2+ x+ , 1+1 4 2 4
高一数学高中数学北师大版试题答案及解析
高一数学高中数学北师大版试题答案及解析1.扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且，则扇形的圆心角为。
【答案】【解析】设圆的半径为r,则扇形的半径为3r,根据,则.2.已知点与两个定点的距离之比为，则点的轨迹的面积为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，设点，则，即，整理得，所以点的轨迹表示以为圆心，半径为的圆，所以面积为，故选C．【考点】轨迹方程的求法．3.已知棱长等于2的正四面体的四个顶点在同一个球面上，则球的半径长为，球的表面积为．【答案】；6π【解析】将正四面体补成正方体，再将正方体放在一个球体中，利用它们之间的关系求解．解：如图，将正四面体补形成一个正方体，∵正四面体为2，∴正方体的棱长是，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴2R=∴R=，球的表面积为6π．故填：；6π．点评：巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V﹣ABC的棱长为a，求外接球的半径，我们可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．4.电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求出P（X=0），即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论．解：由题意，P（X=0）=∴P（1≤X≤2013）=1﹣P（X=0）=故选B．点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题．5. 100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，恰一次为次品的概率为（）A．0.42B．0.3C．0.7D．0.21【答案】A【解析】设恰一次为次品为事件A，根据100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，可求基本事件的个数，从而可求恰一次为次品的概率．解：由题意，设恰有一次取出次品为事件A，则P（A）===0.42故选A．点评：本题考查的重点是概率知识的运用，解题的关键是确定基本事件的个数，应注意每次取出1件检验放回，属于基础题．6.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），．，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴从而可得单调递增，从而可得a＞1∵，∴a=2故=2+22+…+2n=∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*∴n=6故选：A点评：本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．7.已知曲线y=x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．4B．3C．2D．【答案】C【解析】根据切点处的导数即为切线的斜率建立等式关系，解出方程，问题得解．解：设切点的横坐标为t==，解得t=2，y′|x=t故选C．点评：本题考查了导数的几何意义，切点处的导数即为切线的斜率，属于基础题．8.已知y=f（x）=ln|x|，则下列各命题中，正确的命题是（）A．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）=﹣B．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）无意义C．x≠0时，都有f′（x）=D．∵x=0时f（x）无意义，∴对y=ln|x|不能求导【答案】C【解析】利用绝对值的意义将函数中的绝对值去掉转换为分段函数；利用基本的初等函数的导数公式及复合函数的求导法则：外函数的导数与内函数的导数的乘积，分别对两段求导数，两段的导数合起来是f（x）的导数．解：根据题意，f（x）=，分两种情况讨论：（1）x＞0时，f（x）=lnx⇒f'（x）=（lnx）'=．（2）x＜0时f（x）=ln（﹣x）⇒f'（x）=[ln（﹣x）]'=（这里应用定义求导．）故选C点评：本题考查绝对值的意义、考查分段函数的导数的求法、考查基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的求导法则．9.已知，则f′（）=（）A．﹣1+B．﹣1C．1D．0【答案】B【解析】本题先对已知函数进行求导，再将代入导函数解之即可．解：故选B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，解题的关键是正确求解导函数，属于基础题．10.空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【答案】C【解析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．点评：本题考查了与同向共线的单位向量向量，属于基础题．11.函数f（x）=xsinx+cosx的导数是（）A．xcosx+sinx B．xcosx C．xcosx﹣sinx D．cosx﹣sinx【答案】B【解析】利用和及积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导数．解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f′（x）=（xsinx+cosx）′=（xsinx）′+（cosx）′=x′sinx+x（sinx）′﹣sinx=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx故选B点评：本题考查导数的运算法则、基本初等函数的导数公式．属于基础试题12.的导数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解：y′===故选A点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题13.