山东冠县武训高级中学高考数学复习课件：函数的奇偶性与周期性

奇函数 ．
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要点梳理
3．周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如 果存在一个非零常数 T，使得当 x 取 定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)
教师备课、备考 难点正本 疑点清源伴侣 专注中国基础教 2．函数奇偶性的性质 育资源建设
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪
解
【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 9－x ＋ x －9； 1－x (2)f(x)＝(x＋1) ； 1＋x 4－x2 (3)f(x)＝ . |x＋3|－3
2 2
9－x ≥0 (1)由 2 x －9≥0
教师备课、备考 伴侣 专注中国基础教 探究提高 解析 育资源建设 2
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋ 6x－8，
又 f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
(2)解 ∵x∈[2,4], ∴－x∈[－4，－2]，
(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋ f(2 013)．
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基础自测
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题号
1
答案
1 3
解析
2
3 4 5
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－9
(－1,0)∪(1，＋∞)
D A
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题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪
【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9； 1－x (2)f(x)＝(x＋1) ； 1＋x 4－x2 (3)f(x)＝ . |x＋3|－3
A．2 解析 B．3 C．4 D．5 ①f(x)＝ 1－x2＋ x2－1的定义域为{－1,1}，又 f(－x)＝
± f(x)＝0，则 f(x)＝ 1－x2＋ x2－1既是奇函数，也是偶函数；
②f(x)＝x3－x 的定义域为 R， 又 f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)， 则 f(x)＝x3－x 是奇函数；
A．2 B．3 C．4 D．5 ＝－ln(x＋ x2＋1)＝－f(x)，则 f(x)为奇函数； 3x－3－x ④f(x)＝ 2 的定义域为 R， 3－x－3x 3x－3－x 又 f(－x)＝ 2 ＝－ 2 ＝－f(x)，则 f(x)为奇函数； 1－x 1－x ⑤由 >0 得－1<x<1，f(x)＝ln 的定义域为(－1,1)， 1＋x 1＋x 1－x 1＋x 1－x －1 又 f(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－f(x)， 1＋x 1－x 1＋x 则 f(x)为奇函数，∴奇函数的个数为 5.
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题型二 函数的奇偶性与周期性
思维启迪
【例 2】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函
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数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋ (1)只需证明 f(x＋T)＝f(x)，即可 2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)＝ 说明 f(x)是周期函数； 2x－x2. (2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 (1)求证：f(x)是周期函数； f(x)在[－2,0]上的解析式，进而 (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式； 求 f(x)在[2,4]上的解析式； (3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋ (3)由周期性求和． f(2 013)．
2
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∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，
f(3)＝－1.
又 f(x)是周期为 4 的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋
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题型一 判断函数的奇偶性
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【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9； 1－x (2)f(x)＝(x＋1) ； 1＋x 4－x2 (3)f(x)＝ . |x＋3|－3
，得 x＝± 3.
∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即 f(x)＝± f(－x)． ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
1－x ≥0 1＋x (2)由 1＋x≠0
，得－1<x≤1.
∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．
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，得－2≤x≤2
且 x≠0. ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关 于原点对称．
4－x2 4－x2 ∴f(x)＝ ＝ x . x＋3－3
∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．
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教师备课、备考 难点正本 疑点清源伴侣 专注中国基础教 1．函数奇偶性的判断 育资源建设
(1)定义域关于原 点对称 是函数具有奇偶性的必 要不充分条件； (2)判断 f(x)与 f(－x)是否 具有等量关系．在判断奇 偶性的运算中，可以转化 为判断奇偶性的等价关 系 式 (f(x) ＋ f( － x) ＝ 0( 奇 函 数 ) 或 f(x) － f( － x) ＝ 0(偶函数))是否成立．
－f(x) ， 那么函数 f(x)就叫做奇函数．
奇函数的图象关于 原点 对称； 偶函 数的图象关于 y轴 对称．
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要点梳理
2．奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上 的单调性 相同 ， 偶函数在关于原点 对称的区间上的单调性 相反 ． (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是 奇函数 ， 两个 奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、 积都是 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是
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教师备课、备考 变式训练 1 下列函数： 伴侣 专注中国基础教 ①f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋ x2＋1) 育资源建设 3x－3－x 1－x ④f(x)＝ ；⑤f(x)＝lg .其中奇函数的个数是 ( ) 2 1＋x
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题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪
【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 9－x ＋ x －9； 1－x (2)f(x)＝(x＋1) ； 1＋x 4－x2 (3)f(x)＝ . |x＋3|－3
2 2
判断函数的奇偶性，其中包括两个 必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具 有奇偶性的必要不充分条件，所以首 先考虑定义域对解决问题是有利的； (2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量 关系.在判断奇偶性的运算中,可以 转化为判断奇偶性的等价等量关系 式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x) －f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
＝f(x) ， 那么就称函数 y＝f(x)为周期
函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x) 的所有周期中 存在一个最小 的正 数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的 最小正周期．
基础知识 题型分类
(1)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有 定义，则 f(0)＝0. (2)设 f(x)， g(x)的定义域分别 是 D1，D2，那么在它们的公 共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶， 偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇． (3)奇函数在关于原点对称的区 间上若有单调性，则其单调性 完全相同；偶函数在关于原点 对称的区间上若有单调性，则 其单调性恰恰相反．
数学
R A（理）
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§2.3 函数的奇偶性与周期性
第二章 函数与基本初等函数 I
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要点梳理
1．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x)的定义 域内任意一个 x， 都有 f(－x)＝f(x) ， 那么函数 f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数 f(x)的定义 域内任意一个 x，都有 f(－x)＝
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题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪
【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 9－x ＋ x －9； 1－x (2)f(x)＝(x＋1) ； 1＋x 4－x2 (3)f(x)＝ . |x＋3|－3
2 2
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数．
4－x2≥0 (3)由 |x＋3|－3≠0
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题型二 函数的奇偶性与周期性
思维启迪
【例 2】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函 数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋ 2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)＝ 2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋ f(2 013)．
即 f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
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题型二 函数的奇偶性与周期性
思维启迪
【例 2】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函 (3)解 数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋ 2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)＝ 2x－x . (1)求证：f(x)是周期函数；
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(1)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有 定义，则 f(0)＝0. (2)设 f(x)，g(x)的定义域分别 是 D1，D2，那么在它们的公 共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶， 偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇． (3)奇函数在关于原点对称的区 间上若有单调性， 则其单调性完 全相同； 偶函数在关于原点对称 的区间上若有单调性， 则其单调 性恰恰相反．
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确定函数的奇偶性时， 必须先判定 函数定义域是否关于原点对称． 若 对称， 再验证 f(－x)＝± f(x)或其等 价形式 f(－x)± f(x)＝0 是否成立．
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题型二 函数的奇偶性与周期性
思维启迪 【例 2】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函 (1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
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数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋ ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． 2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)＝ ∴f(x)是周期为 4 的周期函数． 2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；
③由 x＋ x2＋1>x＋|x|≥0 知 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)的定义域为 R， 1 2 又 f(－x)＝ln(－x＋ －x ＋1)＝ln x＋ x2＋1
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教师备课、备考 变式训练 1 下列函数： 伴侣 专注中国基础教 ①f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋ x2＋1) 育资源建设 3x－3－x 1－x ④f(x)＝ ；⑤f(x)＝lg .其中奇函数的个数是 ( D ) 2 1＋x