高中数学复数参赛教案

第5讲 复 数

[最新考纲]

1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．

3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 4．会进行复数代数形式的四则运算．

5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

知 识 梳 理

1．复数的有关概念 (1)复数的概念

形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．

(4)复数的模：向量OZ →

的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2

＋b 2

. 2．复数的几何意义

(1)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应

复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则

①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝

a ＋

b i

c ＋

d i ＝

a ＋

b i

c －

d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad

c 2＋

d 2

i(c ＋d i≠0)．

(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝

z 1＋(z 2＋z 3)．

辨 析 感 悟

1．对复数概念的理解

(1)方程x 2

＋x ＋1＝0没有解．(×) (2)2i 比i 大．(×)

(3)(教材习题改编)复数1－i 的实部是1，虚部是－i.(×) 2．对复数几何意义的认识 (4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)

(6)(2013·福建卷改编)已知复数z 的共复轭复数z ＝1＋2i ，则z 在复平面内对应的点位于第三象限．(×)

3．对复数四则运算的理解 (7)(教材习题改编)1

i

＝－i.(√)

(8)(2013·浙江卷改编)(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(√) [感悟·提升]

1．两点提醒 一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；

二是两个虚数不能比较大小，如(2)． 2．两条性质 (1)i 4n

＝1，i 4n ＋1

＝i ，i

4n ＋2

＝－1，i

4n ＋3

＝－i ，i n ＋i

n ＋1

＋i

n ＋2

＋i

n ＋3

＝0(各式中n

∈N )．

(2)(1±i)2

＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i

＝－i.

考点一 复数的概念

【例1】 (1)(2013·山东卷)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )．

A ．2＋i

B ．2－i

C ．5＋i

D ．5－i

(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4－3i|，则z 的虚部为( )．

A ．－4

B ．－45

C ．4 D.4

5

解析 (1)由(z －3)(2－i)＝5， 得z ＝

52－i ＋3＝52＋i 2－i 2＋i

＋3＝52＋i

5

＋3＝5＋i ， ∴z ＝5－i.故选D. (2)(3－4i)z ＝|4＋3i|＝5.

∴z ＝53－4i ＝3＋4i 5，∴z 的虚部为4

5.

答案 (1)D (2)D

规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．

【训练1】 (1)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b

i 为纯虚数”的( )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2

＋z 2

的虚部为( )． A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2

解析 (1)ab ＝0⇒a ＝0或b ＝0，这时a ＋b i ＝a －b i 不一定为纯虚数，但如果a ＋b

i ＝a －b i 为

纯虚数，则有a ＝0且b ≠0，这时有ab ＝0，由此知选B. (2)∵z 2

＋z 2

＝(1＋i)2

＋(1－i)2

＝0，∴z 2

＋z 2

的虚部为0. 答案 (1)B (2)A

考点二 复数的几何意义

【例2】 (1)(2013·湖南卷)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 (2)复数z ＝

2－i

2

i

(i 为虚数单位)，则|z |＝( )．

A ．25 B.41 C ．5 D. 5

解析 (1)z ＝i ＋i 2

＝－1＋i ，对应的点为(－1,1)，位于复平面第二象限． (2)∵z ＝4－4i －1i ＝3－4i i ＝3－4i i i·i ＝4＋3i

－1＝－4－3i ，

∴|z |＝

－4

2＋－3

2

＝5.