设函数f（x）在点x可导，则=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．不存在【答案】C【解析】利用导数的定义，把增量转化为2h，问题得以解决．解：==2f′（x）．故选C．点评：本题以函数为载体，考查导数的定义，关键是理解导数的定义，从而得解．14.已知点O为坐标原点，点A在x轴上，正△OAB的面积为，其斜二测画法的直观图为△O′A′B′，则点B′到边O′A′的距离为．【答案】2【解析】画出斜二测画法的直观图为△O′A′B′，求出正△OAB的边长，B′D′的长，然后求出点B′到边O′A′的距离．解：正△OAB的面积为，边长为2，O′A′=2D′为O′A′的中点，B′D′=所以点B′到边O′A′的距离：cos45°=故答案为：点评：本题考查斜二测法画直观图，点、线、面间的距离计算，考查计算能力，记住结论平面图形和直观图形面积之比为2．15.一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，直观图的底角为45°，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积为．【答案】2+【解析】根据斜二测化法规则画出原平面图形，可知水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故答案为：2+．点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则，正确画出原平面图形是解题的关键．16.如图是某一问题的算法程序框图，它反映的算法功能是．【答案】计算|x|的值．【解析】从赋值框输入的变量x的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．解：框图首先输入变量x的值，判断x≥0，执行输出x；否则，输出x的相反数：﹣x．算法结束．故此算法执行的是计算|x|的值．故答案为：计算|x|的值．点评：本题考查了程序框图中的选择结构，选择结构是先判断后执行，满足条件时执行一个分支，不满足条件执行另一个分支，此题是基础题．17.执行程序框图，输出的T= ．【答案】30．【解析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解：按照程序框图依次执行为S=5，n=2，T=2；S=10，n=4，T=2+4=6；S=15，n=6，T=6+6=12；S=20，n=8，T=12+8=20；S=25，n=10，T=20+10=30＞S，输出T=30．故答案为：30．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．18.变量y是变量x的函数，则（）A．变量x，y之间具有依赖关系B．变量x是变量y的函数C．当x每取一个值时，变量y可以有两个值与之对应D．当y每取一个值时，变量x有唯一的值与之对应【答案】A【解析】根据函数的定义去判断．解：变量y是变量x的函数，所以变量x，y之间具有依赖关系．故A正确．故选A．点评：本题主要考查函数的定义，比较基础．19.下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是（）A．y=x﹣1B．y=C．y=3x2+D．y2=x2【答案】D【解析】一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数．记做y=f（x）．分别利用函数的定义去判断，其中D中x对应y的取值不唯一．解：根据函数的定义可知A，B，C满足函数的定义．在D中当x=1时，y=±1；当y=2时，x=±2，不符合函数的定义．故选D．点评：本题考查函数的定义，函数的定义要求对于A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素对应．否则不能构成函数．20.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为 ()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}【答案】B【解析】集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B.【考点】集合的表示方法点评：列举法是把集合中的所有元素一一写出的方法。
平面向量广义定比分点公式_袁微维
○袁微维平面向量广义定比分点公式 在学习平面向量知识时,自然会接触到定比分点的概念及其计算公式,推广线段的定比分点,更有助于使用向量工具处理数学问题.定理:若在■ＡＢＣ中,点Ｅ、Ｆ分别分向量ＡＢ、ＡＣ所成的比为λ、μ,且ＢＦ交ＣＥ于点Ｍ,则Ａ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ证明:如图1,因为点Ｂ、Ｍ、Ｆ共线,所以Ａ=(1-ｔ)Ａ+ｔＡ.同理Ａ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′Ａ(这是因为Ｃ、Ｍ、Ｅ三点共线).所以(1-ｔ)Ａ+ｔＡ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′Ａ①因为Ｅ分Ａ所成的比为λ,即Ａ=λＥ,所以ＡＥ=λ1+λＡＢ.②同理Ａ=μ1+μＡ.③(这是因为Ｆ分ＡＣ所成的比为μ)将②、③代入①得(1-ｔ)ＡＢ+ｔμ1+μＡ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′λ1+λＡ因为向量Ａ、Ａ不共线所以1-ｔ=ｔ′λ1+λｔμ1+μ=1-ｔ′消去ｔ′可得ｔ=1+μ1+λ+μ.所以ＡＭ=(1-ｔ)ＡＢ+ｔμ1+μＡＣ=(1-1+μ1+λ+μ)ＡＢ+1+μ1+λ+μ·μ1+μＡ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ.例1 如图2,已知■ＡＢＣ中,点Ｐ在■ＡＢＣ内,且3ＡＰ+4ＢＰ+5ＣＰ=Ｏ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,设Ａ=,Ａ=,试用、表示ＡＤ.解:由3Ａ+4Ｂ+5Ｃ= 3(Ａ+ＢＰ)+4ＢＰ+5(ＣＢ+ＢＰ)=Ｏ ＢＰ=312ＢＡ+512ＢＣ.设ＣＰ交ＡＢ于点Ｅ,ＢＥ=λＥＡ,ＢＤ=μＤ,根据广义定比分点公式,得λ1+λ+μ=312μ1+λ+μ=512λ=34μ=54从而ＢＤ=54ＤＣ ＡＤ-ＡＢ=54(ＡＣ-Ａ) Ａ=49+59(已知Ａ=,Ａ=),例2 已知■ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ成等差数列,且ａ<ｂ<ｃ,Ｇ为■ＡＢＣ的重心,1为■ＡＢＣ的内心,Ｏ是平面上任一点.