2010年考研真题北京大学数学分析高等代数几何

注：数学专业基础 2 试卷中第 9、10 题中出现的数字可能有误，但题意无误。其它试题均 无误。 制作者：ruokang 联系方式：QQ328326642，EMIL:xiyuanzhilian@126.com
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1 1 E )( B E ) ,证明：对任意的 n 维列向 110 110
量 ，方程组 A( A A) X A 必有非零解。 5(13 分)、设 A 是 n 阶正定矩阵，向量组 1 , 2 , , s 满足 iA j 0 ( 1 i j n )。问向 量组 1 , 2 , , s 的秩可能是多少，证明你的结论。 6(12 分)、线性变换 A 是对称变换，且 A 是正交变换，证明 A 是某个对合(即满足 A E ，
北京大学 2010 年研究生入学考试试题
考试科目：数学专业基础 1 考试时间：2010 年 1 月 10 日上午 1(15 分)、用有限覆盖定理证明聚点定理。 2(15 分)、是否存在数列{ xn }，其极限点构成的集合为 M={ 1 ，
1 1 ， ，……}，说明理由。 2 3
3(15 分)、设 I 是无穷区间， f ( x) 为 I 上的非多项式连续函数。证明：不存在 I 上一致收敛 的多项式序列{ Pn ( x) }，其极限函数为 f ( x) 。 4(15 分)、 f ( x) 在[0,1]上连续，在(0,1)可导，且满足 f (1)
2
E 是单位变换)
7(12 分)、V 是内积空间， , 是 V 中两个长度相等的向量，证明必存在某个正交变换，将
变到 。
8(12 分)、A 是复矩阵，B 是幂零矩阵，且 AB=BA，证明|A+2010B|=|A|。 9(11 分)、求过 z 轴且与平面 x 2 y 3z 1 夹角为 60 的平面的方程。
1 2 1 y z sin z 0 2 2
并将 f ( x, y ) 在点 (0,0) 展开为带佩亚诺型余项的泰勒公式，展开到二阶。 10(15 分)、 f ( x), g ( x) 是 [0,) 上的非负单调递减连续函数，且 均发散，设 h( x) min{ f ( x), g ( x)} ，试问
理由。 6(15 分)、构造 R 上的函数 f ( x) ，使其在 Q 上间断，其它点连续。(Q 表示有理数集) 7(15 分)、广义积分 证明 I (t )


0
xf ( x)dx 与

0
f ( x) dx 均收敛 x


0
x t f ( x)dx 在 (1,1) 上有定义，并且有连续导函数。
8(15 分)、计算曲线积分 I


ydx zdy xdz ，其中 为 x 2 y 2 z 2 1 与 x y z 0
的交线，从 x 轴正向看是逆时针。 9(15 分)、证明下面的方程在点 (0,0,0) 附近唯一确定了隐函数 z f ( x, y )
x
n
k
( n 2010 )。若存在素数 p 满足： ⅲ） p | a0
2
ⅱ） p | ai
i 0,1,2, 2008
证明 f ( x) 必有次数不低于 2009 的不可约整系数因式。 2(13 分)、向量组 1 , 2 , , s 线性无关，且可以由向量组 1 , 2 , , t 线性表出，证明必 存在某个向量 j ( j 1,2, , t )使得向量组 j , 2 , , s 线性无关。 3(12 分)、设 A 是非零矩阵，证明 A 可以写成某个列满秩矩阵与某个行满秩矩阵的乘积。 4(13 分)、A,B 是 n 阶矩阵，且满足 A ( B
1 1/ 2 1 x2 e f ( x)dx 。求证：存在 2 0
(0,1) 使得 f ( ) 2f ( ) 。
5(15 分)、 f ( x) C ( R ) ，I 是有界闭区间， Fn ( x) n[ f ( x
1
1 ) f ( x)] ，证明函数序列 n
{Fn ( x)} 在 I 上一致收敛。如果 I 是有界开区间，问 {Fn ( x)} 在 I 上是否仍然一致收敛？说明
。
10(12 分)、求直线
x y z 1 绕 z 轴旋转所成旋转曲面的方程，并指出这是什么曲面。 x y z 1 x 7 x y 1 y 4 x 2 y 4
11(14 分)、定义仿射坐标系 XOY 中的一个变换 f
(1)求在 f 下的不变直线。 (2)以两条不变直线为坐标轴建立仿射坐标系 X’O’Y’，求在此坐标系中 f 的变换公式。 12(12 分)、用不过圆锥顶点的平面切割圆锥，证明所截的曲线只可能为椭圆、双曲线和抛物 线。并说明曲线类型随切割角度的变换规律。


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0
f ( x)dx 和 g ( x)dx
0



0
h( x)dx 是否一定发散？说明理由。
北京大学 2010 年研究生入学考试试题
考试科目：数学专业基础 2 考试时间：2010 年 1 月 10 日下午 1(13 分)、整系数多项式 f ( x) ⅰ) p | an
a x
k 0 k