·17·数理化学习(高中版)求证:(1)=ａＯＡ+ｂＯＢ+ｃＯＣａ+ｂ+ｃ;(2)ＧＩ∥ＡＣ.证明:(1)如图3,设角Ｂ、Ｃ的平分线ＢＥ、ＣＦ分别交ＡＣ、ＡＢ于点Ｅ、Ｆ,由内角平分线定理知λ=ＡＦＦＢ=ｂａ,μ=ＡＥＥＣ=ｃａ,从而1+λ+μ=ａ+ｂ+ｃａ.根据广义定比分点公式=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ =ｂａ+ｂ+ｃＡ+ｃａ+ｂ+ｃＡ Ｏ-Ｏ=ｂａ+ｂ+ｃ(ＯＢ-ＯＡ)+ｃａ+ｂ+ｃ(ＯＣ-ＯＡ)Ｏ=ａＯ+ｂＯ+ｃＯａ+ｂ+ｃ(＊)(2)如图4,设■ＡＢＣ的中线ＢＭ、ＣＮ,则ＢＭ交ＣＮ于点Ｇ,从而λ′=ＡＮＮＢ=1,μ′=ＡＭＭＣ=1.1+λ′+μ′=3.根据广义定比分点公式Ａ=λ′1+λ′+μ′Ａ+μ′1+λ′+μ′Ａ=13Ａ+13Ａ.所以Ｏ-Ｏ=13(ＯＢ-ＯＡ)+13(ＯＣ-Ｏ),所以Ｏ=13Ｏ+13Ｏ+13Ｏ(＊＊)将式(＊)与(＊＊)相减,得ＯＩ-ＯＧ=(ａａ+ｂ+ｃ-13)ＯＡ+(ｂａ+ｂ+ｃ-13)ＯＢ+(ｃａ+ｂ+ｃ-13)ＯＣ.因为ａ<ｂ<ｃ且ａ、ｂ、ｃ成等差数列,所以不妨设公差为ｄ,则ｄ=ｃ-ｂ=ｂ-ａ>0,所以Ｏ-Ｏ=ｄ3ｂ(ＯＣ-ＯＡ),所以ＧＩ=ｄ3ｂＡＣ.显然,内心Ｉ不在ＡＣ上,所以ＧＩ∥ＡＣ,(注:式(＊＊)也可以从重心方程ＧＡ+ＧＢ+ＧＣ=0得到)例3 设Ｄ、Ｅ■ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上,ＤＣ与ＥＢ交于Ｆ,且ＡＤ=ＡＥ,ＦＢ=ＦＣ,求证:ＡＢ=ＡＣ.证明:如图5,设■ＡＢＣ的角Ａ、Ｂ、Ｃ所对边分别为ａ、ｂ、ｃ,令Ａ=λＤ,Ａ=μＥ,则ＡＤ=λ1+λＡＢ,ＡＥ=μ1+μＡＣ.又已知 Ａ = Ａ ,所以λｃ-μｂ=λμ(ｂ-ｃ).①根据广义定比分点公式得Ａ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ,从而Ｂ=ＢＡ+μＢＣ1+λ+μ,Ｃ=ＣＡ+λＣＢ1+λ+μ.因为已知Ｂ2=ＣＦ2·18·数理化学习(高中版)所以(Ｂ+μＢ)2=(ＣＡ+λＣＢ)2所以ｃ2+μ2ａ2+2μＢ·Ｂ=ｂ2+λ2ａ2+2λＣ·Ｃ.在■ＡＢＣ中,运用余弦定理可得2Ｂ·Ｂ=ａ2+ｃ2-ｂ2,2Ｃ·Ｃ=ａ2+ｂ2-ｃ2,所以ｃ2+μ2ａ2+μ(ａ2+ｃ2-ｂ2)=ｂ2+λ2ａ2+λ(ａ2+ｂ2-ｃ2),所以(1+λ+μ)[(μ-λ)ａ2+(ｃ2-ｂ2)]=0.所以(μ-λ)ａ2=ｂ2-ｃ2②若ｂ>ｃ,则由②知μ>λ,所以μｂ>λｃ.由①可得 λμ(ｂ-ｃ)<0,所以ｂ<ｃ,矛盾.所以ｂ≤ｃ.同理ｃ≤ｂ于是ｂ=ｃ,即ＡＣ=ＡＢ.以上几例充分说明广义定比分点公式是平面向量内容中较重要的向量方程,掌握定比分点推广式有利于提高解题能力.贵州省安顺市双阳中学(561018)○梁克强以正方体为载体研究空间角 正方体的六个面都是正方形,有众多相等的线段和角,还有很多平行和垂直以及对称的条件,这些都为研究空间角提供了有效的依据,只要很好的运用,空间角的问题是不难解决的.一、垂连求角正方体有很多垂直关系,只要善于利用,就能将空间角转化为平面角.例1 正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的棱长是1,Ｐ是ＡＤ的中点,求二面角Ａ-ＢＤ1-Ｐ的大小.解:如图1,过Ｐ作ＢＤ1及ＡＤ1的垂线,垂足分别是Ｅ、Ｆ,连结ＥＦ.由ＡＢ⊥平面ＡＤ1,得ＡＢ⊥ＰＦ,又ＰＦ⊥ＡＤ1,所以ＰＦ⊥平面ＡＢＤ1,而ＰＥ⊥ＢＤ1,故ＥＦ⊥ＢＤ1,∠ＰＥＦ为所求二面角平面角.Ｒｔ■ＡＤＤ1∽■ＡＦＰ,利用相似比得ＰＦ=24.在■ＰＢＤ1中,ＰＤ1=ＰＢ=52,因为ＰＥ⊥ＢＤ1,所以ＢＥ=32.在Ｒｔ■ＰＥＢ中,ＰＥ=ＰＢ2-ＢＥ2=22.在Ｒｔ■ＰＦＥ中,ｓｉｎ∠ＰＥＦ=ＰＦＰＥ=12,所以∠ＰＥＦ=π6.例2 如图2,在棱长为1的正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中,Ｐ是侧棱ＣＣ1上的一点,ＣＰ=ｍ,试确定ｍ,使得直线ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角的正切值为32.解:连ＡＣ,设ＡＣ∩ＢＤ=0.ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1交于Ｇ,连ＯＧ,由ＰＣ∥面ＢＤＤ1Ｂ1,得ＯＧ∥ＰＣ,故ＯＧ=12ＰＣ=ｍ2.又ＡＯ⊥ＤＢ,ＡＯ⊥ＢＢ1,从而ＡＯ⊥面ＢＤＤ1Ｂ1,故∠ＡＧＯ为直线ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角.在Ｒｔ■ＡＯＧ中,ｔａｎ∠ＡＧＯ=2ｍ=32,所以ｍ=13.故当ｍ=13时,ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角正切值为32.二、射影法正方体的六个面都是正方形,有很多对称·19·数理化学习(高中版)。
等比数列的概念及其通项公式 高中数学北师大版选择性必修第二册
−2
an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n.
题型一 等比数列的基本运算
例1 在等比数列{an}中
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
状元随笔
a7
(1)由 ＝q3便可求出q，再求出a1，则an＝a1qn－1
a4
(2)两个条件列出关于a1 ，q的方程组，求出a1 ，q后再由an＝1求n；
D．32
答案：C
解析：∵{an}是等比数列，∴a2a6＝a24 ＝36.
故选C.
)
4．若三个数3－ 5，x，3＋ 5成等比数列，则x＝________.
±2
解析：由等比中项知：x2＝(3－ 5)(3＋ 5)＝4.
∴x＝±2.
题型一 等比中项
1
例1 (1)(多选题)等比数列{an}中， a1＝ ， q＝2，则 a4 与 a8 的等比
3
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
1
3
1
2
解析：(1)当n＝1时，S1＝ (a1－1)＝a1，解得：a1＝－ ，
1
1
当n＝2时，S2＝ (a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝ .
3
4
(2)证明：当n≥2时，
1
1
an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)，
3
3
1
1
得
2n
解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1
∴2an＋2an·q2＝5an·q
即2q2－5q＋2＝0
1
解得q＝2或q＝
2
∵等比数列{an}为递增数列
高中数学 第三章 推理与证明 高考中的类比推理拓展资料素材 北师大版选修1-2
高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。
”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。
类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。
例1、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。
类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。
分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。
在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。
定比分点公式的三大应用
定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P 1x 1,y 1,P 2x 2,y 2是平面内两个定点,点P 0x 0,y 0分有向线段12PP 所成的比为λ,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x λ≠－1 而 01012020x x y y x x y y λ--==--特别地,当点P 0为内分点或者与点P 1重合时,恒有λ≥0,当点P 为外分点时,恒有λ＜0λ≠－1;定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系;灵活应用这个公式,可使解题过程简洁明快,充分展现思维的独创性;下面举例说明它在解题中的应用;一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bcx=且1+c求证：[,]x a b ∉; 证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点,P 是AB 的定比分点,则定比P ∴是AB 的外分点,则 [,]x a b ∉;二、用于解决不等式问题例1.已知1,1a b <<,求证：11a bab+<+; 证明：设(1),(1),()1a bA B P ab+-+是数轴上的三点,P λ分AB 的比是,则1,10,a b P λ<<∴>是AB 的内分点,1a bab+∴+在-1与1之间,即11a b ab +<+; 定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看,它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题,立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题,具有很明显的相似之处;1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰高分成上、下两部分之比为λλ≠-1,则EF 的长l=λλ++121l l λ≥0; 特别地,1当l 1=l 2时,条件为一平行四边形,结论仍成立；2当l 1=0时,条件为一三角形,结论仍成立；3当λ＝1时,即可得到梯形的中位线公式;证明：设BA 的延长线与CD 的延长线交于O,由三角形相似可得由12可得λλ++=121l l l ; 依照命题1的推导方法,不难证明出以下命题：命题1’：设梯形ABCD 的上,下底边长分别为l 1,l 2,若平行于底边的截线EF 把梯形的面积分成上下两部分之比为λ,则有==22l EF λλ++12221l l 特别当l 1=0梯形退化为一个三角形时,结论为2l =λλ+122l 仍成立;2、立体几何中的定比分点：命题2 ：设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2,平行于底面的截面的面积为S 0,此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为λ,则有： λλ++1210S S S ＝;特别地,当λ＝1时,=;证明：将棱台补成棱锥,设所补的小棱锥的高为x,截面到上、下底面的距离分别为λh 和h,则由截面性质定理可得：x h x h h S S x h x S S +++=+=λλλ0201,h h x λλ=+ …………1 hh xλ=+…………2, 由1 ÷ 2得λ．即：λλ１＋Ｓ＋Ｓ＝Ｓ２１０．依照公式2的推导方法,不难证明出以下两公式：命题2’:设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2,平行于底面的截面的面积为S 0,若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为λ,则有λλ++=1)()()(222120S S S命题2”: 设棱台的上、下底面积分别是S 1、S 2,平行于底面的面积为S 0．若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为λ,则有λλ++=1)()()(323130S S S注：以上三个公式,对于圆台也同样成立．上述三个“定比分点”公式,形式整齐,结构对称,富有美感,便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题时,有着广泛的应用;3．数列中的定比分点：命题3：设{}n a 是等差数列,其中a p 、a m 、a n ,满足,nm mp --=λ则)1(1-≠++=λλλn p m a a a ; 证明：a p =a 1+p-1d , a m =a 1+m-1d , a n =a 1+n-1d其中a 1、d 分别是等差数列{}n a 的首项与公差将a p 、a m 、a n 代入 nm mp --=λ 中可得 λλ++=1n p m a a a命题3’:设{}n a 是等差数列,Ｓn 是数列{}n a 的前n 项和,其中Ｓp 、Ｓm 、Ｓn满足p mm nλ-=-1-≠λ,则λλ++=1nS p S m S npm ;证明：因为d n n na S n 2)1(1-+= =n da n d )2(212-+⋅ 那么S n =An 2+Bn,即B An n S n +=,所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列,由命题3,即有λλ++=1nS p S m S npm ;三、用于求函数的解析式对于函数y=fx,如果能够化为)1)(()(1)(-≠+⨯+=x t x t x t n m y ,就与λλ++=121y y y 的形式完全相同只须把tx 看成λ,用数轴上两点P 1、P 2分别表示m 、n,不妨设m<n,P 点表示y,且)(21x t PP PP =,则当tx>0时,m<y<n;当tx=0时,y=m;当tx<0时,y<m 或y>m ;例3.已知二次函数fx 满足条件：1 f-1=0；2对一切x ∈R,都有21)(2x x f x +≤≤成立,求fx的解析式;本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐,有些学生因为综合能力差,听完讲解后仍然似懂非懂,但如果运用定比分点公式解题则非常简单：解：由21)(,2x x f x R x +≤≤∈,可设数轴上的点P 1x,0、Pfx,0,)021(22，x P +,且λ=21PP P P , 则fx=λλ+++1)21(2x x ,因为f －1=0 ,所以01)211(1=+++-λλ,解得 λ＝1, 所以412141)(2++=x x x f ; 四、。
北师大版数学高二-选修4教案 平行线分线段成比例定理
1.1.21.掌握相似三角形的性质．课标解读2.能利用相似三角形的性质解决有关问题.相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比．(5)相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方．1．怎样理解“对应线段的比等于相似比”？【提示】相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到内切圆、外接圆的半径之比也等于相似比．2．相似三角形与全等三角形的性质比较有何异同？【提示】全等三角形相似三角形对应高相等对应高的比等于相似比周长相等周长比等于相似比面积相等面积比等于相似比的平方外接(内切)圆的直径相等外接(内切)圆的直径比等于相似比外接(内切)圆的周长相等外接(内切)圆的周长比等于相似比外接(内切)圆的面积相等外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方利用相似三角形性质计算如图1－3－21所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，则四边形BFED的面积等于多少？图1－3－21【思路探究】利用S四边形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC得到四边形BFED的面积．【自主解答】∵AB∥EF，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC.又S△ADE∶S△EFC＝1∶4，∴AE ∶EC ＝1∶2.∴AE ∶AC ＝1∶3. ∴S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵S △ADE ＝1，∴S △ABC ＝9.∴S 四边形BFED ＝S △ABC －S △ADE －S △EFC ＝9－1－4＝4.1．本题由题意显然△ADE ∽△EFC ，由面积比能得出相似比，再由相似比转化为面积比，求出整个△ABC 的面积．2．利用相似三角形的性质定理进行有关的计算是近几年高考的热点之一，在求解过程中往往要注意对应边的比，进行相关运算时，要善于联想，变换比例式，构造三角形的边或面积间的关系．图1－3－22如图1－3－22，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3. (1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .【解】 (1)∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD 且AB ＝CD ，∵AE EB ＝23，∴AE AB ＝AE CD ＝25，又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ， ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝2∶5. (2)由(1)S △AEF ∶S △CDF ＝4∶25，又S △AEF ＝8， ∴S △CDF ＝50.利用相似三角形性质进行证明如图1－3－23所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，在AB 边上取一点F ，使S △BFC ＝S △ADE ，求证：AD 2＝AB ·BF .图1－3－23【思路探究】 本题条件是三角形面积之间的关系，可考虑使用相似三角形的面积比等于相似比的平方及把等底边的三角形面积比转化为边长之比．【自主解答】 ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝(ADAB)2， 又∵S △BFC S △ABC ＝BF AB 且S △BFC ＝S △ADE ，∴AD 2AB 2＝BF AB . ∴AD 2＝AB ·BF .1．解答本题的关键是把△BFC 与△ABC 的面积比转化为边长之比．2．要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论，有时需化归到相似三角形中加以证明，若不存在相似三角形，可添加辅助线，构造相似三角形，最终得到结论．如图1－3－24，在矩形ABCD 中，E 是DC 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G .图1－3－24求证：AG 2＝AF ·FC .【证明】 ∵E 为矩形ABCD 的边DC 的中点， ∴AE ＝BE .又∵GF ∥AB ，∴EG ＝EF ，∴AG ＝BF . ∵BE ⊥AC 于F ， ∴Rt △ABF ∽Rt △BCF ， ∴BF CF ＝AFBF ，∴BF 2＝AF ·FC ， ∴AG 2＝AF ·FC .相似三角形判定和性质定理的综合应用图1－3－25如图1－3－25，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20米和30米，它们之间的距离为30米，小张身高为1.6米，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？【思路探究】解答本题的关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．【自主解答】如图，设小张与教学楼的距离至少应有x米，才能看到水塔．连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于G，交AB于H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形．∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG.∴AH∶DG＝FH∶FG.即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)．解得x＝55.2.经检验x＝55.2是所列方程的根．故小张与教学楼的距离至少应有55.2米，才能看到水塔．1．解答本题的关键是画出图形，添加辅助线构造相似三角形．2．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意转化成数学问题，构造相似三角形求解．3．解决相似三角形的综合问题应注意以下两点(1)结合相似三角形的判定定理和性质定理，寻求三角形中的数量关系． (2)注意“辅助线”的添加和定理公式的选择．如图1－3－26，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝200 mm ，高AD ＝300 mm ，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，求这个矩形零件的边长．【解】 设矩形EFGH 为加工成的矩形零件，边FG 在BC 上，则点E 、H 分别在AB 、AC 上，△ABC 的高AD 与边EH 相交于点P ，设矩形的边EH 的长为x mm.∵EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ， ∴AP AD ＝EHBC ，∴300－2x 300＝x 200， 解得：x ＝6007 (mm)，2x ＝12007(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为6007mm 和12007mm.(教材第20页习题1.3第10题)如图1－3－27，平行四边形ABCD中，AE ∶EB ＝1∶2，求△AEF 与△CDF 的周长比．如果△AEF 的面积等于6cm 2，求△CDF 的面积．图1－3－27(2013·陕西高考)如图1－3－28，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图1－3－28【命题意图】 本题主要考查相似三角形的判定与性质．【解析】 因为PE ∥BC ，所以∠C ＝∠PED .又因为∠C ＝∠A ，所以∠A ＝∠PED .又∠P ＝∠P ，所以△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEPA，即PE 2＝PD ·PA ＝2×3＝6，故PE ＝ 6.【答案】61．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且S △ABC S △A ′B ′C ′＝14，BC ＝2，则B ′C ′等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 ∵S △ABCS △A ′B ′C ′＝(BC B ′C ′)2＝14，∴BC B ′C ′＝12， 又∵BC ＝2，∴B ′C ′＝2BC ＝4. 【答案】 B2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝23，△ABC 外接圆的直径为4，则△A ′B ′C ′外接圆的直径等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 设△A ′B ′C ′和△ABC 外接圆的直径分别是r ′，r ，则r ′r ＝A ′B ′AB ，∴r ′4＝32，∴r ′＝6. 【答案】 C3．两个相似三角形对应边分别长6 cm 和18 cm ，若大三角形的面积是36 cm 2，则较小三角形的面积是( )cm 2.A ．6B ．4C ．18D ．不确定【解析】 相似比等于618＝13，则S 小S 大＝(13)2＝19，∴S 小＝19S 大＝19×36＝4(cm 2)．【答案】 B4．在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长是12 cm ，则这块地的实际周长是________m.【解析】 这块地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形，其相似比为1500，则实际周长为：12×500＝6000 cm ＝60 m.【答案】 60一、选择题图1－3－281．如图1－3－28，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为14，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )A.92，1 B ．9,4 C.92，8 D.94，16 【解析】 ∵D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点， ∴EF 綊12BC ，DE 綊12AC ，DF 綊12AB .∴△DFE ∽△ABC ，且EF BC ＝12.∴l △DEF l △ABC ＝EF BC ＝12. 又∵l △ABC ＝9，∴l △DEF ＝92.又∵S △DEF S △ABC ＝EF 2BC 2＝14，S △DEF ＝14，∴S △ABC ＝1，故选A. 【答案】 A图1－3－292．如图1－3－29，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8【解析】 由△CBF ∽△CDE ，得BF DE ＝CBCD，又点E 是AD 的中点，AB ＝CD ＝10，AD ＝BC ＝6， ∴DE ＝3，即BF 3＝610，∴BF ＝1.8. 【答案】 D3．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1－3－30所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，则屏幕上小树的高度是( )图1－3－30A ．50 cmB ．500 cmC ．60 cmD ．600 cm【解析】 设屏幕上小树的高度为x cm ，则10x ＝3030＋150，解得x ＝60(cm)． 【答案】 C图1－3－314．如图1－3－31，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于D ，E ，S △ADE ＝2S △DCE ，则S △ADE S △ABC＝( ) A.14 B.12 C.23 D.49【解析】 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，由S △ADE ＝2S △DCE 得，AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49. 【答案】 D 二、填空题5．如图1－3－32，在△ABC 中，D 为AC 边上的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝10，则AE 的长为________．图1－3－32【解析】 ∵AE ∥BC ，∴△BGF ∽△AGE ，∴BF AE ＝BG GA ＝31，∵D 为AC 中点，∴AE CF ＝ADDC＝1，∴AE ＝CF ， ∴BC ∶AE ＝2∶1，∵BC ＝10，∴AE ＝5. 【答案】 56．一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5 m 有一棵树，在河的对岸每隔50 m 有一根电线杆，在这岸离开岸边25 m 处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河的宽度为__________m.【解析】如图所示，A ，B 是相邻两电线杆的底部，F ，G 中间还有两棵树，则 AB ＝50 m ，FG ＝3×5＝15 m ，EC ＝25 m ， CD ⊥AB ，AB ∥FG ， 则EC CD ＝FGAB，设河的宽度为x m ， 则2525＋x ＝1550，解得x ＝1753.【答案】1753三、解答题图1－3－337．如图1－3－33所示，在△ABC 中，BC >AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连接EF .(1)求证：EF ∥BC ；(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积． 【解】 (1)证明：∵CF 平分∠ACB ，DC ＝AC ， ∴CF 是△ACD 的边AD 上的中线． ∴点F 是AD 的中点， 又∵点E 是AB 的中点， ∴EF ∥BD ，即EF ∥BC . (2)∵EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD . ∴S △AEFS △ABD ＝(AEAB)2. 又∵AE ＝12AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6，∴S △ABD －6S △ABD ＝(12)2，∴S △ABD ＝8.图1－3－348．如图1－3－34，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与 AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．【解】 (1)证明：∵DE ⊥BC ，D 是BC 的中点， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1， 又∵AD ＝AC ， ∴∠2＝∠ACB . ∴△ABC ∽△FCD .(2)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M . ∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， ∴S △ABC S △FCD ＝(BC CD)2＝4. 又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20. ∵S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，∴20＝12×10×AM ，∴AM ＝4.又∵DE ∥AM ，∴DE AM ＝BD BM. ∵DM ＝12DC ＝14BC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，∴DE 4＝55＋52.∴DE ＝83.9．某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 cm 、20 cm 的梯形空地上种植花木．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图1－3－35阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；图1－3－35(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？【解】 (1)∵四边形ABCD 是梯形， ∴AD ∥BC .∴△AMD ∽△CMB .∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC )2＝14.∵种植△AMD 地带花费160元， ∴1608＝20 (m 2)．∴S △CMB ＝80 (m 2)． ∴△BMC 地带的花费为80×8＝640(元)．(2)设△AMD 、△BMC 的高分别为h 1、h 2，梯形ABCD 的高为h ， ∵S △AMD ＝12×10h 1＝20，∴h 1＝4(m)．又∵h 1h 2＝12，∴h 2＝8(m)．∴h ＝h 1＋h 2＝12(m)．∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )h ＝12×30×12＝180 (m 2)，∴S △AMB ＋S △DMC ＝180－20－80＝80 (m 2)． ∴160＋640＋80×12＝1 760(元)， 160＋640＋80×10＝1 600(元)． ∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金．10．在△ABC 中，如图所示，BC ＝m ，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于E ，D 两点，且S △ADE ＝S 四边形BCDE ，则DE ＝________.【解析】 ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ACB又∵S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四边形BCDE，∴S△ADE＝12S△ABC，∴(DEBC)2＝12，∴(DE m)2＝12∴DE＝22m.【答案】2 2m。
定比分点公式推导方法的重要启示
定比分点公式推导方法的重要启示
方亚斌
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1993(000)009
【摘要】现行解几课本在推导线段的定比分点公式时,利用的是射影思想。
这就是将平面直角坐标系中,一条线段上三点所分成的两条线段长度比,转化为它们在坐标轴上的射影之比,其实质是运用平行线分线段成比例定理,化二维的两点问的距离为一维的有向线段数量的绝对值,使所需比例式大为简化,从而达到运算简捷,合理的目的。
事实上,射影思想是解决解几中许多问题的一种十分重要的方法。
例1 设有双曲线S:xy=1,通过点A(a,
【总页数】3页(P2+1-2)
【作者】方亚斌
【作者单位】湖北黄梅四中 436500
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.不断提升运用数学公式的境界——从定比分点坐标公式谈起 [J], 张同森
2.采样定理公式的δ—ILPF推导方法得不出正确公式 [J], 郝建民
3.妙用定比分点公式巧解题 [J], 胡贵平
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5.采样定理公式的δ－ILPF推导方法得不出正确公式 [J], 郝建民
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c+c 2-ab
a
c-c 2-ab
b
x
B X 巧用定比分点公式解题
定比分点公式是平面解析几何中的重要公式，在解析几何中应用非常广泛。
在平面直角坐标系中分点的坐标是以二维变量),(y x 形式出现的，在数轴上定比及定比分点公式显得更简洁和新颖，分点的坐标是以一维变量x 的形式出现。
所以在高中数学的其他章节内容中，若能灵活运用定比及定比分点公式求解，能拓展学生的解题思路，开拓视野，培养学生创造性思维。
例1、设1,0,1-≠<<++=
c c b a c
bc
a x 且，求证：[]
b a x ,∉ 证明：如右图在数轴上取点A ，B ；坐标分别为b a , 点X 分有向线段AB 所成的定比
c =λ，即XB AX λ=，由定比分点公式得c bc
a b a x ++=++=
11λλ 00<<λ即c 所以点X 为线段的外分点，即[]b a x ,∉
例2、已知,1||,1||<<b a 求证：
11<++ab
b
a
证明：设1,1,
1ab
b
a ++-分别对应数轴上的三点,,,21P P P 且P 是有向线段21P P 的分点，则由,1||,1||<<
b a 知P 分有向线段2
1P P 的定比0)1)(1()1)(1(11)
1(1>--++=++-
--++=b a b a ab
b a ab b
a λ，因此P 是有向线段2
1P P 的内分点，从而111<++<-ab
b
a ，即以上结论成立。
例3、已知,02><+a c
b a 且求证：ab
c c a ab c c -+<<--22
分析：该题与例2证明方法相同，如右图P 分有向线段所成的定比
()
[]
)(2)
()
()()()(2
2
22
22
b a
c a c a ab c
c a ab c c a ab c a
ab c c ab c c a +--+-=
----+-=
--+---=
λ>0
所以P 是有向线段的内分点，即结论成立。
评注：以上三题都是巧妙地构造数轴上的定比分点，运用定比的概念及定比分点公式进行运算，利用定比λ值的符号以及内分点，外分点的概念巧妙地证明了以上不等式。
m
2P 1例4、已知,,*
∈N b a 试判断2距
a b 与b
a b a ++2哪个更近？并说明理由。
分析：本题需要判断
222-++-
b
a b a a b 与的值哪一个更小一些，若联想定比分点，利用定比101<<>λλ或判断分点距有向线段的两个端点距离的远近很容易解决问题。
解：设
a b ，2与b
a b
a ++2分别对应数轴上的三点,,,21P P P 且P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则1)1)(12()2)(12(2222>++=--+⋅-=-++-
=
a b b a b a a b a b
a b a a b λ。
所以P 为有向线段2
1P P 的内分点，且离2P 更近，即2距b
a b a ++2更近。
例5、设方程0122
=+--m x mx 对于)2,2(-∈m 的一切m 有解，求x 的取值范围？ 分析：该题运用代数的方法，通过构造一次函数)21()1()(2
x m x m f -+-=利用数形结合很容易求解，但通过构造定比分点，利用定比进行运算思路显得很新颖。
解：由题容易知当1±=x 时m 无解，所以12
≠x ，则由方程0122=+--m x mx 得：
1
1
22
--=
x x m 如右图 -2，m ，2分别对应数轴上的三点,,,21P P P 且P 分有向线段21P P 所成的比为λ。
显然依题知P 为内分点即0>λ。
由定比分点公式得：
01223221122)
2(11
22)2(2
22
2>---+=-------=---=x x x x x x x x m m λ解此不等式得： 2
3
1271231271+>+-<<---<
x x x 或或 评注：通过以上几题的解答，强化了对定比及定比分点公式的理解，增强数学学科内知识的
交汇，对于拓展学生思维，提高应用知识解决问题的能力很有帮助。